定义 8.4.1.
设\(V\)是\(n\)维酉（欧氏）空间，\(\varphi\)是\(V\)的线性变换。如果\(\varphi\)保持内积，即对任意\(\alpha,\beta\in V\)， 总成立
\begin{equation*}
\left(\varphi(\alpha),\varphi(\beta)\right)=(\alpha,\beta),
\end{equation*}
则称\(\varphi\)是酉变换（正交变换）。节 8.4 酉变换和酉矩阵、正交变换和正交矩阵
建设中！
子节 8.4.1 主要知识点
定理 8.4.2.
设\(\varphi\)是\(n\)维酉（欧氏）空间\(V\)的线性变换，则下列条件等价：
- \(\varphi\)是酉（正交）变换；
- \(\varphi\)保持长度不变；
- \(\varphi\)将\(V\) 的标准正交基变成标准正交基；
- \(\varphi\)在\(V \)的标准正交基下矩阵是酉（正交）矩阵；
- \(\varphi\)是酉（欧氏）空间\(V\) 上的同构映射。
-
若\(\varphi,\psi\)是酉变换，则
- \(\varphi\)可逆，且\(\varphi^{-1}\)也是酉变换;
- \(\varphi\psi\)为酉变换。
-
若\(\varphi,\psi\)是正交变换，则
- \(\varphi\)可逆，且\(\varphi^{-1}\)也是正交变换；
- \(\varphi\psi\)为正交变换。
定理 8.4.3.
设\(n\)阶复矩阵\(A\)为酉矩阵, 则
- \(A\) 的行列式的模为\(1\)；
- \(A\) 的特征值的模为\(1\)。
定理 8.4.4.
设\(n\)阶实矩阵\(A\)为正交矩阵，则
- \(A\) 的行列式为\(\pm 1\)；
- \(A\) 的特征值的模长为\(1\)。
设\(n\)维欧氏空间\(V\)中的线性变换\(\varphi\)在标准正交基\(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n\)下的矩阵是正交矩阵\(A\)
- 如果\(|A|=1\)，则称\(\varphi \)为第一类正交变换（旋转）；
- 如果\(|A|=-1\)，则称\(\varphi\)为第二类正交变换。
例 8.4.5.
设\(\eta\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中一单位向量，定义
\begin{equation*}
\varphi(\alpha)=\alpha-2(\eta,\alpha)\eta.
\end{equation*}
证明：
- \(\varphi\)是正交变换（称为镜面反射）；
- 存在\(V\)的一个标准正交基，使得\(\varphi\)在这个标准正交基下的矩阵为\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & E_{n-1} \end{pmatrix} \end{equation*}
- \(\varphi\)是第二类正交变换。
定理 8.4.6.
设\(A\)是\(n\)阶酉矩阵, 则存在\(n\)阶酉矩阵\(U\text{,}\) 使得
\begin{equation*}
U^{-1}AQ=\overline{U}^TAU
\end{equation*}
为对角矩阵，且主对角元都是模为\(1\)的复数。
定理 8.4.7.
设\(\varphi\)是\(n\)维酉空间\(V\)的酉变换, 则存在一个标准正交基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是对角矩阵，且主对角元都是模为\(1\)的复数。
引理 8.4.8.
设\(A\)为正交阵，\(\lambda=a+bi(b\ne 0)\)为\(A\)的一个复特征值， \(X=\alpha+i \beta\)为对应的特征向量，其中\(\alpha,\beta\in \mathbb{R}^n\)，则\(\alpha\perp \beta\)，且\(|\alpha|=|\beta|\)。
- 因\(|\lambda|=1\)，故可设\(a=\cos\theta,b=-\sin\theta\)。 \(a^2+b^2=1\)， \(A \alpha=a \alpha-b \beta=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix} \text{,}\) \(A\beta=b \alpha+a \beta=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix} -\sin\theta\\\cos\theta \end{pmatrix} \)\begin{equation*} A(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \end{equation*}
定理 8.4.9.
设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，则存在\(n\)阶正交矩阵\(Q\)，使
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl} & &Q^{-1}AQ=Q^TAQ\\
& = & {\rm diag}\left(E_r,-E_s,\begin{pmatrix}
\cos\theta_1& -\sin\theta_1\\
\sin\theta_1& \cos\theta_1
\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}
\cos\theta_\ell& -\sin\theta_\ell\\
\sin\theta_\ell& \cos\theta_\ell
\end{pmatrix}\right),\end{array}
\end{equation*}
其中\(r+s+2\ell=n\)。
定理 8.4.10.
设\(\varphi\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)的正交变换，则存在一个标准正交基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是
\begin{equation*}
{\rm diag}\left(E_r,-E_s,\begin{pmatrix}
\cos\theta_1& -\sin\theta_1\\
\sin\theta_1& \cos\theta_1
\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}
\cos\theta_\ell& -\sin\theta_\ell\\
\sin\theta_\ell& \cos\theta_\ell
\end{pmatrix}\right).
\end{equation*}
练习 8.4.2 练习
1.
设\(\varphi\)是欧氏空间\(V\)上的变换，且对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{equation*}
\left(\varphi(\alpha),\varphi(\beta)\right)=\left(\alpha,\beta\right),
\end{equation*}
证明：\(\varphi\)是线性变换，因而是正交变换。
2.
设\(\varphi\)是正交变换，\(U\)是\(\varphi\)-子空间，证明：\(U^\perp\)也是\(\varphi\)-子空间。
3.
设\(\varphi\)是酉变换，证明：\(\varphi\)的属于不同特征值的特征向量必正交。
4.
设\(\varphi\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)的正交变换。若\(\varphi\)以\(1\)作为一个特征值，且属于特征值\(1\)的特征子空间\(V_1\)的维数为\(n-1\)，证明：\(\varphi\)是镜面反射。
5.
设\(\xi,\eta\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中两个不同的单位向量，证明：存在一个镜面反射\(\varphi\)，使得\(\varphi(\xi)=\eta\)。
6.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是Hermite矩阵的充分必要条件是\(A\)的特征值全是实数。
7.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是酉矩阵的充分必要条件是\(A\)的特征值全是模为\(1\)的复数。
8.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是幂零矩阵的充分必要条件是\(A=0\)。
9.
证明：\(n\)维欧氏空间\(V\)中任意正交变换\(\varphi\)都可以表为一系列镜面反射的乘积。
10.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)和\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_m\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中的两个向量组，证明：存在\(V\)上的一个正交变换\(\varphi\)，使得
\begin{equation*}
\varphi(\alpha_i)=\beta_i,\ i=1,2,\cdots ,m
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(\alpha_i,\alpha_j\right)=\left(\beta_i,\beta_j\right),\ i,j=1,2,\cdots ,m.
\end{equation*}
