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高等代数教学辅导

5.7 有理系数和整系数多项式

建设中!

子节 5.7.1 主要知识点

定义 5.7.1.

设多项式f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0是整系数多项式,若an,an1,,a0的最大公约数为1, 则称 f(x)本原多项式
  • f(x)Q[x]rQ,使得f(x)=rg(x),其中g(x)为本原多项式。
  • 除了相差一个正负号外,上述表示法唯一。

定义 5.7.3.

f(x)是整系数多项式,degf(x)1,若f(x)能表为两个次数较小的整系数多项式之积,即
f(x)=g(x)h(x),
其中g(x)h(x)是整系数多项式,且degg(x)<degf(x)degh(x)<degf(x),则称 f(x)在整数上的可约多项式 ,否则f(x)在整数上的不可约多项式
  • 有理系数多项式在有理数域上的可约问题可以转化为整系数多项式在整数上的可约问题。
  • p为素数是重要的。
  • p若不存在,不能断定f(x)是否可约。
  • 首一的整系数多项式的有理根必为整数,且是a0的因子。

练习 5.7.2 练习

1.

判断下列整系数多项式在Q上是否不可约:
  1. f(x)=x46x3+12x29x+3
  2. g(x)=x6+x3+1
  3. h(x)=x55x+1
解答.
  1. 取素数p=3,则p1,p6,12,9,3,但p23。由Eisenstein判别法,f(x)Q上不可约。
  2. x=y+1,得
    g(x)=(y+1)6+(y+1)3+1=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3,
    右式记为g1(y),取素数p=3,则p1,p6,15,21,18,9,3,但p23。由Eisenstein判别法,g1(y)Q上不可约。因此g(x)Q上也不可约。
  3. x=y1,得
    h(x)=(y1)55(y1)+1=y55y4+10y310y2+5,
    右式记为h1(y),取素数p=5,则p1,p5,10,10,0,5,但p25。由Eisenstein判别法,h1(y)Q上不可约。因此h(x)Q上也不可约。

2.

利用艾森斯坦判别法,证明:若p1,p2,,ptt个两两不同的素数,n是一个大于1的整数,那么p1p2ptn是一个无理数。
解答.
f(x)=xnp1p2pt,则f(x)Q上多项式。
取素数p=p1,则p1,p0,,0,p1p2pt,但p2p1p2pt。(否则p1p2pt,由p1是素数知:存在2it使得p1pi,即p1=pi,这与p1,p2,,pt两两互异相矛盾。)
由Eisenstein判别法,f(x)Q上不可约。注意到n是一个大于1的整数,所以f(x)Q上没有一次因式。而在R上,
xp1p2ptnf(x),
xp1p2ptnR上的因式,但不是f(x)Q上的因式。从而p1p2ptn是一个无理数。

3.

求下列多项式的有理根:
  1. x36x2+15x14
  2. 2x3+x23x+1
解答.
  1. a0=14的因子只有±1,±2,±7,±14,所以f(x)的有理根只可能是
    ±1,±2,±7,±14.
    因为f(1)=4,f(1)=36,所以±1不是f(x)的根。
    考虑c=2,因为f(1)c1=43Z,所以2不是f(x)的根。同理,由于
    f(1)71=23,f(1)71=12,f(1)141=413,f(1)141=415Z,
    所以±7,±14不是f(x)的根。
    对于c=2,由综合除法可得f(x)的有理根为2,且为单根。
  2. a0=1的因子只有±1a3=2的因子只有±1,±2,所以f(x)的有理根只可能是
    ±1,±12.
    因为f(1)=1,f(1)=3,所以±1不是f(x)的根。
    考虑qp=12,因为f(1)pq=13Z,所以12不是f(x)的根。
    考虑qp=12,由综合除法,f(x)的有理根为12,且为单根。

4.

试求一个次数最小的首项系数为1的有理系数多项式,使得它含以下根
1+2,3i.
解答.
g(x)=(x(1+2))(x(12))=x22x1,
h(x)=(x(3i))(x(3+i))=x26x+10
分别是以1+2,3i为根的Q上的不可约多项式,且(g(x),h(x))=1,所以若f(x)是含根1+2,3i次数最小的首项系数为1的有理系数多项式,则
f(x)=g(x)h(x)=x48x3+21x214x10.

5.

试求含无理根2+3次数最低的首项系数为1的有理系数多项式。
解答.
p(x)=(x(2+3))(x(23))(x(2+3))(x(23))=x410x2+1,
p(x)是含无理根2+3的首项系数为1的有理系数多项式。我们断言,p(x)Q上不可约多项式。
事实上,若p(x)Q上可约,则p(x)Z上可约。由p(x)无有理根知:p(x)可分解成两个整系数多项式的乘积,即
(5.7)x410x2+1=(x2+ax+b)(x2+cx+d),
其中a,b,c,dZ。比较(???)两边系数得
{a+c=0,b+d+ac=10,ad+bd=0,bd=1,
bd=1式知b=d=1b=d=1
b=d=1时,由a+c=0式得a=c,再由b+d+ac=10式得c2=12,这与cZ相矛盾。
b=d=1时,得c2=8,这也与cZ相矛盾。
因此p(x)Q上不可约。从而含无理根2+3次数最低的首项系数为1的有理系数多项式为p(x)=x410x2+1

6.

f(x)是次数大于0的首一整系数多项式,证明:若f(0)f(1)都是奇数,那么f(x)没有整数根。
解答.
证法一:设f(x)=anxn+an1xn1++a0。假设f(x)存在整数根c,则ca0。又因为a0=f(0)是奇数,所以c是奇数,从而c1是偶数。由已知条件f(1)是奇数,故c1f(1),即f(1)c1Z,矛盾。因此f(x)没有整数根。
证法二:假设f(x)存在整数根c,则xcf(x),即存在g(x)Q[x],使得f(x)=(xc)g(x)。因f(x)Z[x]xc是本原多项式,所以g(x)Z[x],则g(0),g(1)Z。注意到c,1c是一奇一偶,故f(0)=cg(0),f(1)=(1c)g(1)至少一个是偶数,这与f(0)f(1)都是奇数相矛盾。因此f(x)没有整数根。

7.

f(x)=xn1+xn2++x+1R上的标准分解式。
解答.
因为
xn1+xn2++x+1=xn1x1,
xn1的所有复根为
ωk=cos2kπn+isin2kπn,k=0,1,,n1,
所以f(x)=(xω1)(xω2)(xωn1)。注意到ωnk=ωk,所以f(x)R上的标准分解式为:
  1. n为奇数时,
    f(x)=[(xω1)(xωn1)][(xω2)(xωn2)][(xωn12)(xωn+12)]=(x22cos2πnx+1)(x22cos4πnx+1)(x22cos(n1)πnx+1);
  2. n为偶数时,
    f(x)=[(xω1)(xωn1)][(xω2)(xωn2)][(xωn22)(xωn+22)](xωn2)=(x22cos2πnx+1)(x22cos4πnx+1)(x22cos(n2)πnx+1)(x+1).

8.

f(x)=(xa1)(xa2)(xan)2,其中a1,a2,,an是两两不同的偶数 ,证明:f(x)Q上不可约。
解答.
证法一:(反证法)假设整系数多项式f(x)Q上可约,则f(x)Z上可约,即存在g(x),h(x)Z[x],使得
f(x)=g(x)h(x),
其中degg(x)<n,degh(x)<n。由题意知,对任意1in
2=f(ai)=g(ai)h(ai),
g(ai),h(ai)Z,所以g(ai),h(ai)中一个为±1,另一个为2。不妨设g(a1)=2,由a1为偶数知g(x)的常数项为偶数。注意到ai均为偶数,所以对任意1ing(ai)均为偶数,故g(ai)只能为2,相应地h(ai)=±1,从而g(ai)+2h(ai)=0。注意到deg(g(x)+2h(x))<n,且a1,a2,,an两两不同,所以g(x)+2h(x)=0。进而f(x)=2h2(x),比较两边首项系数,左边是奇数,右边是偶数,矛盾。因此f(x)Q上不可约。
证法二:令x=2y, 因为a1,a2,,an是两两不同的偶数,所以
f(2y)=2n(yb1)(yb2)(ybn)2,
其中bi=ai2,i=1,2,n是两两不同的整数。记g(y)=12f(2y),则
g(y)=2n1(yb1)(yb2)(ybn)1
是整系数多项式。下证g(y)Q上不可约即可。
假设g(y)Q上不可约,则g(y)Z上可约,即存在h(y),k(y)Z[y],使得g(y)=h(y)k(y),其中degh(y)<n,degk(y)<n。由题设,对任意1in1=g(bi)=h(bi)k(bi),而h(ai),k(ai)Z,所以h(bi)+k(bi)=0。注意到deg(g(x)+h(x))<nb1,b2,,bn两两不同,所以h(y)+k(y)=0。进而g(y)=h2(y),比较两边首项系数,左边是正数,右边是负数,矛盾。因此g(y)Q上不可约。从而f(x)Q上不可约。
证法三:由题设,有 f(x)=xn+bn1xn1++b1x+b0,其中
bni=(1)i1k1<<kinak1ak2aki,(i=1,2,,n1)
b0=2+(1)na1a2an.
  • n=1时,一次多项式f(x)显然在Q上不可约;
  • n2时,取素数p=2,则
    • p不整除首项系数1
    • 因为a1,a2,,an都是偶数,所以p|bn1,bn2,,b0
    • 因为n2a1,a2,,an都是偶数,所以p2|(1)na1a2an。而p22,故p22+(1)na1a2an,即p2b0
    由Eisenstein判别法,f(x)Q上不可约。