主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 8.3 实对称矩阵与正交相似标准形、Hermite矩阵与酉相似标准形

建设中！

子节 8.3.1 主要知识点

定义 8.3.1.

设\(A,B\)是\(\mathbb{R}\)上\(n\)阶方阵，如果存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} B=Q^{-1}AQ=Q^TAQ, \end{equation*}
则称\(A\)正交相似于\(B\)。

定义 8.3.3.

设\(A,B\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵，如果存在酉矩阵\(U\)，使得
\begin{equation*} B=U^{-1}AU=\overline{U}^TAU, \end{equation*}
则称\(A\)酉相似于\(B\)。

定义 8.3.5.

如果\(n\)阶复矩阵\(H\)满足
\begin{equation*} \overline{H}^T=H, \end{equation*}
则称\(H\)为Hermite矩阵。

备注 8.3.6.

  1. Hermite矩阵的主对角元都是实数；
  2. 实的Hermite矩阵就是实对称矩阵。

定义 8.3.7.

设\(\varphi\)是\(n\)维实（复）内积空间\(V\)的线性变换，如果对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{equation*} (\varphi(\alpha),\beta)=(\alpha,\varphi(\beta)), \end{equation*}
则称\(\varphi\)是对称变换（Hermite变换，或自伴随算子）。

练习 8.3.2 练习

1.

设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\in\mathbb{R}\)，\(\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)}\)是\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)的一个排列。证明：diag\((\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)\)正交相似于diag\((\lambda_{\sigma(1)},\lambda_{\sigma(2)},\cdots ,\lambda_{\sigma(n)})\)。

2.

设\(A=\begin{pmatrix} 1&-2&-4\\-2&4&-2\\-4&-2&1 \end{pmatrix}\)，求正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵。

3.

设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A^2=A\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

4.

设\(A,B\)为\(n\)阶实对称矩阵，且\(AB=BA\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ,Q^{-1}BQ\)同时为对角矩阵。

5.

设\(\varphi\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)上的对称变换，\(U\)是\(\varphi\)-不变子空间，证明：\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。

6.

设\(H\) 是\(n\)阶Hermite阵，证明：
  1. \(H\)的特征根全为实数， 且属于不同特征根的特征向量相互正交；
  2. 存在酉矩阵\(Q\)， 使得
    \begin{equation*} Q^{-1}HQ=\overline{Q}^THQ \end{equation*}
    为对角阵，对角线元素为\(H\) 的特征值。

7.

设\(A\)是\(n\)阶反对称实矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征根，证明：\(\lambda\)是零或纯虚数。

8.

欧氏空间\(V\)上的线性变换\(\varphi\)称为反对称的，如果对于任意\(\alpha,\beta\in V\)，
\begin{equation*} \left(\varphi(\alpha),\beta\right)=-\left(\alpha,\varphi(\beta)\right)\mbox{。} \end{equation*}
证明：
  1. \(\varphi\)为反对称的充分必要条件是\(\varphi\)在一个标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
  2. 如果\(U\)是反对称线性变换\(\varphi\)的不变子空间，那么\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
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