定义 4.3.1.
设\(V\)、\(U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的两个线性空间，若存在映射\(\phi: V\to U\)， 满足- \(\phi\)是一一映射， 即\(\phi\)是单射且是满射；
- \(\phi\)是线性映射；
节 4.3 同构
建设中！
子节 4.3.1 主要知识点
定理 4.3.2.
数域 \(\mathbb{F}\)上的任一 \(n\) 维线性空间均与\(\mathbb{F}\)上的 \(n\)维向量空间\(\mathbb{F}^n\)同构。
\begin{equation*}
\dim V=n \Rightarrow V\cong \mathbb{F}^n.
\end{equation*}
定理 4.3.3.
设\(\phi: V\to U\)是同构映射，则存在同构映射\(\psi: U\to V\)使得
\begin{equation*}
\psi\phi={\rm id}_V,\quad \phi\psi = {\rm id}_U.
\end{equation*}
命题 4.3.4.
线性空间的同构关系满足：
- 反身性：\(V\cong V\)；
- 对称性：若\(V\cong U\)，则\(U\cong V\)；
- 传递性：若\(V\cong U\)、\(U\cong W\)，则\(V\cong W\)。
定理 4.3.5.
\(\mathbb{F}\)上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相等。
命题 4.3.6.
设\(\phi: V\to U\)是同构映射。
- 在\(V\)中\(\alpha\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_s\)线性表出的充要条件是\(\phi(\alpha)\)在\(U\)中可由\(\phi(\alpha_1),\phi(\alpha_2),\ldots,\phi(\alpha_s)\)线性表出；
- 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_s\)在\(V\)中线性相关的充分必要条件是向量组\(\phi(\alpha_1),\phi(\alpha_2),\ldots,\phi(\alpha_s)\)在\(U\)中线性相关；
- \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_s\)是\(V\)的一组基的充分必要条件是\(\phi(\alpha_1),\phi(\alpha_2),\ldots,\phi(\alpha_s)\)是\(U\)中的一组基。
命题 4.3.7.
设\(\phi: V\to U\)是同构映射。 则
- 若\(W\)是\(V\)的\(r\)维子空间，则\begin{equation*} \phi(W)=\{\phi(\alpha)|\alpha\in W\} \end{equation*}也是\(U\)的 \(r\)维子空间；
- 若\(V=V_1\oplus V_2\)，则\begin{equation*} U= \phi(V_1)\oplus \phi(V_2). \end{equation*}
同构的基本性质
- 同构映射保线性关系、保基、保子空间及其维数、保直和。
- 数域\(\mathbb{F}\)上任一\(n\)维线性空间都与\(\mathbb{F}^n\)同构。
- \(\mathbb{F}\)上有限维线性空间\(V_1\)、\(V_2\)同构\(\Leftrightarrow \dim V_1 = \dim V_2\)。
定理 4.3.8.
设\(V\)、\(U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(V\) 的一组基为\(\varepsilon_1,\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n\)，\(U\)的一组基为\(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_m\)。 令
\begin{equation*}
\Theta: \mathcal{L} (V,U)\to \mathbb{F}^{m\times n}, \phi\mapsto A,
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
\phi(\varepsilon_1,\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n)=(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_m)A
\end{equation*}
则\(\Theta\)是\(\mathbb{F}\)上的线性同构映射。
推论 4.3.9.
设\(V\)是\(n\)为线性空间， \(U\)是\(m\)为线性空间，则
\begin{equation*}
\dim \mathcal{L}(V,U)=mn.
\end{equation*}
练习 4.3.2 练习
1.
在\(\mathbb{F}^3\)中，令\(\varphi: \mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，证明：\(\varphi\)是同构映射。
2.
利用线性空间同构给出下面线性空间的分类，即同构的归为一类，并说明理由。
\(\begin{array}{lllll}
(1)\ V_1=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ A^T=A\};&&&
&(2)\ V_2=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ A^T=-A\};\\
(3)\ V_3=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ tr(A)=0\};&&&&
(4)\ V_4=\left\{\left.\begin{pmatrix}
a&0\\0&b
\end{pmatrix}\right|\ a,b\in\mathbb{R}\right\};\\
(5)\ V_5=\mathbb{R}^3;&&&&
(6)\ V_6=\mathbb{R}^2;\\
(7)\ V_7=\mathbb{R};&&&&
(8)\ V_8=_\mathbb{R} \mathbb{C}.
\end{array}\)3.
证明：\(\mathbb{F}^{2\times 2}\cong \mathbb{F}^4\)，并写出同构映射。
4.
全体正实数\(\mathbb{R}^+\) 关于加法\(\oplus\)与数量乘法\(\odot\)
\begin{equation*}
a\oplus b=ab,\ \ k\odot a=a^k,\ \ \forall a,b\in\mathbb{R}^+,\ k\in\mathbb{R}
\end{equation*}
构成实数域\(\mathbb{R}\)上线性空间。 证明：实数域\(\mathbb{R}\)作为它自身上的线性空间与\(\mathbb{R}^+\)同构，并写出一个同构映射。
5.
设\(U_1,U_2\)是\(n\)维线性空间\(V\)的子空间。若\(\dim U_1=\dim U_2\)，证明：存在\(V\)上同构变换\(\varphi\)，使\(U_2=\varphi (U_1)\)。
6.
设\(V,U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的有限维线性空间，\(\varphi\in\mathcal{L} (V,U),\psi\in\mathcal{L} (U,V)\)。证明：若\(\dim V=\dim U\)，则\(\psi\varphi={\rm id}_V\)的充分必要条件是\(\varphi\psi={\rm id}_U\)。
7.
设\(V\)、\(U\)分别是数域\(\mathbb{F}\)上\(m\)、\(n\)维线性空间，\(\varphi\in\mathcal{L}(V,U)\)，
- 若\(\varphi\)为单射，证明：存在\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)使得\(\psi\varphi={\rm{id}}_V\)；
- 若\(\varphi\)为满射，证明：存在\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)使得\(\varphi\psi={\rm{id}}_U\)。
8.
设\(V\)上线性变换\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵为\(\begin{pmatrix}
0&0\\E_{n-1}&0
\end{pmatrix}\)。证明：如果\(V\)上的线性变换\(\psi\)与\(\varphi\)可交换，即\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，则存在\(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
\psi=a_0 {\rm id}_V+a_1\varphi+a_2\varphi^2+\cdots +a_{n-1}\varphi^{n-1}.
\end{equation*}
