节 7.3 不变因子和Frobenius标准形
建设中！
子节 7.3.1 主要知识点
备注 7.3.2.
若\(r(A(\lambda))=r\)，则\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。
定理 7.3.3.
相抵\(\lambda-\)矩阵有相同的行列式因子与秩。
推论 7.3.4.
设\(r(A(\lambda))=r\)，\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则
\begin{equation*}
D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda),\ (i=1,2,\cdots ,r-1)\mbox{。}
\end{equation*}
推论 7.3.5.
\(\lambda-\)矩阵的法式是唯一的。
推论 7.3.6.
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\Leftrightarrow A(\lambda),\ B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
- 由 推论 7.3.4 知：若\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\)，即\begin{equation*} \frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r)\mbox{。} \end{equation*}
定义 7.3.7.
设 \(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\ g_3(\lambda)=\frac{D_{3}(\lambda)}{D_{2}(\lambda)},\cdots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}
\end{equation*}
称为\(A(\lambda)\)的不变因子。备注 7.3.8.
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。
- 设\(A(\lambda)\)的行列式因子为\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\cdots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}; \end{equation*}
- 反之，若\(A(\lambda)\)的不变因子为\(g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots ,g_r(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_r(\lambda). \end{equation*}
定理 7.3.9.
对\(\lambda-\)矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)，下列叙述等价：
- \(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的不变因子；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的法式。
定义 7.3.10.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，多项式矩阵\(\lambda E-A\)称为矩阵\(A\)的特征矩阵 。 特征矩阵\(\lambda E-A\)的行列式因子和不变因子分别称为\(A\)的行列式因子 和不变因子。备注 7.3.11.
- 数字矩阵\(A\)的最后一个行列式因子等于\(A\)的特征多项式；
- 数字矩阵\(A\)所有不变因子的乘积等于\(A\)的特征多项式。
推论 7.3.12.
对于\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\)，下列叙述是等价的。
- \(A\)相似于\(B\)；
- \(A\)和\(B\)有相同的行列式因子；
- \(A\)和\(B\)有相同的不变因子。
推论 7.3.13.
设\(\mathbb{F},\mathbb{K}\)是数域且\(\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}\)。\(A,\ B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。则\(A,B\)在\(\mathbb{F}\)上相似的充分必要条件是\(A,B\)在\(\mathbb{K}\)上相似。
定义 7.3.14.
设\(f(\lambda)=\lambda^r+a_{r-1}\lambda^{r-1}+\cdots +a_1\lambda+a_0\in\mathbb{F} [\lambda ]\)且\(r\geq 1\)，称矩阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_0\\
1&0&\cdots&0&-a_1\\
0&1&\cdots&0&-a_2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&0&\cdots&1&-a_{r-1}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
为关于\(f(\lambda)\)的Frobenius块（或关于\(f(\lambda)\)的伴侣阵），记为\(F(f(\lambda))\)。引理 7.3.15.
关于\(f(\lambda)\)的Frobenius块\(F(f(\lambda))\)的行列式因子为
\begin{equation*}
\begin{matrix}
\underbrace{1,\cdots ,1}&,f(\lambda).\\r-1&
\end{matrix}
\end{equation*}
不变因子也是
\begin{equation*}
\begin{matrix}
\underbrace{1,\cdots ,1}&,f(\lambda).\\r-1&
\end{matrix}
\end{equation*}
定理 7.3.16.
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_0\\
1&0&\cdots&0&-a_1\\
0&1&\cdots&0&-a_2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&0&\cdots&1&-a_{r-1}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的特征多项式和极小多项式都是
\begin{equation*}
f(\lambda)=\lambda^r+a_{r-1}\lambda^{r-1}+\cdots +a_1\lambda+a_0,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
f_{F(f(\lambda))}(\lambda)=m_{F(f(\lambda))}(\lambda)=f(\lambda).
\end{equation*}
定理 7.3.17.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)的不变因子为
\begin{equation*}
1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda),
\end{equation*}
其中\(\deg d_i(\lambda)=m_i>0\)，则\(A\)相似于下列分块对角阵
\begin{equation*}
F=\begin{pmatrix}
F(d_1(\lambda))&&&\\&F(d_2(\lambda))&&\\&&\ddots&\\&&&F(d_k(\lambda))
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
称\(F\)为\(A\)的 Frobenius标准形 或 有理标准形。
定理 7.3.18.
设数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶矩阵\(A\)的不变因子为
\begin{equation*}
1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda),
\end{equation*}
则\(A\)的极小多项式为
\begin{equation*}
m_A(\lambda)=d_k(\lambda).
\end{equation*}
定义 7.3.19.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换。\(\phi\)在某个基下的矩阵为\(A\)。我们将矩阵\(A\)的行列式因子、不变因子分别称为线性变换\(\phi\)的行列式因子、不变因子。定理 7.3.20.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换。\(\phi\)的不变因子为
\begin{equation*}
1,\cdots ,1,d_1(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda),
\end{equation*}
其中\(\deg d_i(\lambda)\geq 1\)，则存在\(V\)的一个基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)，使得
\begin{equation*}
\phi (\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)\begin{pmatrix}
F(d_1(\lambda))&&&\\&F(d_2(\lambda))&&\\&&\ddots&\\&&&F(d_k(\lambda))
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
练习 7.3.2 练习
1.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子： (1)\ \(\begin{pmatrix}
\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\)； (2) \(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\)；(3)\ \(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
2.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是\(A\)的行列式因子，证明：存在\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，使得\((\lambda E-A)^*=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。
3.
设\(A=\begin{pmatrix}
0&2&0&0\\
1&-1&0&0\\
0&0&0&-2\\
0&0&1&3
\end{pmatrix}\)，求\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
4.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
5.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
6.
对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)。
7.
判断下列矩阵是否相似。
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&0\\0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\)。
8.
设\(A\)为\(2n\)阶实方阵，且\(A^2+E=0\)，证明：\(A\)相似于\(\begin{pmatrix}
0&-E_n\\
E_n&0
\end{pmatrix}\)。
9.
设\(\mathbb{Q}\)上的\(10\)阶方阵\(A\)的不变因子为
\begin{equation*}
1,1,\cdots ,1,(\lambda-2)^2(\lambda^2+2),(\lambda-2)^2(\lambda^2+2)^2,
\end{equation*}
写出\(A\)的Frobenius标准形。
10.
写出下列矩阵\(A\)在Frobenius标准形。
(1)\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)；(2) \(\begin{pmatrix}
1&1&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&3&2&-5\\
0&0&2&6&-10\\
0&0&1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
11.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
12.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
13.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，证明：若\(\deg m_A(\lambda)=n\)，则\(A\)的Frobenius标准形是一个Frobenius块。
14.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(3\)阶方阵，证明：\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且\(f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\)。当\(A,B\)为\(4\)阶方阵时，情况如何？
15.
设\(\varphi,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，且\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明：\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是\(\psi=h(\varphi)\)，其中\(\deg h(\lambda)<n\)。
