多项式的整除

节 5.2 多项式的整除

建设中！

设 \(f (x)\)、\(g(x)\in\mathbb{F}[x]\)。若存在\(h(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得

\begin{equation*} f (x) = g(x) h(x) , \end{equation*}

则称\(g(x)\)是\(f(x)\)的因式，或\(f(x)\)被\(g(x)\) 整除，或\(g(x)\)整除\(f(x)\)，记为\(g(x)|f (x)\)。否则称\(g(x)\)不整除\(f(x)\)，记为 \(g(x)\nmid f(x)\)。

整除的性质:

\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\in \mathbb{F}[x]\)，则

反身性：\(f(x)|f(x)\)；
传递性：\(f(x)|g(x)\)，\(g(x)|h(x)\)，则\(f(x)|h(x)\)；
互伴性：\(f(x)|g(x)\)，\(g(x)|f(x)\)，则存在\(0\ne c\in \mathbb{F}\)，使得

\begin{equation*} f(x)=cg(x), \end{equation*}

此时称\(f(x)\)和\(g(x)\)为相伴多项式，记作\(f(x)\sim g(x)\)。
\(f(x)|g(x)\)，\(f(x)|h(x)\)，则对任意\(u(x)\)，\(v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，有

\begin{equation*} f(x)| g(x)u(x)+h(x)v(x). \end{equation*}

特别地，若\(f(x)|g(x)\)，\(f(x)|g(x)q(x)+r(x) \)，则\(f(x)|r(x)\)。

多项式的带余除法

设\(f(x),\ g(x)\in \mathbb{F}[x]\)， \(g(x)\ne 0\)，则存在唯一 \(q(x),\ r(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得

\begin{equation*} f (x) = g (x)q(x) + r(x), \end{equation*}

其中 \({\deg r(x)}{\color{red}{<}}\deg g(x) \)。

\(f (x)\)，\(g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，\(g (x) \ne 0 \)，则\(g(x)| f(x)\)当且仅当 \(g(x)\) 除 \(f(x)\) 的余式为0。

整除关系与数域扩大无关，即设\(\mathbb{F}\)、\(\mathbb{K}\)是两个数域，且\(\mathbb{F}\subset \mathbb{K}\)，在\(\mathbb{F}[x]\)中\(q(x)|f(x)\) 的充分必要条件是在\(\mathbb{K}[x]\)中\(q(x)|f(x)\)。

Sage中多项式带余除法的命令为 quo_rem，其中quo是英文单词quotient（商）的前3个字母，rem是remainder（余式）的前3个字母。其使用方法如下所示。

带余除法定理的证明是一个算法证明，下面我们在Sage中用代码复现一下这个算法，请同学们比较理解。

对任意正整数\(n\)，证明：\(x-a\left|x^n-a^n\right.\)。

设\(f(x)=(x+1)^{k+n}+(2x)(x+1)^{k+n-1}+\cdots +(2x)^k(x+1)^n\)，这里\(k,n\)为非负整数。证明：\(\left. x^{k+1}\right|(x-1)f(x)+(x+1)^{k+n+1}\)。

设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F} [x]\)，其中\(f_1(x)\neq 0\)且

\begin{equation*} g_1(x)g_2(x)|f_1(x)f_2(x),f_1(x)|g_1(x), \end{equation*}

证明：\(g_2(x)|f_2(x)\)。

设\(f(x)=3x^4+x^3+x+3,g(x)=2x^2+x+1\)，求\(f(x)\)除以\(g(x)\)的商式和余式。

求\(a,b\)的值，使\(x^2+x+2|x^4+ax^2+b\)。

设\(d,n\in\mathbb{Z}^+\)，证明：在\(\mathbb{F} [x]\)中，\(x^d-1\left|x^n-1\right.\)的充分必要条件是\(d|n\)。

设\(g(x)=ax+b,\ a,b\in\mathbb{F}\)。又\(f(x)\in\mathbb{F} [x]\)。证明：\(g(x)|f^2(x)\)的充分必要条件是\(g(x)|f(x)\)。