主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 4.1 映射

建设中！

子节 4.1.1 知识点

定义 4.1.1.

设\(S\)、\(T\)是非空集合, 用 \(\phi\)表示一个\(S\)到\(T\)的 对应法则。若对\(\forall s\in S\)，有且只有\(T\)中 唯一元素\(t\)与之对应，则称 \(\phi\) 是\(S\)到\(T\)的映射 ，记为 \(\phi: S\to T\)。用 \(t= \phi(s)\)或\(\phi: s\mapsto t\)，表示在映射\(\phi\)下\(t\)与\(s\)相对应。称\(t\)为\(s\)在\(\phi\)下的像 ，\(s\)称为\(t\)的原像 。当取遍\(S\)中所有\(s\)时，所有像的集合记为
\begin{equation*} {\rm Im}(\phi)=\phi(S)=\{\phi(s)| s\in S\}. \end{equation*}
元素\(t\)的所有原像的集合记为
\begin{equation*} \phi^{-1}(t)=\{s\in S|\phi(s)= t\}. \end{equation*}

定义 4.1.2.

设\(\phi: S\to T\)。若\(\forall s_1\)、\(s_2\in S\)，\(s_1\ne s_2\)必有\(\phi(s_1)\ne \phi(s_2)\)，则称\(\phi\)是单射 。
  • 等价说法：若\(\phi\)是单射，则\(\phi(s_1)=\phi(s_2)\)等价于\(s_1=s_2\)。

定义 4.1.3.

若对\(\forall t\in T\)，存在\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)，则称\(\phi\)是满射 。
  • 等价说法：\(\phi(S)=T\)。

定义 4.1.4.

既单又满的映射称为双射 ，也称一一映射 。
  • 等价说法：\(\forall t\in T\)，存在唯一\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)。
  • 对于有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同；
  • 对于有限集\(S\)及\(T\subsetneq S\)，（即\(T\) 为\(S\) 的真子集），则 \(S\)、\(T\) 之间不可能存在双射；但是对于无限集未必如此。

定义 4.1.5.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: U\to V\)。若\(S=U\)、\(T=V\)，且\(\forall s\in S\)、\(\phi(s) =\psi(s)\)，则称\(\phi=\psi\)。

定义 4.1.6.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)。\(\phi\)与\(\psi\)的合成 定义为
\begin{equation*} {\color{blue}\psi\phi: S\to U, s\mapsto \psi(\phi(s))}. \end{equation*}
  • 一般的，\(\psi\phi{\color{red}\ne} \phi \psi\)。
  • \(\phi: S\to {\color{blue}T}\)、\(\psi: {\color{blue}T}\to {\color{orange}U}\)、 \(\rho: {\color{orange}U}\to V\)，则
    \begin{equation*} \rho(\psi\phi)= (\rho\psi)\phi. \end{equation*}

定义 4.1.7.

映射\({\rm id}_S: S\to S, s\mapsto s\)称为集合\(S\)上的恒等映射或单位映射 。
  • 设\(\phi: S\to T\)，则\({\rm id}_T\phi=\phi{\rm id}_S\)。

定义 4.1.8.

设\(\phi: S\to T\)是映射，若存在映射\(\psi: T\to S\)，使得\(\psi\phi={\rm id}_S \)，且\(\phi\psi={\rm id}_T\)，则称\(\phi\)是可逆映射 ，并称\(\psi\)为\(\phi\)的逆映射 。
  • 可逆映射的逆映射唯一， 记为\(\phi^{-1}\)。
  • 若\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)均为可逆映射， 则\(\psi\phi\)可逆，且\((\psi\phi)^{-1}=\phi^{-1}\psi^{-1}\)。

练习 4.1.2 练习

1.

指出下列法则是否为映射？单射？满射？双射？并给出理由。
  1. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\left\{\begin{matrix} x,& x>0\\-x,& x < 0 \end{matrix}\right. \text{;}\)
  2. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\left\{\begin{matrix} 1,& x\geq 0\\-1,& x\leq 0 \end{matrix}\right.\text{;}\)
  3. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Q},\ x\mapsto \sin x \text{;}\)
  4. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto \log_2 x \text{;}\)
  5. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 2^x \text{;}\)
  6. \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2,\ x\mapsto (0,x)^T \text{;}\)
  7. \(\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\ (x,y)^T\mapsto x \text{;}\)
  8. \(\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\ (x,y)\mapsto (2y,x) \text{;}\)
  9. \(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a-b,b-2c,c+3a)^T \text{;}\)
  10. \(\varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a^2,b^2,c^2)^T \)。
解答.
  1. 不是映射，因为\(\mathbb{R}\)中元素\(0\)在\(\mathbb{R}\)中没有元素与之对应。
  2. 不是映射，因为\(\mathbb{R}\)中元素\(0\)的对应方式不唯一。
  3. 不是映射，因为\(f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\not\in\mathbb{Q}\)。
  4. 不是映射。因为当\(x\leq 0\)时，\(\log_2 x\)没有意义，即\(\mathbb{R}\)中小等于\(0\)的数在\(\mathbb{R}\)中没有元素与之对应。
  5. 是双射。
    • 若\(\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\)，即\(2^{x_1}=2^{x_2}\)，则\(x_1=x_2\)，故\(\varphi\)是单射。
    • 对任意\(y\in\mathbb{R}^+\)，存在\(x=\log_2 y\in\mathbb{R}\)，使得\(\varphi(x)=y\)，故\(\varphi\)是满射。
  6. 是单射，不是满射。
    • 若\(\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\)，即\((0,x_1)^T=(0,x_2)^T\)，则\(x_1=x_2\)，故\(\varphi\)是单射。
    • 由于对任意\(x\in\mathbb{R}\)，都有\(\varphi(x)=(0,x)^T\neq (1,0)^T\)，所以不存在\(x\in\mathbb{R}\)使得\(\varphi(x)=(1,0)^T\)，因此\(\varphi\)不是满射。
  7. 是满射，不是单射。
    • 对任意\(x\in\mathbb{R}\)，存在\(\alpha=(x,0)^T\in\mathbb{R}^2\)，使得\(\varphi(\alpha)=x\)，故\(\varphi\)是满射。
    • 因为\(\varphi\left((1,0)^T\right)=1=\varphi\left((1,1)^T\right)\)，所以\(\varphi\)不是单射。
  8. 是双射。
    • 若\(\varphi\left((x_1,y_1)^T\right)=\varphi\left((x_2,y_2)^T\right)\)，即\((2y_1,x_1)^T=(2y_2,x_2)^T\)，则\(x_1=x_2\)且\(y_1=y_2\)，即\((x_1,y_1)^T=(x_2,y_2)^T\)，因此\(\varphi\)是单射。
    • 对任意\((x,y)^T\in\mathbb{R}^2\)，存在\((y,\frac{x}{2})^T\in\mathbb{R}^2\)，使得\(\varphi\left((y,\frac{x}{2})^T\right)=(x,y)^T\)，故\(\varphi\)是满射。
  9. 是双射。
    • 若\(\varphi\left((a_1,b_1,c_1)^T\right)=\varphi\left((a_2,b_2,c_2)^T\right)\)，即
      \begin{equation*} (a_1-b_1,b_1-2c_1,c_1+3a_1)^T=(a_2-b_2,b_2-2c_2,c_2+3a_2)^T, \end{equation*}
      则
      \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} a_1-b_1=a_2-b_2,\\ b_1-2c_1=b_2-2c_2,\\ c_1+3a_1=c_2+3a_2, \end{array}\right. \end{equation*}
      解得\(a_1=a_2,b_1=b_2,c_1=c_2\)，即\((a_1,b_1,c_1)^T=(a_2,b_2,c_2)^T\)，\(\varphi\)是单射。
    • 对任意\((x,y,z)^T\in\mathbb{R}^3\)，存在\((\frac{x+y+2z}{7},\frac{-6x+y+2z}{7},\frac{-3x-3y+z}{7})^T\in\mathbb{R}^3\)，使得\(\varphi\left((\frac{x+y+2z}{7},\frac{-6x+y+2z}{7},\frac{-3x-3y+z}{7})^T\right)=(x,y,z)^T\)，故\(\varphi\)是满射。
  10. 既不是单射，也不是满射。
    • 因为\(\varphi\left((1,0,0)^T\right)=(1,0,0)^T=\varphi\left((-1,0,0)^T\right)\)，所以\(\varphi\)不是单射。
    • 因为对任意\((a,b,c)^T\in\mathbb{R}^3\)，都有
      \begin{equation*} \varphi\left((a,b,c)^T\right)=(a^2,b^2,c^2)^T\neq (-1,0,0)^T, \end{equation*}
      即对于\((-1,0,0)^T\in\mathbb{R}^3\)，不存在\((a,b,c)^T\in\mathbb{R}^3\)，使得
      \begin{equation*} \varphi\left((a,b,c)^T\right)=(-1,0,0)^T, \end{equation*}
      故\(\varphi\)不是满射。

2.

设\(a,b\)是任意两个实数且\(a < b\)，试找出一个\([0,1]\)到\([a,b]\)的双射。
解答.
定义
\begin{equation*} \varphi:[0,1]\rightarrow [a,b],\ x\mapsto a+(b-a)x, \end{equation*}
则\(\varphi\)是\([0,1]\)到\([a,b]\)的映射。
  • 若\(\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\)，即\(a+(b-a)x_1=a+(b-a)x_2\)，则\(x_1=x_2\)，故\(\varphi\)是单射。
  • 对任意\(y\in [a,b]\)，存在\(x=\frac{y-a}{b-a}\in [0,1]\)，使得\(\varphi(x)=y\)，故\(\varphi\)是满射。
综上，\(\varphi\)是一个\([0,1]\)到\([a,b]\)的双射。

3.

找一个全体实数集到全体正实数集的双射。
解答.
定义
\begin{equation*} \varphi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+,\ x\mapsto e^x, \end{equation*}
则\(\varphi\)是\(\mathbb{R}\)到\(\mathbb{R}^+\)的映射。
  • 若\(\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\)，即\(e^{x_1}=e^{x_2}\)，则\(x_1=x_2\)，故\(\varphi\)是单射。
  • 对任意\(y\in \mathbb{R}^+\)，存在\(x=\ln y\in \mathbb{R}\)，使得\(\varphi(x)=y\)，故\(\varphi\)是满射。
综上，\(\varphi\)是一个\(\mathbb{R}\)到\(\mathbb{R}^+\)的双射。

4.

证明：
  1. 设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是单射，\(\psi:T\rightarrow U\)是单射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是单射；
  2. 设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是满射，\(\psi:T\rightarrow U\)是满射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是满射；
  3. 设映射\(\varphi:S\rightarrow T\)是双射，\(\psi:T\rightarrow U\)是双射，则\(\psi\varphi:S\rightarrow U\)是双射，且\((\psi\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}\psi^{-1}\)。
解答.
  1. 若\((\psi\varphi)(s_1)=(\psi\varphi)(s_2)\)，即\(\psi(\varphi(s_1))=\psi(\varphi(s_2))\)，由\(\psi\)是单射知\(\varphi(s_1)=\varphi(s_2)\)。又\(\varphi\)为单射，故\(s_1=s_2\)。从而\(\psi\varphi\)是单射。
  2. 对任意\(u\in U\)，由于\(\psi:T\rightarrow U\)是满射，所以存在\(t\in T\)使得\(u=\varphi (t)\)。又\(\varphi:S\rightarrow T\)是满射，故对于上述\(t\in T\)，存在\(s\in S\)使得\(\varphi(s)=t\)。于是，存在\(s\in S\)，使得\((\psi\varphi)(s)=\psi(\varphi(s))=\psi(t)=u\)。因此\(\psi\varphi\)是满射。
  3. 由a. b. 知：\(\psi\varphi\)是双射。注意到
    \begin{equation*} (\psi\varphi)(\varphi^{-1}\psi^{-1})=\psi(\varphi\varphi^{-1})\psi^{-1}=\psi\psi^{-1}={\rm id}_U, \end{equation*}
    \begin{equation*} (\varphi^{-1}\psi^{-1})(\psi\varphi)=\varphi^{-1}(\psi^{-1}\psi)\varphi=\varphi^{-1}\varphi={\rm id}_S, \end{equation*}
    故\((\psi\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}\psi^{-1}\)。

5.

已知映射\(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 3^x\)、\(\psi:\mathbb{R}^+\rightarrow(0,1),\ x\mapsto \frac{x}{x+1}\)
  1. 试求\(\psi\varphi\)；
  2. 判断\(\psi\varphi\)是否是双射，并说明理由。若\(\psi\varphi\)是双射，求\((\psi\varphi)^{-1}\)。
解答.
  1. \(\psi\varphi:\mathbb{R}\rightarrow (0,1),\ x\mapsto \frac{3^x}{3^x+1}\)。
  2. 因为\(\varphi,\psi\)都是双射，且
    \begin{equation*} \varphi^{-1}:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\log_3 x; \end{equation*}
    \begin{equation*} \psi^{-1}:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}^{+},\ x\mapsto \frac{x}{1-x}, \end{equation*}
    所以由上题\((3)\)知：\(\psi\varphi\)是双射，且\((\psi\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}\psi^{-1}\)，即
    \begin{equation*} (\psi\varphi)^{-1}:(0,1)\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto \log_3\frac{x}{1-x}. \end{equation*}

6.

设\(\varphi:S\rightarrow T,\psi:T\rightarrow S\)是映射，举例说明可能\(\varphi\psi={\rm id}_T\)但\(\psi\varphi\neq {\rm id}_S\)。
解答.
设\(\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto x,\ \psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2,\ x\mapsto \begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix}\)，则
\begin{equation*} \varphi\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto x \end{equation*}
\begin{equation*} \psi\varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
即\(\varphi\psi={\rm id}_{\mathbb{R}}\)但\(\psi\varphi\neq {\rm id}_{\mathbb{R}^2}\)。

7.

  1. 设\(\varphi:S\rightarrow T\)是单射，\(\psi,\sigma:M\rightarrow S\)，证明：若\(\varphi\psi=\varphi\sigma\)，则\(\psi=\sigma\)；
  2. 设\(\rho:S\rightarrow T\)是满射，\(\tau,\chi:T\rightarrow N\)，证明：若\(\tau\rho=\chi\rho\)，则\(\tau=\chi\)。
解答.
  1. 对任意\(m\in M\)，由\(\varphi\psi=\varphi\sigma\)知：\((\varphi\psi)(m)=(\varphi\sigma)(m)\)，即
    \begin{equation*} \varphi(\psi(m))=\varphi(\sigma(m)), \end{equation*}
    因为\(\varphi\)是单射，故\(\psi(m)=\sigma(m)\)，从而\(\psi=\sigma\)。
  2. 对任意\(t\in T\)，由\(\rho:S\rightarrow T\)是满射知：存在\(s\in S\)使得\(\rho(s)=t\)。由于\(\tau\rho=\chi\rho\)，所以
    \begin{equation*} \tau(t)=\tau(\rho(s))=(\tau\rho)(s)=(\chi\rho)(s)=\chi(\rho(s))=\chi(t), \end{equation*}
    故\(\tau=\chi\)。
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