映射

节 4.1 映射

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子节 4.1.1 知识点

定义 4.1.1.

设\(S\)、\(T\)是非空集合, 用 \(\phi\)表示一个\(S\)到\(T\)的对应法则。若对\(\forall s\in S\)，有且只有\(T\)中唯一元素\(t\)与之对应，则称 \(\phi\) 是\(S\)到\(T\)的映射，记为 \(\phi: S\to T\)。用 \(t= \phi(s)\)或\(\phi: s\mapsto t\)，表示在映射\(\phi\)下\(t\)与\(s\)相对应。称\(t\)为\(s\)在\(\phi\)下的像，\(s\)称为\(t\)的原像。当取遍\(S\)中所有\(s\)时，所有像的集合记为

\begin{equation*} {\rm Im}(\phi)=\phi(S)=\{\phi(s)| s\in S\}. \end{equation*}

元素\(t\)的所有原像的集合记为

\begin{equation*} \phi^{-1}(t)=\{s\in S|\phi(s)= t\}. \end{equation*}

定义 4.1.2.

设\(\phi: S\to T\)。若\(\forall s_1\)、\(s_2\in S\)，\(s_1\ne s_2\)必有\(\phi(s_1)\ne \phi(s_2)\)，则称\(\phi\)是单射。

等价说法：若\(\phi\)是单射，则\(\phi(s_1)=\phi(s_2)\)等价于\(s_1=s_2\)。

定义 4.1.3.

若对\(\forall t\in T\)，存在\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)，则称\(\phi\)是满射。

等价说法：\(\phi(S)=T\)。

定义 4.1.4.

既单又满的映射称为双射，也称一一映射。

等价说法：\(\forall t\in T\)，存在唯一\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)。
对于有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同；
对于有限集\(S\)及\(T\subsetneq S\)，（即\(T\) 为\(S\) 的真子集），则 \(S\)、\(T\) 之间不可能存在双射；但是对于无限集未必如此。

定义 4.1.5.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: U\to V\)。若\(S=U\)、\(T=V\)，且\(\forall s\in S\)、\(\phi(s) =\psi(s)\)，则称\(\phi=\psi\)。

定义 4.1.6.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)。\(\phi\)与\(\psi\)的合成定义为

\begin{equation*} {\color{blue}\psi\phi: S\to U, s\mapsto \psi(\phi(s))}. \end{equation*}

一般的，\(\psi\phi{\color{red}\ne} \phi \psi\)。
\(\phi: S\to {\color{blue}T}\)、\(\psi: {\color{blue}T}\to {\color{orange}U}\)、 \(\rho: {\color{orange}U}\to V\)，则

\begin{equation*} \rho(\psi\phi)= (\rho\psi)\phi. \end{equation*}

定义 4.1.7.

映射\({\rm id}_S: S\to S, s\mapsto s\)称为集合\(S\)上的恒等映射或单位映射。

设\(\phi: S\to T\)，则\({\rm id}_T\phi=\phi{\rm id}_S\)。

定义 4.1.8.

设\(\phi: S\to T\)是映射，若存在映射\(\psi: T\to S\)，使得\(\psi\phi={\rm id}_S \)，且\(\phi\psi={\rm id}_T\)，则称\(\phi\)是可逆映射，并称\(\psi\)为\(\phi\)的逆映射。

定理 4.1.9.

映射\(\phi: S\to T\)是可逆映射的充分必要条件是映射\(\phi\)是双射。

可逆映射的逆映射唯一，记为\(\phi^{-1}\)。
若\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)均为可逆映射，则\(\psi\phi\)可逆，且\((\psi\phi)^{-1}=\phi^{-1}\psi^{-1}\)。

命题 4.1.10.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)，则

若\(\phi\)、\(\psi\)是满的，则\(\psi\phi\)也是满的；
若\(\phi\)、\(\psi\)是单的，则\(\psi\phi\)也是单的；
若\(\phi\)、\(\psi\)是双射，则\(\psi\phi\)也是双射。

练习 4.1.2 练习

1.

指出下列法则是否为映射？单射？满射？双射？并给出理由。

\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\left\{\begin{matrix} x,& x>0\\-x,& x < 0 \end{matrix}\right. \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\left\{\begin{matrix} 1,& x\geq 0\\-1,& x\leq 0 \end{matrix}\right.\text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Q},\ x\mapsto \sin x \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto \log_2 x \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 2^x \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2,\ x\mapsto (0,x)^T \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\ (x,y)^T\mapsto x \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\ (x,y)\mapsto (2y,x) \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a-b,b-2c,c+3a)^T \text{;}\)
\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a^2,b^2,c^2)^T \)。

2.

设\(a,b\)是任意两个实数且\(a < b\)，试找出一个\([0,1]\)到\([a,b]\)的双射。

3.

找一个全体实数集到全体正实数集的双射。

4.

已知映射\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 3^x\)、\(\psi:\mathbb{R}^+\rightarrow (0,1),\ x\mapsto\frac{x}{x+1}\)

试求\(\psi\varphi\)；
判断\(\psi\varphi\)是否是双射，并说明理由。若\(\psi\varphi\)是双射，求\((\psi\varphi)^{-1}\)。

5.

证明：

设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是单射，\(\psi:T\rightarrow U\)是单射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是单射；
设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是满射，\(\psi:T\rightarrow U\)是满射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是满射；
设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是双射，\(\psi:T\rightarrow U\)是双射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是双射，且\((\psi\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}\psi^{-1}\)。

6.

已知映射\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 3^x\)、\(\psi:\mathbb{R}^+\rightarrow (0,1),\ x\mapsto \frac{x}{x+1}\)

试求\(\psi\varphi\)；
判断\(\psi\varphi\)是否是双射，并说明理由。若\(\psi\varphi\)是双射，求\((\psi\varphi)^{-1}\)。

7.

设\(\varphi:S\rightarrow T,\psi:T\rightarrow S\)是映射，举例说明可能\(\varphi\psi={\rm id}_T\)但\(\psi\varphi\neq {\rm id}_S\)。

8.

设\(\varphi:S\rightarrow T\)是单射，\(\psi,\sigma:M\rightarrow S\)，证明：若\(\varphi\psi=\varphi\sigma\)，则\(\psi=\sigma\)；
设\(\rho:S\rightarrow T\)是满射，\(\tau,\chi:T\rightarrow N\)，证明：若\(\tau\rho=\chi\rho\)，则\(\tau=\chi\)。

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