主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 8.3 实对称矩阵与正交相似标准形、Hermite矩阵与酉相似标准形

建设中！

子节 8.3.1 主要知识点

定义 8.3.1.

设\(A,B\)是\(\mathbb{R}\)上\(n\)阶方阵，如果存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} B=Q^{-1}AQ=Q^TAQ, \end{equation*}
则称\(A\)正交相似于\(B\)。

定义 8.3.3.

设\(A,B\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵，如果存在酉矩阵\(U\)，使得
\begin{equation*} B=U^{-1}AU=\overline{U}^TAU, \end{equation*}
则称\(A\)酉相似于\(B\)。

定义 8.3.5.

如果\(n\)阶复矩阵\(H\)满足
\begin{equation*} \overline{H}^T=H, \end{equation*}
则称\(H\)为Hermite矩阵。

备注 8.3.6.

  1. Hermite矩阵的主对角元都是实数；
  2. 实的Hermite矩阵就是实对称矩阵。

定义 8.3.7.

设\(\varphi\)是\(n\)维实（复）内积空间\(V\)的线性变换，如果对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{equation*} (\varphi(\alpha),\beta)=(\alpha,\varphi(\beta)), \end{equation*}
则称\(\varphi\)是对称变换（Hermite变换，或自伴随算子）。

练习 8.3.2 练习

1.

设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\in\mathbb{R}\)，\(\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)}\)是\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)的一个排列。证明：diag\((\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)\)正交相似于diag\((\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)})\)。
解答.
定义欧氏空间\(\mathbb{R}^n\)上的线性变换
\begin{equation*} \varphi_A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n,\ X\mapsto \mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)X, \end{equation*}
则\(\varphi_A\)在标准正交基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)下的表示矩阵为
\begin{equation*} A=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n), \end{equation*}
\(\varphi_A\)在标准正交基\(\varepsilon_{\sigma(1)},\varepsilon_{\sigma(2)},\cdots ,\varepsilon_{\sigma(n)}\)下的表示矩阵为
\begin{equation*} B=\mbox{diag}(\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)}). \end{equation*}
因此，diag\((\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)\)正交相似于diag\((\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)})\)。

2.

设\(A=\begin{pmatrix} 1&-2&-4\\-2&4&-2\\-4&-2&1 \end{pmatrix}\)，求正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵。
解答.
\(f_A(\lambda)= \begin{vmatrix} \lambda-1&2&4\\2&\lambda-4&2\\4&2&\lambda-1 \end{vmatrix}=(\lambda-5)^2(\lambda+4),\) 所以\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=5,\lambda_3=-4\)。 对于\(\lambda_1=\lambda_2=5\)，解齐次线性方程组\((5E-A)X=0\)，得基础解系
\begin{equation*} \alpha_1=(-1,2,0)^T,\alpha_2=(-1,0,1)^T, \end{equation*}
先正交化，得
\begin{equation*} \beta_1=(-1,2,0)^T,\beta_2=\left(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},1\right)^T, \end{equation*}
再单位化，得
\begin{equation*} \gamma_1=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},0\right)^T,\gamma_2=\left(-\frac{4}{3\sqrt{5}},-\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^T \end{equation*}
对于\(\lambda_3=-4\)，解齐次线性方程组\((-4E-A)X=0\)，得基础解系
\begin{equation*} \alpha_3=(2,1,2)^T, \end{equation*}
单位化，得
\begin{equation*} \gamma_3=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right). \end{equation*}
取
\begin{equation*} Q=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}}&-\frac{4}{3\sqrt{5}}&\frac{2}{3}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{2}{3\sqrt{5}}&\frac{1}{3}\\ 0&\frac{\sqrt{5}}{3}&\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(Q\)是正交矩阵，且
\begin{equation*} Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix} 5&0&0\\0&5&0\\0&0&-4 \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}

3.

设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A^2=A\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
解答.
因\(A^2=A\)，所以\(A\)的特征值\(\lambda\)满足\(\lambda^2=\lambda\)，则\(\lambda=1\)或\(0\)。因此，对于\(n\)阶实对称矩阵\(A\)，存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

4.

设\(A,B\)为\(n\)阶实对称矩阵，且\(AB=BA\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ,Q^{-1}BQ\)同时为对角矩阵。
解答.
证法一：因\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵\(Q_1\)，使得
\begin{equation*} Q_1^TAQ_1=\mbox{diag} (\lambda_1E_{r_1},\lambda_2E_{r_2},\cdots ,\lambda_tE_{r_t}), \end{equation*}
其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(A\)的所有互异特征值。 由\(AB=BA\)，得
\begin{equation*} (Q_1^TAQ_1)(Q_1^TBQ_1)=(Q_1^TBQ_1)(Q_1^TAQ_1), \end{equation*}
直接计算得，\(Q_1^TBQ_1=\mbox{diag} (B_{11},B_{22},\cdots ,B_{tt})\)。注意到\(Q_1\)是正交矩阵，\(B\)是实对称矩阵，所以
\begin{equation*} (Q_1^TBQ_1)^T=Q_1^TB^TQ_1=Q_1^TBQ_1, \end{equation*}
即\(Q_1^TBQ_1\)是实对称矩阵，进而\(B_{ii}\)均为实对称矩阵。对每个\(B_{ii}\)，存在正交矩阵\(P_i\)，使得\(P_i^TB_{ii}P_i\)是对角矩阵\(D_i\)。令\(Q=Q_1\mbox{diag} (P_1,P_2,\cdots ,P_t)\)，则\(Q\)是正交矩阵，且
\begin{equation*} \begin{array}{ll} Q^TAQ&=\mbox{diag} (P_1^T,P_2^T,\cdots ,P_t^T)\mbox{diag} (\lambda_1E_{r_1},\lambda_2E_{r_2},\cdots ,\lambda_tE_{r_t})\mbox{diag} (P_1,P_2,\cdots ,P_t)\\ &=\mbox{diag} (\lambda_1E_{r_1},\lambda_2E_{r_2},\cdots ,\lambda_tE_{r_t}), \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{ll} Q^TBQ&=\mbox{diag} (P_1^T,P_2^T,\cdots ,P_t^T)\mbox{diag} (B_{11},B_{22},\cdots ,B_{tt})\mbox{diag} (P_1,P_2,\cdots ,P_t)\\ &=\mbox{diag} (D_1,D_2,\cdots ,D_t)\end{array} \end{equation*}
均为对角矩阵。
证法二：对阶数\(n\)用数学归纳法。
  1. 当\(n=1\)时，结论显然成立。
  2. 假设对于\(n-1\)阶矩阵结论成立，以下考虑\(n\)阶矩阵的情形。 由 \(AB=BA\)知，\(A\)、\(B\)至少存在一个公共的特征向量\(X_1\)。不妨设\(X_1\)为单位向量，将其扩充为\(\mathbb{R}^n\)的一个标准正交基\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\)。令\(P=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\)，则\(P\)为正交矩阵，且
    \begin{equation*} P^{-1}AP=P^{T}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&\alpha^T\\0&A_1 \end{pmatrix},\ P^{-1}BP=P^TBP=\begin{pmatrix} \mu_1&\beta^T\\0&B_1 \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
    因\(A^T=A,B^T=B\)，所以\((P^TAP)^T=P^TAP,(P^TBP)^T=P^TBP\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda_1&0\\\alpha&A_1^T \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1&\alpha^T\\0&A_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \mu_1&0\\\beta&B_1^T \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu_1&\beta^T\\0&B_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    则\(\alpha=0,\beta=0,A_1^T=A_1,B_1^T=B_1\)。于是，
    \begin{equation*} P^{-1}AP=P^{T}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&0\\0&A_1 \end{pmatrix},\ P^{-1}BP=P^TBP=\begin{pmatrix} \mu_1&0\\0&B_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    其中\(A_1,B_1\)均为\(n-1\)阶实对称矩阵。
由\(AB=BA\)知，\((P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)\)，即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda_1&0\\0&A_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu_1&0\\0&B_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu_1&0\\0&B_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1&0\\0&A_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(A_1B_1=B_1A_1\)。由归纳假设，存在\(n-1\)阶正交矩阵\(Q_1\)，使得
\begin{equation*} Q_1^{-1}A_1Q_1=\mbox{diag} (\lambda_2,\cdots ,\lambda_n),\ Q_1^{-1}B_1Q_1=\mbox{diag} (\mu_2,\cdots ,\mu_n) \end{equation*}
均为对角矩阵。令
\begin{equation*} Q=P \begin{pmatrix} 1&0\\0&Q_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(Q\)是\(n\)阶正交矩阵，且
\begin{equation*} Q^{-1}AQ=\mbox{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n),\ Q^{-1}BQ=\mbox{diag} (\mu_1,\mu_2,\cdots ,\mu_n) \end{equation*}
同时为对角矩阵。

5.

设\(\varphi\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)上的对称变换，\(U\)是\(\varphi\)-不变子空间，证明：\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
解答.
对任意\(\alpha\in U^\bot, \beta\in U\)，由\(\varphi\)是对称变换知
\begin{equation*} (\varphi (\alpha),\beta)=(\alpha,\varphi(\beta)). \end{equation*}
注意到\(U\)是\(\varphi\)-不变子空间，\(\beta\in U\)，所以\(\varphi(\beta)\in U\)，则
\begin{equation*} (\varphi (\alpha),\beta)=(\alpha,\varphi(\beta))=0, \end{equation*}
即\(\varphi(\alpha)\in U^\bot\)。因此\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。

6.

设\(H\) 是\(n\)阶Hermite阵，证明：
  1. \(H\)的特征根全为实数， 且属于不同特征根的特征向量相互正交；
  2. 存在酉矩阵\(Q\)， 使得
    \begin{equation*} Q^{-1}HQ=\overline{Q}^THQ \end{equation*}
    为对角阵，对角线元素为\(H\) 的特征值。
解答.
  1. 设\(\lambda\in\mathbb{C}\)是\(H\)的特征根，则存在\(0\neq X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{C}^n\)使得
    \begin{equation*} HX=\lambda X\mbox{。} \end{equation*}
    于是，\(\overline{X}^THX=\lambda\overline{X}^TX\)。另一方面，由\(H\) 是Hermite阵知\(H=\overline{H}^T\)，则
    \begin{equation*} \overline{X}^THX=\overline{X}^T\overline{H}^TX=\overline{HX}^TX=\overline{\lambda}\overline{X}^TX\mbox{。} \end{equation*}
    从而\(\lambda\overline{X}^TX=\overline{\lambda}\overline{X}^TX\)。由\(X\neq 0\)可知，\(\overline{X}^TX=\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2+\cdots +\left|x_n\right|^2>0\)，故\(\overline{\lambda}=\lambda\)，即\(\lambda\)是实数。
    设\(\lambda,\mu\)是\(H\)的两个不同特征值，\(X,Y\)分别是\(H\)的属于\(\lambda,\mu\)的特征向量，则\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)且
    \begin{equation*} HX=\lambda X, HY=\mu Y\mbox{。} \end{equation*}
    由\(H\)是Hermite矩阵，得
    \begin{equation*} \lambda X^T\overline{Y}=(HX)^T\overline{Y}=X^TH^T\overline{Y}=X^T\overline{H}\overline{Y}=\overline{\mu}X^T\overline{Y}=\mu X^T\overline{Y}\mbox{。} \end{equation*}
    而\(\lambda\neq \mu\)，于是\(X^T\overline{Y}=0\)，即\((X,Y)=0\)。
  2. 对\(H\)的阶数\(n\)作数学归纳法。
    1. 当\(n=1\)时，结论显然成立。
    2. 假设对于\(n-1\)阶Hermite矩阵结论成立，以下考虑\(n\)阶Hermite矩阵\(H\)。根据结论\((1)\)，\(H\)存在实特征值\(\lambda_1\)和相应的特征向量\(X_1\in\mathbb{C}^n\)，不妨设\(X_1\)是单位向量，将其扩充为\(\mathbb{C}^n\)的一个标准正交基\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\)。令\(Q_1=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\)，则\(Q_1\)是酉矩阵，且
      \begin{equation*} Q_1^{-1}HQ_1=\overline{Q}_1^THQ_1=\begin{pmatrix} \lambda_1&\alpha^T\\0&H_1 \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
    注意到\(\overline{H}^T=H\)， 所以
    \begin{equation*} \overline{\overline{Q}_1^THQ_1}^T=\overline{Q_1}^T\overline{H}^TQ_1=\overline{Q_1}^T {H}^TQ_1, \end{equation*}
    即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} \overline{\lambda_1}&0\\\overline{\alpha}&\overline{H_1}^T \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1&\alpha^T\\0&H_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    故\(\alpha=0,\overline{H_1}^T=H_1\)。根据归纳假设，存在\(n-1\)阶酉矩阵\(Q_2\)，使得
    \begin{equation*} Q_2^{-1}H_1Q_2=\overline{Q_2}^THQ_2=\mbox{diag}(\lambda_2,\cdots ,\lambda_n) \end{equation*}
    令\(Q=Q_1 \begin{pmatrix} 1&0\\0&Q_2 \end{pmatrix}\)，则\(Q\)是酉矩阵，且
    \begin{equation*} Q^{-1}HQ=\overline{Q}^THQ=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n) \end{equation*}
    是对角矩阵，对角线元素是\(H\) 的特征值。

7.

设\(A\)是\(n\)阶反对称实矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征根，证明：\(\lambda\)是零或纯虚数。
解答.
因为\(\lambda\)是\(A\)的特征根，所以存在\(0\neq X\in\mathbb{C}^n\)，使得\(AX=\lambda X\)。由\(A\)是反对称实矩阵知
\begin{equation*} \overline{\lambda} (\overline{X}^TX)=\overline{\lambda X}^TX=\overline{AX}^TX=\overline{X}^T\overline{A}^TX=-\overline{X}^TAX=-\lambda(\overline{X}^TX), \end{equation*}
注意到\(\overline{X}^TX\neq 0\)，故\(\overline{\lambda}=-\lambda\)。因此\(\lambda\)是零或纯虚数。

8.

欧氏空间\(V\)上的线性变换\(\varphi\)称为反对称的，如果对于任意\(\alpha,\beta\in V\)，
\begin{equation*} \left(\varphi(\alpha),\beta\right)=-\left(\alpha,\varphi(\beta)\right)\mbox{。} \end{equation*}
证明：
  1. \(\varphi\)为反对称的充分必要条件是\(\varphi\)在一个标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
  2. 如果\(U\)是反对称线性变换\(\varphi\)的不变子空间，那么\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
解答.
  1. 必要性：设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个标准正交基，且
    \begin{equation*} \varphi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)A, \end{equation*}
    其中\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，则
    \begin{equation*} \left(\varphi(\xi_i),\xi_j\right)=\left(a_{1i}\xi_1+a_{2i}\xi_2+\cdots +a_{ni}\xi_n,\xi_j\right)=a_{ji}, \end{equation*}
    \begin{equation*} \left(\xi_i,\varphi(\xi_j)\right)=\left(\xi_i,a_{1j}\xi_1+a_{2j}\xi_2+\cdots +a_{nj}\xi_n\right)=a_{ij}。 \end{equation*}
    由\(\left(\varphi(\xi_i),\xi_j\right)=\left(\xi_i,\varphi(\xi_j)\right)\)知\(a_{ij}=-a_{ji},\ (i,j=1,2,\cdots ,n)\)，即\(A^T=-A\)。
    充分性：设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个标准正交基，且
    \begin{equation*} \varphi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)A, \end{equation*}
    其中\(A^T=-A\)。由
    \begin{equation*} \left(\varphi(\xi_i),\xi_j\right)=\left(a_{1i}\xi_1+a_{2i}\xi_2+\cdots +a_{ni}\xi_n,\xi_j\right)=a_{ji}, \end{equation*}
    \begin{equation*} \left(\xi_i,\varphi(\xi_j)\right)=\left(\xi_i,a_{1j}\xi_1+a_{2j}\xi_2+\cdots +a_{nj}\xi_n\right)=a_{ij}。 \end{equation*}
    可知\(\left(\varphi(\xi_i),\xi_j\right)=-\left(\xi_i,\varphi(\xi_j)\right)\)，则对任意\(\alpha=\sum\limits_{i=1}^n a_i \xi_i, \beta=\sum\limits_{j=1}^n b_j \xi_j\in V\)，有
    \begin{equation*} \left(\varphi(\alpha),\beta\right)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_ib_j\left(\varphi(\xi_i),\xi_j\right)=-\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_ib_j\left(\xi_i,\varphi(\xi_j)\right)=-\left(\alpha,\varphi(\beta)\right). \end{equation*}
    因此\(\varphi\)是反对称变换。
  2. 对任意\(\alpha\in U^\bot, \beta\in V\)，由\(\varphi\)是反对称变换知
    \begin{equation*} (\varphi (\alpha),\beta)=-(\alpha,\varphi(\beta)). \end{equation*}
    注意到\(U\)是\(\varphi\)-不变子空间，\(\beta\in U\)，所以\(\varphi(\beta)\in U\)，则
    \begin{equation*} (\varphi (\alpha),\beta)=-(\alpha,\varphi(\beta))=0, \end{equation*}
    即\(\varphi(\alpha)\in U^\bot\)。因此\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
向前Top向后