定理 2.4.1.
设\(\eta_1,\eta_2\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的解，则对任意的\(c_1,c_2\in \mathbb{F}\)，\(c_1\eta_1+c_2\eta_2\)仍是\(AX=0\)的解。
节 2.4 线性方程组解的结构
建设中！
子节 2.4.1 主要知识点
定义 2.4.2.
如果齐次线性方程组\(AX=0\)的一组解 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\) 满足：- \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\)线性无关；
- 任意解向量都可由\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\)线性表出，
备注 2.4.3.
- \(AX=0\)所有解向量组成的向量组的一个极大无关组即\(AX=0\)的一个基础解系。
- 若\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s\)是\(AX=0\)的一个基础解系，则\(AX=0\)的解\begin{equation*} c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots +c_s\eta_s,\quad c_1,c_2,\cdots,c_s\in \mathbb{F} \end{equation*}称之为\(AX=0\)的通解。
定理 2.4.4.
对于\(n\)元线性方程组\(AX=0\)， 如果\(r(A)=r<n\)，则该方程组必有基础解系， 且基础解系由\(n-r\)个向量组成。
证明.
不妨设\(A\)可经过行初等变换化为简化阶梯形矩阵
\begin{equation*}
\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&0& \cdots &0&{{c_{11}}}&{{c_{12}}}& \cdots &{{c_{1,n - r}}}\\
0&1& \cdots &0&{{c_{21}}}&{{c_{22}}}& \cdots &{{c_{2,n - r}}}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0&0& \cdots &1&{{c_{r1}}}&{{c_{r2}}}& \cdots &{{c_{r,n - r}}}\\
0&0& \cdots &0&0&0& \cdots &0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0&0& \cdots &0&0&0& \cdots &0
\end{array}} \right)
\end{equation*}
对应的同解方程组为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccccc}
x_1&&&&=-c_{11}x_{r+1}-c_{12}x_{r+2}-\cdots -c_{1,n-r}x_n\\
&x_2&&&=-c_{21}x_{r+1}-c_{22}x_{r+2}-\cdots -c_{2,n-r}x_n\\
\cdots&\cdots&\ddots&\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
&&&x_r&=-c_{r1}x_{r+1}-c_{r2}x_{r+2}-\cdots -c_{r,n-r}x_n
\end{array}\right.
\end{equation*}
用\(n-r\)组数 \((1,0,\cdots,0)^T,(0,1,\cdots,0)^T,\cdots,(0,0,\cdots,1)^T\) 代入自由未知量 \(({{x_{r + 1}}},{{x_{r + 2}}}, \cdots ,{{x_n}})^T\)，得到\(n-r\)个解向量
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\eta _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{11}}},&{ - {c_{21}}},& \cdots ,&{ - {c_{r1}}},&1,&0,& \cdots ,&0
\end{array}} \right)^T,\pause\\{\eta _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{12}}},&{ - {c_{22}}},& \cdots ,&{ - {c_{r2}}},&0,&1,& \cdots ,&0
\end{array}} \right)^T, \pause\\\vdots \\{\eta _{n - r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{1,n - r}}},&{ - {c_{2,n - r}}},& \cdots ,&{ - {c_{r,n - r}}},&0,&0,& \cdots ,&1
\end{array}} \right)^T.\end{array}
\end{equation*}
解向量 \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 满足：
- \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\)线性无关；
- 事实上， \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\)的后\(n-r\)个分量构成的向量组\begin{equation*} (1,0,\cdots,0)^T,(0,1,\cdots,0)^T,\cdots,(0,0,\cdots,1)^T \end{equation*}线性无关，而 \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 是这\(n-r\)个向量的加长向量组， 所以， \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 线性无关。
- 任意解向量\(\eta=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^T\)都可由 \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 线性表出。
- 事实上，由 \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 是\(AX=0\)的解，得\begin{equation*} c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots +c_n\eta_{n-r}=(*,\cdots,*,c_{r+1},c_{r+2},\cdots ,c_n)^T \end{equation*}也是\(AX=0\)的解。它与\(\eta\)的最后\(n-r\)个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们是同一个解，即\begin{equation*} \eta= c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\cdots +c_n\eta_{n-r}. \end{equation*}
因此， \(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\) 是\(AX=0\)的一个基础解系。
备注 2.4.5.
- 齐次线性方程组\(AX=0\)的基础解系未必唯一。
- 与齐次线性方程组\(AX=0\)的基础解系等价的线性无关向量组也是\(AX=0\)的基础解系。
- 若\(r(A)=r\)，则\(AX=0\)的任意\(n-r\)个线性无关的解向量都是该齐次线性方程组的基础解系。
例 2.4.6.
求解齐次线性方程组
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cc}
x_1+3x_2-2x_3+4x_4+x_5&=0\\
2x_1+6x_2+5x_4+2x_5&=0\\
4x_1+11x_2+8x_3+5x_5&=0\\
x_1+3x_2+2x_3+x_4+x_5&=0
\end{array}
\right. .
\end{equation*}
例 2.4.7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系，
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\beta_2=\alpha_2-\alpha_3,\beta_3=\alpha_2+\alpha_3,
\end{equation*}
问：\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)能否作为\(AX=0\)的一个基础解系？
例 2.4.8.
设\(A\in \mathbb{F}^{m\times n},B\in \mathbb{F}^{n\times s}\)满足\(AB=0\)，证明：\(r(A)+r(B)\leq n\)。
定理 2.4.9.
设\(A\in \mathbb{F}^{m\times n},B\in \mathbb{F}^{n\times s}\)，证明\(r(AB)\ge r(A)+r(B)-n\)。
例 2.4.10.
设\(A\)为\(n\)阶方阵，试证：
\begin{equation*}
r(A^*)=\left\{\begin{array}{cl}
n,&\mbox{当}r(A)=n;\\
1,&\mbox{当}r(A)=n-1;\\
0,&\mbox{当}r(A)<n-1.
\end{array}\right.
\end{equation*}
例 2.4.11.
设\(A\)是\(m\times n\)实矩阵，证明：\(r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)\)。
定理 2.4.12.
设\(\gamma_1,\gamma_2\)是\(AX=\beta\)的解， \(\eta\)是相应齐次线性方程组\(AX=0\)的解， 则
- \(\gamma_1-\gamma_2\)是\(AX=0\)的解；
- \(\gamma_1+\eta\)是\(AX=\beta\)的解。
定理 2.4.13.
对\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=\beta\)， 如果满足\(r(A)=r(\overline{A})=r<n\)，则方程组\(AX=\beta\)的通解为
\begin{equation*}
\gamma+c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots +c_{n-r}\eta_{n-r}
\end{equation*}
其中， \(\gamma\)为该非齐次线性方程组的一个特解，\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系， \(c_1,c_2,\cdots ,c_{n-r}\)为\(\mathbb{F}\)中的任意数。
求非齐次线性方程组求通解的一般步骤：
- 对\(AX=\beta\)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵，根据阶梯阵判断是否有解。 若有无穷多个解，先写出\(AX=\beta\)的一个特解\(\gamma\)。
- 求出相应齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{n-r}\)。
- 写出\(AX=\beta\)的通解\begin{equation*} \gamma+c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots +c_{n-r}\eta_{n-r},\quad c_1,c_2,\cdots ,c_{n-r}\in \mathbb{F}. \end{equation*}
例 2.4.14.
求解非齐次线性方程组
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + 3{x_2} + 5{x_3} - 2{x_4} = 3}\\
{2{x_1} + 7{x_2} + 3{x_3} + {x_4} = 5}\\
{{x_1} + 5{x_2} - 9{x_3} + 8{x_4} = 1}\\
{5{x_1} + 18{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} = 12}
\end{array}} \right. .
\end{equation*}
例 2.4.15.
设\(A\)为\(m\times 3\)矩阵且\(r(A)=1\)。如果非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的三个解向量\(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\)满足
\begin{equation*}
\gamma_1+\gamma_2=(1,2,3)^T,\gamma_2+\gamma_3=(0,-1,1)^T,\gamma_3+\gamma_1=(1,0,-1)^T,
\end{equation*}
求\(AX=\beta\)的通解。
练习 2.4.2 练习
1.
求齐次线性方程组\(\left\{\begin{array}{c}
x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\\3x_1+6x_2+3x_3-3x_4=0,\\5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0
\end{array}\right.\) 的基础解系与通解。
解答.
对系数矩阵\(A\)作行初等变换：
\begin{equation*}
A=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&-1\\3&6&3&-3\\5&10&1&-5
\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&-1\\0&0&-4&0\\0&0&0&0
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1&2&0&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&0
\end{array}\right),
\end{equation*}
因为\(r(A)=2<4\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1=-2x_2+x_4,\\x_3=0,
\end{array}\right.
\end{equation*}
其中\(x_2,x_4\)为自由未知量。
令\(x_2=1,x_4=0\)得\(\eta_1=(-2,1,0,0)^T\)；令\(x_2=0,x_4=1\)得\(\eta_2=(1,0,0,1)^T\)。所以方程组有基础解系\(\eta_1,\eta_2\)，其通解为\(c_1\eta_1+c_2\eta_2,\ c_1,c_2\in\mathbb{F}\)。
2.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系，
\begin{equation*}
\beta_1=a\alpha_1+b\alpha_2,\beta_2=a\alpha_2+b\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=a\alpha_{s-1}+b\alpha_s,\beta_s=a\alpha_s+b\alpha_1,
\end{equation*}
试问\(a,b\)满足什么关系时，\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)也是\(AX=0\)的一个基础解系。
解答.
由于\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)是方程组\(AX=0\)的解且\(AX=0\)基础解系向量个数为\(s\)，所以\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)也是\(AX=0\)的一个基础解系的充要条件是\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性无关。
注意到\((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关且
\begin{equation*}
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a&0&\cdots&0&b\\b&a&\cdots&0&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&a&0\\0&0&\cdots&b&a\\
\end{array}\right)
\end{equation*}
故\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性无关的充要条件是\(\det A\neq 0\)，即\(a^s+(-1)^{s+1}b^s\neq 0\)。
3.
设\(B\)是一个\((n-1)\times n\)矩阵，把\(B\)划去第\(j\)列得到的\(n-1\)阶子式记作\(D_j\)，令\(\eta=(D_1,-D_2,\cdots ,(-1)^{n+1}D_n)^T\)。证明：
- \(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个解；
- 如果\(\eta\neq 0\)，那么\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。
解答.
- 设\(B=(b_{ij})_{(n-1)\times n}\)，令\(A= \begin{pmatrix} B\\0 \end{pmatrix}\)，则\(A\)是\(n\)阶方阵且\(A\)的\((n,j)\)元素的代数余子式为\begin{equation*} A_{nj}=(-1)^{n+j}D_j. \end{equation*}由定理\(1.4.7\)知：对任意\(1\leq i\leq n-1\)，\(A\)的第\(i\)行元素与第\(n\)行相应元素代数余子式乘积之和为\(0\)，即\begin{equation*} b_{i1}(-1)^{n+1}D_1+b_{i2}(-1)^{n+2}D_2+\cdots +b_{in}(-1)^{2n}D_n=0, \end{equation*}则\begin{equation*} b_{i1}D_1-b_{i2}D_2+\cdots +b_{in}(-1)^{n+1}D_n=0. \end{equation*}因此\(\eta=(D_1,-D_2,\cdots ,(-1)^{n+1}D_n)^T\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个解。
- 因为\(\eta\neq 0\)，所以\(B\)存在非零的\(n-1\)阶子式，则\(r(B)\geq n-1\)。注意到\(B\)只有\(n-1\)行，故\(r(B)\leq n-1\)。因此\(r(B)=n-1\)，从而齐次线性方程组\(BX=0\)任意\(n-r(B)=1\)个线性无关的解向量为\(BX=0\)的一个基础解系。由\((1)\)知\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个非零解，因此\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。
4.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是4维列向量，\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)。已知方程组\(AX=0\)的通解为\(k(0,1,1,0)^T\)，求线性方程组\(A^*X=0\)的基础解系。
解答.
由于\((0,1,1,0)^T\)是齐次方程组\(AX=0\)的基础解系，所以
\begin{equation*}
r(A)=4-1=3,
\end{equation*}
则\(r(A^*)=1\)。因此\(A^*X=0\)的任意\(4-r(A^*)=3\)个线性无关的解向量为\(A^*X=0\)的一个基础解系。
注意到\(A^*A=(\det A)\cdot E_n=0\)，故\(A\)的每一个列向量都是齐次线性方程组\(A^*X=0\)的解。由于\(r(A)=3\)，所以\(A\)任意三个线性无关的列向量都是\(A^*X=0\)的基础解系。注意到\((0,1,1,0)^T\)是\(AX=0\)的一个解，则
\begin{equation*}
\alpha_2+\alpha_3=0,
\end{equation*}
即\(\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)（或\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)）是\(A^*X=0\)的基础解系。
5.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times k\)矩阵。证明：
- \(r(AB)=r(B)\)的充要条件是\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解；
- 若\(r(AB)=r(B)\)，则对任意\(k\times l\)矩阵\(C\)，有\(r(ABC)=r(BC)\)。
解答.
-
必要性： 设\(r(B)=r\)，\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{k-r}\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。易见\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{k-r}\)也是齐次线性方程组\(ABX=0\)的\(k-r\)个线性无关解向量。注意到\(r(AB)=r(B)=r\)，故\(ABX=0\)的任意\(k-r\)个线性无关的解向量是该齐次方程组的基础解系。因此\(\eta_1,\eta_2,\cdots ,\eta_{k-r}\)也是齐次线性方程组\(ABX=0\)的一个基础解系。从而\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解。充分性：因为\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解，所以这两个齐次线性方程组有相同的基础解系，则\(k-r(AB)=k-r(B)\)，即\(r(AB)=r(B)\)。
- 对\(ABCX=0\)的任一解\(X_0\)，有\(ABCX_0=0\)，即\(CX_0\)是\(ABX=0\)的解。因\(r(AB)=r(B)\)，由\((1)\)知\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解，则\(CX_0\)也是\(BX=0\)的解，即\(BCX_0=0\)，故\(X_0\)是\(BCX=0\)的解。反之，显然\(BCX=0\)解是\(ABCX=0\)的解。因此齐次线性方程组\(ABCX=0\)与\(BCX=0\)同解，从而\(r(ABC)=r(BC)\)。
6.
设\(A,B\)都是\(m\times n\)矩阵。证明：
- 线性方程组\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解的充分必要条件是\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出；
- 线性方程组\(AX=0\)和\(BX=0\)同解的充分必要条件是\(A\)的行向量组与\(B\)的行向量组等价。
解答.
-
必要性：因为\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解，所以齐次线性方程组\(\left\{\begin{array}{l} AX=0\\BX=0 \end{array}\right.\)与\(AX=0\)同解。故\(r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}=r(A)\)，从而\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出。充分性：因为\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出，所以矩阵\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}\)的行向量组与\(A\)的行向量组等价，故\(r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}=r(A)\)。注意到\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}X=0\)的解必是\(AX=0\)的解，故\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}X=0\)与\(AX=0\)同解。因此\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解。
- 由 a 即得结论。
7.
证明：对任意\(m\times n\)实矩阵\(A\)和\(m\)维实列向量\(\beta\)，\(A^TAX=A^T\beta\)必有解。
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A^TA&A^T\beta
\end{pmatrix}=A^T\cdot \begin{pmatrix}
A&\beta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
又
\begin{equation*}
r\left(A^T\cdot \begin{pmatrix}
A&\beta
\end{pmatrix}\right)\leq r(A^T)=r(A),
\end{equation*}
所以\(r\begin{pmatrix}
A^TA&A^T\beta
\end{pmatrix}\leq r(A)\)。注意到对于实矩阵\(A\)，有\(r(A^TA)=r(A)\)，故
\begin{equation*}
r\begin{pmatrix}
A^TA&A^T\beta
\end{pmatrix}\leq r(A^TA).
\end{equation*}
显然\(r\begin{pmatrix}
A^TA&A^T\beta
\end{pmatrix}\geq r(A^TA)\)，因此\(r\begin{pmatrix}
A^TA&A^T\beta
\end{pmatrix}=r(A^TA)\)。从而线性方程组\(A^TAX=A^T\beta\)必有解。
8.
举例说明：对于\(m\times n\)复矩阵\(A\)，\(r(A^TA)\neq r(A)\)。
解答.
对于\(A=\begin{pmatrix}
1&i\\-i&1
\end{pmatrix}\)，则\(r(A)=1\)。但
\begin{equation*}
A^TA=\begin{pmatrix}
1&-i\\i&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&i\\-i&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&0\\0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(r(A^TA)=0\neq r(A)\)。
9.
证明：对于任意\(m\times n\)复矩阵\(A\)，有\(r(\overline{A}^TA)=r(A\overline{A}^T)=r(A)\)。
解答.
先证\(r(\overline{A}^TA)=r(A)\)，此时只需证\(\overline{A}^TAX=0\)与\(AX=0\)同解即可。
事实上，\(AX=0\)的解显然是\(\overline{A}^TAX=0\)的解。反之，对\(\overline{A}^TAX=0\)的任一解\(X_0\)，有\(\overline{A}^TAX_0=0\)，则\(\overline{X_0}^T\overline{A}^TAX_0=0\)。令\(AX_0=Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)^T\)，则\(\overline{Y}^TY=0\)，即
\begin{equation*}
\overline{y_1}y_1+\overline{y_2}y_2+\cdots+\overline{y_n}y_n=0,
\end{equation*}
则\(y_1=y_2=\cdots =y_n=0\)，所以\(AX_0=0\)，即\(\overline{A}^TAX=0\)的解也是\(AX=0\)的解。因此\(\overline{A}^TAX=0\)与\(AX=0\)同解。从而\(r(\overline{A}^TA)=r(A)\)。
同理，\(A\overline{A}^TX=0\)与\(\overline{A}^TX=0\)同解，所以
\begin{equation*}
r(A\overline{A}^T)=r(\overline{A}^T)=r(\overline{A})=r(A).
\end{equation*}
10.
求线性方程组\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2-3x_3-x_4=1\\
3x_1-x_2-3x_3+4x_4=4\\
x_1+5x_2-9x_3-8x_4=0\\
\end{matrix}\right.\)的通解。
解答.
对增广矩阵\(\overline{A}\)作行初等变换：
\begin{equation*}
\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}
1&1&-3&-1&1\\3&-1&-3&4&4\\1&5&-9&-8&0
\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&-\frac{3}{2}&\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\0&1&-\frac{3}{2}&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\\0&0&0&0&0
\end{array}\right),
\end{equation*}
因为\(r(\overline{A})=r(A)=2<4\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}x_3-\frac{3}{4}x_4,\\x_2=-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}x_3+\frac{7}{4}x_4,
\end{array}\right.
\end{equation*}
其中\(x_3,x_4\)为自由未知量。令\(x_3=x_4=0\)得特解\(\gamma=(\frac{5}{4},-\frac{1}{4},0,0)^T\)。
导出组的一般解为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1=\frac{3}{2}x_3-\frac{3}{4}x_4,\\x_2=\frac{3}{2}x_3+\frac{7}{4}x_4,
\end{array}\right.
\end{equation*}
其中\(x_3,x_4\)为自由未知量。
令\(x_2=1,x_4=0\)得\(\eta_1=(\frac{3}{2},\frac{3}{2},1,0)^T\)；令\(x_2=0,x_4=1\)得\(\eta_2=(-\frac{3}{4},\frac{7}{4},0,1)^T\)。导出组的基础解系为\(\eta_1,\eta_2\)，从而原方程组的通解为
\begin{equation*}
\gamma+c_1\eta_1+c_2\eta_2,
\end{equation*}
其中\(\ c_1,c_2\)是数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。
11.
已知\((1,1,1)^T\)是线性方程组\(\left\{\begin{array}{c}
(2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3=1\\2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3=2\\-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3=-\lambda-1
\end{array}\right.\)的一个解，试求该方程组的通解。
解答.
因\((1,1,1)^T\)是方程组的解，所以\(\lambda=1\)。对增广矩阵作行初等变换：
\begin{equation*}
\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&-2&1\\2&4&-4&2\\-2&-4&4&-2
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1&2&-2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{array}\right)
\end{equation*}
相应导出组的基础解系为
\begin{equation*}
\eta_1=(-2,1,0)^T,\eta_2=(2,0,1)^T.
\end{equation*}
因此该方程组的通解为
\begin{equation*}
(1,1,1)^T+c_1\eta_1+c_2\eta_2,
\end{equation*}
其中\(c_1,c_2\)为数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。
12.
设\(\eta\)是非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的一个特解，\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)是相应齐次线性方程组的一个基础解系。证明：\(\eta, \eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\cdots,\eta+\xi_{n-r}\)是\(AX=\beta\)解集合的一个极大线性无关组。
解答.
由于\(A\eta=\beta,\ A\xi_i=0\)，所以\(A(\eta +\xi_i)=A\eta +A\xi_i=\beta\)， 故\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\cdots,\eta+\xi_{n-r}\)是\(AX=\beta\)的解。
设\(k_0\eta+k_1(\eta+\xi_1)+k_2(\eta+\xi_2)+\cdots +k_{n-r}(\eta+\xi_{n-r})=0\)，即
\begin{equation}
(k_0+k_1+\cdots +k_{n-r})\eta+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots +k_{n-r}\xi_{n-r}=0,\tag{2.6}
\end{equation}
两边同时左乘\(A\)得：\((k_0+k_1+\cdots +k_{n-r})\beta=0\)， 由\(\beta\neq 0\)可知：
\begin{equation}
k_0+k_1+\cdots +k_{n-r}=0\tag{2.7}
\end{equation}
代入 (2.6) 式，有\(k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots +k_{n-r}\xi_{n-r}=0\)，由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)是\(AX=0\)的一个基础解系可知：\(k_1=k_2=\cdots =k_{n-r}=0\)。
对\(AX=\beta\)的任一解\(\gamma\)，存在\(c_1,c_2,\cdots,c_{n-r}\in\mathbb{F}\)使得
\begin{equation*}
\gamma=\eta+c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots +c_{n-r}\xi_{n-r},
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\gamma=(1-c_1-c_2-\cdots -c_{n-r})\eta+c_1(\eta+\xi_1)+c_2(\eta+\xi_2)+\cdots+c_{n-r}(\eta+\xi_{n-r}),
\end{equation*}
即\(\gamma\)可由\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\cdots,\eta+\xi_{n-r}\)线性表出。因此\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\cdots,\eta+\xi_{n-r}\)是\(AX=\beta\)解集合的一个极大线性无关组。
