节 5.7 有理系数和整系数多项式
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子节 5.7.1 主要知识点
- \(\forall f(x)\in\mathbb{Q}[x]\)，\(\exists r\in \mathbb{Q}\)，使得\(f(x)=rg(x)\)，其中\(g(x)\)为本原多项式。
- 除了相差一个正负号外，上述表示法唯一。
引理 5.7.2. Gauss引理.
两个本原多项式之积是本原多项式。
定义 5.7.3.
设 \(f(x)\)是整系数多项式，\(\deg f(x)\ge 1\)，若\(f(x)\)能表为两个次数较小的整系数多项式之积，即
\begin{equation*}
f(x)= g(x) h(x),
\end{equation*}
其中\(g(x)\)、\(h(x)\)是整系数多项式，且\(\deg g(x)<\deg f(x)\)，\(\deg h(x)<\deg f(x)\)，则称 \(f(x)\)在整数上的可约多项式 ，否则f(x)在整数上的不可约多项式 。引理 5.7.4.
若多项式\(f(x)\)是整系数多项式，\(p(x)\)是本原多项式，且\(f(x) = c p(x)\)， 则\(c\)必为整数。
定理 5.7.5.
整系数多项式\(f(x)\)在有理数域上可约\(\Leftrightarrow\) \(f(x)\)在整数上可约。
- 有理系数多项式在有理数域上的可约问题可以转化为整系数多项式在整数上的可约问题。
定理 5.7.6.
任一整系数多项式总可以表示为一个整数和若干个不可约的本原多项式的乘积，且在不计因式的次序和符号的前提下， 这种分解是唯一的。
定理 5.7.7. Eisenstein判别法.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]\)。若有一个 素数 \(p\)，使得：
- \(p\nmid a_n\)，
- \(p|a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_0 \)，
- \(p^2\nmid a_0\)；
则\(f(x)\)在有理数域上是不可约的。
- \(p\)为素数是重要的。
- \(p\)若不存在，不能断定\(f (x)\)是否可约。
定理 5.7.8.
设\(f (x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)是整系数多项式，则有理数\(q/p\)是\(f (x)\)的根的必要条件是 \(p|a_n\)，\(q|a_0\)，其中\(p, q\)是互素的整数。
- 首一的整系数多项式的有理根必为整数，且是\(a_0\)的因子。
定理 5.7.9.
设整数\(c\)是整系数多项式\(f (x)\)的根，则\(\frac{f(1)}{c-1}\)，\(\frac{f(-1)}{c+1}\)都是整数。
练习 5.7.2 练习
1.
判断下列整系数多项式在\(\mathbb{Q}\)上是否不可约：
- \(f(x)=x^4-6x^3+12x^2-9x+3\)；
- \(g(x)=x^6+x^3+1\)；
- \(h(x)=x^5-5x+1\)。
2.
利用艾森斯坦判别法，证明：若\(p_1,p_2,\cdots ,p_t\)是\(t\)个两两不同的素数，\(n\)是一个大于\(1\)的整数，那么\(\sqrt[n]{p_1p_2\cdots p_t}\)是一个无理数。
3.
求下列多项式的有理根：
- \(x^3-6x^2+15x-14\)；
- \(2x^3+x^2-3x+1\)。
4.
试求一个次数最小的首项系数为\(1\)的有理系数多项式，使得它含以下根
\begin{equation*}
1+\sqrt{2},3-i.
\end{equation*}
5.
试求含无理根\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)次数最低的首项系数为\(1\)的有理系数多项式。
6.
设\(f(x)\)是次数大于\(0\)的首一整系数多项式，证明：若\(f(0)\)和\(f(1)\)都是奇数，那么\(f(x)\)没有整数根。
7.
求\(f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式。
8.
设\(f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)-2\)，其中\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是两两不同的偶数 ，证明：\(f(x)\)在\(\mathbb{Q}\)上不可约。
