高等代数教学辅导

子节 9.1.1 主要知识点

1. 为了计算和讨论的方便，定义中\(x_ix_j(i<j)\)的系数写成\(2a_{ij}\)。
2. 定义中的公式也可写成

   \begin{equation*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\le i< j\le n} a_{ij}x_ix_j \end{equation*}
3. 约定\(a_{ij}=a_{ji}, i<j\)，于是公式可改写为

   \begin{equation*} \begin{array}{rcl} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) & = & a_{11}x_1^2+ a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n\\ & & +a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n\\ & & +\hfill\cdots\hfill +\hfill\cdots\\ & & +a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}x_n^2\\ & = & {\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j} \end{array} \end{equation*}

• 矩阵\(A\)的秩也称为是二次型\(f\)的秩。
• 二次型的矩阵总是对称矩阵，即\(A^T=A\)。
• 二次型的矩阵\(A\)中，\(a_{ii}\)为\(x_i^2\)的系数，\(a_{ij}(i\ne j)\)为\(x_ix_j\)系数的一半。
• 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即设\(A^T=A\)，\(B^T=B\)，则\(X^TAX=X^TBX\)的充要条件是\(A=B\)。

• \(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵的合同关系是等价关系。
• 若\(A\)与\(B\)合同，则\(A\)与\(B\)相抵。
• 若\(A\)与\(B\)合同，则\(A\)与\(B\)的秩相同。
• 若\(A\)与\(B\)合同且\(A^T= A\)，则\(B^T=B\)。
• 若\(A\)与\(B\)合同且\(A^T= -A\)，则\(B^T=-B\)。
• 若\(A\)与\(B\)正交相似，则\(A\)与\(B\)相似且\(A\)与\(B\)合同。
• 设对称矩阵\(A\)与矩阵\(B\)合同，即存在可逆矩阵\(C\)，使得\(B=C^TAC\)。
• 若\(C=Q_1Q_2\cdots Q_s\)，其中\(Q_i\)为初等矩阵，则

  \begin{align*} C^TAC & = & Q_s^T\cdots Q_2^TQ_1^TAQ_1Q_2\cdots Q_s\\ & = & Q_s^T(\cdots(Q_2^T(Q_1^TAQ_1)Q_2 )\cdots)Q_s \end{align*}

  就相当于对\(A\)作\(s\)次合同变换化为\(B\)。

• 用二次型语言来说就是: 对\(\mathbb{F}\)上秩为\(r\)的\(n\)元二次型\(f (x_1,\cdots,x_n)= X^TAX\)，总可以经过可逆线性替换 \(X=CY\)化为

  \begin{equation*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1 y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2 \end{equation*}

  上式称为二次型的标准形。