节 5.4 标准分解式
建设中！
子节 5.4.1 主要知识点
- \(\mathbb{F}\)上不可约多项式\(f(x)\)的因式只能是\(\mathbb{F}\)上非零常数\(c\)及\(c f(x)\)。
- 一次多项式总是不可约多项式。
- (不)可约多项式前提是次数大等于1。
- 一个多项式是否不可约依赖于系数域。
命题 5.4.2.
设\(f(x)\)，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，且\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，则
\begin{equation*}
\text{ 或者}(p(x), f(x)) = 1\text{ 或者}p(x)|f(x)\text{。}
\end{equation*}
命题 5.4.3.
设\(f(x)\)、\(g(x)\)、\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，且\(p(x)| f(x) g(x)\)，则
\begin{equation*}
\text{ 或者 }p(x)| f(x)\text{ 或者 }p(x)|g(x)\text{。}
\end{equation*}
- 命题中 \(p(x)\) 不可约 是重要的；
推论 5.4.4.
设\(f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且 \(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，若
\begin{equation*}
p(x)| f_1(x) f_2(x)\cdots f_m(x),
\end{equation*}
则存在\(i\)，\(1\le i\le m\)，使得
\begin{equation*}
p(x)| f_i (x)
\end{equation*}
- 命题 5.4.2的逆命题： 设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)，\(\deg p(x) >0\)，满足以下性质：对任意 \(f(x)\in\mathbb{F} [x]\)，或者\(( f(x),p(x))=1\) 或者\(p(x)| f(x)\)，则\(p(x)\)在\(\mathbb{F}\)上不可约。
- 命题 5.4.3的逆命题： 设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)，\(\deg p(x) >0\)，满足以下性质：对任意 \(f(x)\in\mathbb{F} [x]\)，\(g(x)\in \mathbb{F} [x]\)，如果\(p(x)| f(x)g(x)\)必有 \(p(x)| f(x)\) 或者 \(p(x)|g(x)\)，则 \(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式。
- 通过\(p(x)\)与\(\mathbb{F}\)上任一个多项式或任意两个多项式的关系可判定\(p(x)\)在\(\mathbb{F}\)上是否不可约。
定理 5.4.5. 多项式唯一分解定理.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)\ge1\)，则
- \(f(x) = p_1(x) p_2(x)\cdots p_s(x)\)，其中\(p_i(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式\((i =1, 2, \ldots, s)\)；
- 若\(f(x) = p_1(x) p_2(x)\cdots p_s (x) = q_1(x) q_2(x)\cdots q_t (x)\)，其中\(p_i (x)\)，\(q_j (x)\)在\(\mathbb{F}\)上不可约\((i = 1, 2,\ldots, s; j = 1, 2, \ldots, t)\)，则必有\(s = t\)，且经过适当调换因式顺序\(p_i (x)\)与\(q_i (x)\)相伴\((i = 1, 2,\ldots, s)\)。
- 多项式的标准分解式 ： 设\(\deg f(x)\ge1\)，则\begin{equation*} f(x)=c p_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)\cdots p_m^{e_m}(x) \end{equation*}其中\(p_i (x)\)是首一的 两两互素不可约多项式， \(e_i\ge 1(i = 1, 2,\ldots, m)\)。
定义 5.4.6.
不可约多项式\(p(x)\)称为\(f(x)\)的\(k\)重因式，如果
\begin{equation*}
p^k(x)|f(x)\text{ 并且 }p^{k+1}(x)\not{|}f(x)\text{。}
\end{equation*}
- 当\(k=0\)时，\(p(x)\)不是\(f(x)\)的因式；
- 当\(k=1\)时，\(p(x)\)称为\(f(x)\)的单因式；
- 当\(k>1\)时，\(p(x)\)称为\(f(x)\)的重因式。
- 不可约多项式\(p(x)\)为\(f(x)\)的\(k\)重因式\begin{equation*} \Leftrightarrow f(x)=p^k(x)h(x),\quad (p(x),h(x))=1. \end{equation*}
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，则其导数为
\begin{equation*}
f'(x)=na_nx^{n-1}+{(n-1)}a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
\end{equation*}
- \((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \)；
- \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)；
- \((cf(x))'=cf'(x)\)；
- \(\displaystyle (f^m(x))'=mf^{m-1}(x)f'(x) \)
定理 5.4.7.
若不可约多项式\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(k\)重因式（\(k\geq 1\)），则\(p(x)\)是\(f'(x)\)的\(k- 1\)重因式。
推论 5.4.8.
不可约多项式\(p(x)\)是\(f (x)\) 的\(k \)重因式\((k> 1)\) \(\Leftrightarrow \)\(p(x)\)是\((f(x), f'(x))\)的\(k - 1\)重因式。
推论 5.4.9.
不可约多项式\(p(x)\)是\(f (x)\)的\(k\)重因式\((k\geq 1)\) \(\Leftrightarrow p(x)\)是\(f (x), f'(x),f''(x),\ldots,\) \(f^{ (k-1)} (x)\)的因式，但不是\(f^{ (k)} (x)\)的因式。
推论 5.4.10.
\(p(x)\)是不可约多项式，则\(p(x)\)是\(f (x)\)的重因式\(\Leftrightarrow p(x)\)是\(f (x)\)和 \(f'(x)\) 的公因式。
去除重数的有效方法
推论 5.4.11.
设\(d(x)=(f(x), f'(x))\)，\(f(x) = f_1(x)d(x)\)，则\(f_1(x)\)是一个无重因式的多项式， 且此多项式的每一个不可约因式与\(f(x)\)的不可约因式相同。
- \(f(x)\)与\begin{equation*} \frac{f(x)}{(f(x),f'(x))} \end{equation*}有完全相同的不可约因式。
- \(\displaystyle\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}\)的因式皆为单因式。
- 去除重数的有效方法：\begin{equation*} \frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)\cdots p_m(x) \end{equation*}
推论 5.4.12.
\(f (x)\)无重因式\(\Leftrightarrow (f (x), f'(x)) = 1\)。
- 判断\(f (x)\)是否有重因式无需进行因式分解；
- \(f (x)\)是否可约与数域有关；
- \(p(x)\)是否是 \(f (x)\)的重因式与数域有关；但\(f (x)\)是否有重因式与数域无关。
练习 5.4.2 练习
1.
设\(f(x)=x^2+3x+4\)，证明：\(f(x)\)是实数域上不可约多项式。
2.
设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，由\(p(x)\left|f(x)g(x)\right.\)可推出\(p(x)\left|f(x)\right.\)或\(p(x)\left|g(x)\right.\)，那么\(p(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
3.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)>0\)，证明下列命题等价：
- \(f(x)\)与数域\(\mathbb{F}\)上某个不可约多项式的正整数次幂相伴；
- \(\forall g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，有\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)\mid g^m(x)\)；
- 在\(\mathbb{F}[x]\)中，从\(f(x)\mid g(x)h(x)\)可以推出\(f(x)\mid g(x)\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)\mid h^m(x)\)。
4.
设\(f(x)=x^4+x^2+1\)，试分别在复数域、实数域上写出其标准分解式。
5.
设\(f(x),g(x)\)是\(\mathbb{F}[x]\)中次数大于0的多项式，\(m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：
\begin{equation*}
\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m\mbox{。}
\end{equation*}
6.
设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F}[x]\)，满足\(\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i,j=1,2\)，证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)g_1(x),f_2(x)g_2(x)\right)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\left(g_1(x),g_2(x)\right)\mbox{。}
\end{equation*}
7.
设\(f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：
\begin{equation*}
\left[f(x),\left(g(x),h(x)\right)\right]=\left(\left[f(x),g(x)\right],\left[f(x),h(x)\right]\right)\mbox{。}
\end{equation*}
8.
证明：有理数域上多项式\(f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}\)没有重因式。
9.
设\(f(x)=x^3+3ax+b\)，当且仅当\(a,b\)满足什么条件时，\(f(x)\)有重因式。
10.
设\(f(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)次多项式，证明：\(f'(x)\mid f(x)\)的充分必要条件是
\begin{equation*}
f(x)=a(x-b)^n,
\end{equation*}
这里\(a,b\in\mathbb{F}\)。
