定义 9.3.1.
设\(f(x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是实二次型。如果对任意非零实向量 \(X = (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T\)， 恒有
\begin{equation*}
f (a_1, a_2, \ldots , a_n) = X^TAX > 0,
\end{equation*}
则称\(A\)是正定矩阵， 称该二次型是正定二次型。节 9.3 正定二次型
建设中！
子节 9.3.1 主要知识点
- 正定二次型必须是实二次型；
- 若\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是正定二次型，则\begin{equation*} f(c_1,c_2,\ldots,c_n)=0\Leftrightarrow c_1=c_2=\cdots=c_n=0. \end{equation*}
- 若二次型\begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j, \end{equation*}其中\(a_{ij}=a_{ji} \)是正定的，则对任意\(1\le i\le n\)，都有\(a_{ii}>0\)。
命题 9.3.2.
可逆线性替换不改变二次型的正定性。
定理 9.3.3.
设A是实对称矩阵， 则下列命题等价:
- \(A\)是正定矩阵；
- \(A\)的正惯性指数为\(n\)；
- \(A\)合同于 \(n\) 阶单位矩阵；
- 存在\(n\)阶可逆矩阵 \(C\text{,}\) 使得 \(A = C^TC\)；
- \(A\)的特征值全大于0。
推论 9.3.4.
设\(A\)是正定的，则\(\det A>0\)。
定义 9.3.5.
\(A\)的\(k\)阶主子式：
\begin{equation*}
A \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k\\
i_1 & i_2 & \cdots & i_k
\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{i_1i_1} & a_{i_1i_2} & \cdots & a_{i_1i_k}\\
a_{i_2i_1} & a_{i_2i_2} & \cdots & a_{i_2i_k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_ki_1} & a_{i_ki_2} & \cdots & a_{i_ki_k}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\(A\)的\(k\)阶顺序主子式：
\begin{equation*}
A \begin{bmatrix}
1 & 2 & \cdots & k\\
1 & 2 & \cdots & k
\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
定理 9.3.6.
\(n\)阶实对称矩阵\(A\)是正定阵的充分必要条件是它的\(n\)个顺序主子式全大于零。
定理 9.3.7.
\(A^T=A\in \mathbb{R}^{n\times n}\)， 则下列条件等价:
- \(A\)是正定阵。
- 对任意\(0\ne X\in\mathbb{R}^n\)， 有\(X^TAX>0\)。
- 存在可逆阵 \(P\in \mathbb{R}^{n\times n}\)， 使得\(P^TAP=E\)。
- 存在可逆阵\(P\in\mathbb{R}^{n \times n}\)， 使得\(A=P^TP\)。
- \(A\)的正惯性指数 \(p = n\)。
- \(A\)的所有顺序主子式\(> 0\)。
- \(A\)的所有主子式 > 0。
定义 9.3.8.
设 \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是实二次型。- 如果对任意 \(X = (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T \ne 0\)， 恒有\begin{equation*} f (a_1, a_2, \ldots , a_n) = X^TAX {\color{blue} >} 0, \end{equation*}则称\(A\)是正定矩阵， 称该二次型是正定二次型。
- 如果对任意 \(X = (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T \ne 0\)， 恒有\begin{equation*} f (a_1, a_2, \ldots , a_n) = X^TAX {\color{blue} \ge} 0, \end{equation*}则称\(A\)是半正定矩阵， 称该二次型是半正定二次型。
- 如果对任意 \(X = (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T \ne 0\)， 恒有\begin{equation*} f (a_1, a_2, \ldots , a_n) = X^TAX {\color{blue} <} 0, \end{equation*}则称\(A\)是负定矩阵， 称该二次型是负定二次型。
- 如果对任意 \(X = (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T \ne 0\)， 恒有\begin{equation*} f (a_1, a_2, \ldots , a_n) = X^TAX {\color{blue} \le} 0, \end{equation*}则称\(A\)是半负定矩阵， 称该二次型是半负定二次型。
- 若存在\(X_1= (a_1, a_2, \ldots , a_n)^T \ne 0\)， 使\(X_1^TAX_1>0\)， 且存在\(X_2= (b_1, b_2, \ldots , b_n)^T\ne 0\)， 使\(X_2^TAX_2< 0\)， 则\(A\)是不定矩阵， 称该二次型是不定型。
定理 9.3.9.
设实二次型 \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)的正惯性指数为\(p\)， 负惯性指数为\(q\)， 秩为\(r\)。 则
- \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是正定\(\Leftrightarrow\) \(p = n\)；
- \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是半正定\(\Leftrightarrow\)\(p = r\le n\)；
- \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是负定\(\Leftrightarrow\)\(q = n\)；
- \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是半负定\(\Leftrightarrow\) \(q = r \le n\)；
- \(f (x_1 , x_2, \ldots , x_n) = X^TAX\)是不定\(\Leftrightarrow\)\(p > 0\)且\(q > 0\)。
- 实对称矩阵\(A\)负定 \(\Leftrightarrow\)\(-A\)正定。
定理 9.3.10.
\(A^T=A\in\mathbb{R}^{n\times n}\)，则下列条件等价:
- \(A\)是负定矩阵。
- \(A\)的负惯性指数 \(q = n\)。
- 存在可逆阵\(P\in \mathbb{R}^{n\times n}\)， 使得\(P^TAP=-E\)。
- 存在可逆阵\(P\in \mathbb{R}^{n\times n}\)， 使得\(A=-P^TP\)。
- \(A\)的所有特征值均小于0。
- \(A\)的所有奇数阶顺序主子式 \(< 0\)，所有偶数阶顺 序主子式\(> 0\)。
- \(A\)的所有奇数阶主子式 \(< 0\)，所有偶数阶主子式 \(> 0\)。
定理 9.3.11.
设\(A\)是实对称矩阵， 则下列命题等价:
- \(A\)是半正定矩阵；
- \(A\)的正惯性指数\(p=r\)；
- \(A\)的特征值全大等于0；
- 存在\(n\)阶矩阵\(C\)， 使得 \(A = C^TC\)；
- \(A\)的所有主子式全大等于0。
推论 9.3.12.
设\(A\)是半正定， 则\(\det A\ge0\)。
练习 9.3.2 练习
1.
设\(V\)是\(n\)维欧氏空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是\(V\)的一个基，\(A=\left((\alpha_i,\alpha_j)\right)_{n\times n}\)称为基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)的度量矩阵。证明：度量矩阵是正定矩阵。
2.
设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，在\(\mathbb{R}^n\)中，定义
\begin{equation*}
(X,Y)=X^TAY,
\end{equation*}
证明：\((-,-)\)是一个内积，从而定义了一个欧氏空间。
3.
设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，证明：\(B^TAB\)正定的充分必要条件是\(r(B)=m\)。
4.
设\(A=\begin{pmatrix}
B&C\\ C^T&D
\end{pmatrix}\)是正定矩阵，其中\(B\)是\(n\)阶矩阵，\(D\)是\(m\)阶矩阵，\(C\)是\(n\times m\)矩阵，证明：\(B,\ D\)以及\(D-C^TB^{-1}C\)均是正定矩阵。
5.
设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，证明：\(\det (A+E)>1\)。
6.
设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，证明：存在正定矩阵\(B\)，使得\(A=B^2\)。
7.
当\(a\)取何值时，下面二次型是正定的、半正定的：
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
\end{equation*}
8.
当\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)满足什么条件时，二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=(x_1+a_1x_2)^2+(x_2+a_2x_3)^2+\cdots +(x_n+a_nx_1)^2
\end{equation*}
是正定二次型。
9.
设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，证明
- \(\det A\leq a_{nn}P_{n-1}\)，其中\(P_{n-1}\)是第\(n-1\)个顺序主子式；
- \(\det A\leq a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\)。
10.
设\(P=(p_{ij})\)是\(n\)阶实可逆矩阵，证明：
\begin{equation*}
(\det P)^2\leq \prod\limits_{i=1}^n (p_{1i}^2+p_{2i}^2+\cdots +p_{ni}^2).
\end{equation*}
