主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 4.3 同构

建设中！

子节 4.3.1 主要知识点

定义 4.3.1.

设\(V\)、\(U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的两个线性空间，若存在映射\(\phi: V\to U\)， 满足
  1. \(\phi\)是一一映射， 即\(\phi\)是单射且是满射；
  2. \(\phi\)是线性映射；
则称\(\phi\)是一个同构映射 ， 并称\(V\)和\(U\) 是同构线性空间，记做\(V\cong U\)。
同构的基本性质
  • 同构映射保线性关系、保基、保子空间及其维数、保直和。
  • 数域\(\mathbb{F}\)上任一\(n\)维线性空间都与\(\mathbb{F}^n\)同构。
  • \(\mathbb{F}\)上有限维线性空间\(V_1\)、\(V_2\)同构\(\Leftrightarrow \dim V_1 = \dim V_2\)。

练习 4.3.2 练习

1.

在\(\mathbb{F}^3\)中，令\(\varphi: \mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，证明：\(\varphi\)是同构映射。
解答.
对任意\(\alpha_1=(a_1,b_1,c_1)^T,\alpha_2=(a_2,b_2,c_2)^T\in\mathbb{F}^3,k_1,k_2\in\mathbb{F}\)，有
\begin{equation*} \begin{array}{ccl} \varphi(k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2)&=&\begin{pmatrix}k_1a_1+k_2a_2\\k_1a_1+k_2a_2+k_1b_1+k_2b_2\\k_1a_1+k_2a_2+k_1b_1+k_2b_2+k_1c_1+k_2c_2\end{pmatrix}\\ &=&k_1 \begin{pmatrix} a_1\\a_1+b_1\\a_1+b_1+c_1 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} a_2\\a_2+b_2\\a_2+b_2+c_2 \end{pmatrix}\\ &=&k_1\varphi(\alpha_1)+k_2\varphi(\alpha_2) \end{array} \end{equation*}
所以\(\varphi\)是线性映射。若\(\varphi(\alpha_1)=\varphi(\alpha_2)\)，即
\begin{equation*} (a_1,a_1+b_1,a_1+b_1+c_1)^T=(a_2,a_2+b_2,a_2+b_2+c_2)^T, \end{equation*}
则\(a_1=a_2,b_1=b_2,c_1=c_2\)，即\(\alpha_1=\alpha_2\)。故\(\varphi\)是单射。
对任意\(\beta=(x,y,z)^T\in\mathbb{F}^3\)，存在\(\alpha=(x,y-x,z-y)^T\in\mathbb{F}^3\)，使得\(\varphi(\alpha)=\beta\)，故\(\varphi\)是满射。综上，\(\varphi\)是同构映射。

2.

利用线性空间同构给出下面线性空间的分类，即同构的归为一类，并说明理由。
\(\begin{array}{lllll} (1)\ V_1=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ A^T=A\};&&& &(2)\ V_2=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ A^T=-A\};\\ (3)\ V_3=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\ |\ tr(A)=0\};&&&& (4)\ V_4=\left\{\left.\begin{pmatrix} a&0\\0&b \end{pmatrix}\right|\ a,b\in\mathbb{R}\right\};\\ (5)\ V_5=\mathbb{R}^3;&&&& (6)\ V_6=\mathbb{R}^2;\\ (7)\ V_7=\mathbb{R};&&&& (8)\ V_8=_\mathbb{R} \mathbb{C}. \end{array}\)
解答.
因为
\begin{equation*} \dim_\mathbb{R} V_1=\dim_\mathbb{R} V_3=\dim_\mathbb{R} V_5=3, \end{equation*}
\begin{equation*} \dim_\mathbb{R} V_2=\dim_\mathbb{R} V_7=1, \end{equation*}
\begin{equation*} \dim_\mathbb{R} V_4=\dim_\mathbb{R} V_6=\dim_\mathbb{R} V_8=2, \end{equation*}
所以按同构分类，上述线性空间可分为以下三类：
  1. \(V_1,V_3,V_5\text{;}\)
  2. \(V_2,V_7\text{;}\)
  3. \(V_4,V_6,V_8\text{.}\)

3.

证明：\(\mathbb{F}^{2\times 2}\cong \mathbb{F}^4\)，并写出同构映射。
解答.
因为\(\mathbb{F}^{2\times 2},\mathbb{F}^4\)都是\(\mathbb{F}\)上的线性空间，且\(\dim\mathbb{F}^{2\times 2}=\dim \mathbb{F}^4=4\)，所以\(\mathbb{F}^{2\times 2}\cong \mathbb{F}^4\)。
同构映射取为
\begin{equation*} \varphi:\mathbb{F}^{2\times 2}\rightarrow\mathbb{F}^4,\ \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d)^T. \end{equation*}

4.

全体正实数\(\mathbb{R}^+\) 关于加法\(\oplus\)与数量乘法\(\odot\)
\begin{equation*} a\oplus b=ab,\ \ k\odot a=a^k,\ \ \forall a,b\in\mathbb{R}^+,\ k\in\mathbb{R} \end{equation*}
构成实数域\(\mathbb{R}\)上线性空间。 证明：实数域\(\mathbb{R}\)作为它自身上的线性空间与\(\mathbb{R}^+\)同构，并写出一个同构映射。
解答.
因为\(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}\)都是\(\mathbb{R}\)上的线性空间，且\(\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^{+}=\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{R}=1\)，所以\(\mathbb{R}\cong \mathbb{R}^{+}\)。
同构映射取为
\begin{equation*} \varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\ a\mapsto 2^a. \end{equation*}

5.

设\(U_1,U_2\)是\(n\)维线性空间\(V\)的子空间。若\(\dim U_1=\dim U_2\)，证明：存在\(V\)上同构变换\(\varphi\)，使\(U_2=\varphi (U_1)\)。
解答.
设\(\dim U_1=\dim U_2=r\)，\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_r\)是\(U_1\)的一个基，\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_r\)是\(U_2\)的一个基，将它们分别扩充为\(V\)的基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n\)及\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_r,\eta_{r+1},\cdots ,\eta_n\)。
定义\(V\)上的线性变换\(\varphi\)满足
\begin{equation*} \varphi (\xi_i)=\eta_i,\ i=1,2,\cdots ,n, \end{equation*}
\(\phi\) 将\(V\)的一个基变为\(V\)的一个基，则\(\varphi\)是同构变换且
\begin{equation*} \varphi (U_1)=\varphi (\langle\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_r\rangle)=\langle\varphi(\xi_1),\varphi(\xi_2),\cdots ,\varphi(\xi_r)\rangle=\langle\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_r\rangle=U_2. \end{equation*}

6.

设\(V,U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的有限维线性空间，\(\varphi\in\mathcal{L} (V,U),\psi\in\mathcal{L} (U,V)\)。证明：若\(\dim V=\dim U\)，则\(\psi\varphi={\rm id}_V\)的充分必要条件是\(\varphi\psi={\rm id}_U\)。
解答.
设\(\dim V=\dim U=n\)，\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n\)是\(U\)的一个基且
\begin{equation*} \begin{array}{c}\varphi (\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_m)=(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)A,\\\psi(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)B,\end{array} \end{equation*}
这里\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。于是，
\begin{equation*} \begin{array}{ccl}\psi\varphi=id_V&\Leftrightarrow &BA=E_n,\\ &\Leftrightarrow&A\mbox{可逆且}A^{-1}=B,\\ &\Leftrightarrow&AB=E_n\\ &\Leftrightarrow&\varphi\psi=id_U. \end{array} \end{equation*}

7.

设\(V\)、\(U\)分别是数域\(\mathbb{F}\)上\(m\)、\(n\)维线性空间，\(\varphi\in\mathcal{L}(V,U)\)，
  1. 若\(\varphi\)为单射，证明：存在\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)使得\(\psi\varphi={\rm{id}}_V\)；
  2. 若\(\varphi\)为满射，证明：存在\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)使得\(\varphi\psi={\rm{id}}_U\)。
解答.
设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_m\)是\(V\)的一个基，\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n\)是\(U\)的一个基且
\begin{equation*} \varphi (\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_m)=(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)A. \end{equation*}
  1. 因为\(\varphi\)是单射，所以\(A\)列满秩。故存在可逆矩阵\(P,Q\)使得
    \begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_m\\0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
    令\(B=Q^{-1} \begin{pmatrix} E_m&0 \end{pmatrix}P^{-1}\)，则\(BA=E_m\)。 定义\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)满足
    \begin{equation*} \psi (\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_m)B, \end{equation*}
    则\(\psi\varphi={\rm{id}}_V\)。
  2. 因为\(\varphi\)是满射，所以\(A\)行满秩。故存在可逆矩阵\(P,Q\)使得
    \begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_n&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
    令\(B=Q^{-1} \begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}P^{-1}\)，则\(AB=E_n\)。 定义\(\psi\in\mathcal{L}(U,V)\)满足
    \begin{equation*} \psi (\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_m)B, \end{equation*}
    则\(\varphi\psi={\rm{id}}_U\)。

8.

设\(V\)上线性变换\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵为\(\begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}\)。证明：如果\(V\)上的线性变换\(\psi\)与\(\varphi\)可交换，即\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，则存在\(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*} \psi=a_0 {\rm id}_V+a_1\varphi+a_2\varphi^2+\cdots +a_{n-1}\varphi^{n-1}. \end{equation*}
解答.
设
\begin{equation*} \psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)A, \end{equation*}
其中\(A=(a_{ij})_{n\times n}\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。因为\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，所以
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}A=A\begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}&0\\ a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}&0\\ a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}&0\\ \end{pmatrix} \end{equation*}
比较系数得，\(a_{ij}=0,\forall1\leq i<j\leq n\)且
\begin{equation*} \begin{array}{rl} a_{11}&=a_{22}=\cdots=a_{n-2,n-2}=a_{n-1,n-1}=a_{nn},\\ a_{21}&=a_{32}=\cdots=a_{n-1,n-2}=a_{n,n-1},\\ a_{31}&=a_{42}=\cdots=a_{n,n-2},\\ &\vdots\\ a_{n-1,1}&=a_{n2}, \end{array} \end{equation*}
即存在\(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*} \begin{array}{ccl} A&=&\begin{pmatrix} a_0&0&0&\cdots&0\\ a_1&a_0&0&\cdots&0\\ a_2&a_1&a_0&\cdots&0\\ \vdots &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ a_{n-1}&\cdots&a_2 &a_1&a_0 \end{pmatrix}\\ &=&a_0 E_n+a_1\begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}^2+\cdots +a_{n-1}\begin{pmatrix} 0&0\\E_{n-1}&0 \end{pmatrix}^{n-1},\end{array} \end{equation*}
故\(\psi=a_0 id_V+a_1\varphi+a_2\varphi^2+\cdots +a_{n-1}\varphi^{n-1}\)。
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