主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 4.5 线性变换

建设中！

子节 4.5.1

  • 线性变换：线性映射\(\phi: V\to V\)。
  • \(V\)上所有线性变换\(\mathcal{L}(V,V)\)，简记为\(\mathcal{L}(V)\)。
  • \(\mathcal{L}(V)\)按照线性映射的加法、数乘运算构成数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。
  • \(\mathcal{L}(V)\)中线性变换关于合成运算封闭，即对任意\(\phi ,\psi\in\mathcal{L}(V)\)，均有
    \begin{equation*} \psi\phi\in \mathcal{L}(V), \end{equation*}
    且\(\forall \phi ,\psi ,\sigma\in\mathcal{L} (V), c\in\mathbb{F}\)，有
    1. 合成结合律: \(\sigma (\psi\phi)=(\sigma\psi)\phi\)；
    2. 合成与加法协调:\((\sigma +\psi)\phi=\sigma\phi +\psi\phi\)；
    3. 合成与数乘协调:\((c\psi)\phi=c(\psi\phi)=\psi(c\phi)\)。

定义 4.5.1.

设\(V\)是\(\mathbb{F}\)的线性空间。如果在\(V\)上定义乘法“\(\circ\)”满足
  1. 乘法结合律: \(\alpha\circ (\beta\circ\gamma)=(\alpha\circ \beta)\circ \gamma \)；
  2. 乘法与加法协调: \(\alpha\circ (\beta+\gamma) = \alpha\circ \beta+\alpha\circ \gamma \)，\((\alpha+ \beta)\circ \gamma = \alpha\circ \gamma+ \beta\circ \gamma \)；
  3. 乘法与数乘协调: \(c(\alpha\circ \beta)=(c \alpha)\circ \beta = \alpha\circ(c \beta)\)；
则称\(V\)是\(\mathbb{F}\)上的代数 。 若还满足
  1. 存在单位元: 存在\(e\in V\)使得\(e\circ \alpha=\alpha\circ e=\alpha\)；
则称\(V\)是带单位元\(e\)的\(\mathbb{F}\)上代数。 若满足项 1、项 2、项 3，还满足
  1. 乘法交换律: \(\alpha \circ \beta=\beta\circ \alpha\)，
则称\(V\)是\(\mathbb{F}\)上的交换代数 。 若不满足 项 1 的代数称为非交换代数 。

定义 4.5.2.

设\(V\)，\(U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的两个代数，若存在线性空间同构映射\(\Theta: V\to U\)，且满足
\begin{equation*} \Theta(\alpha\circ \beta) = \Theta(\alpha)\circ \Theta(\beta) \end{equation*}
则称\(\Theta\)是\(\mathbb{F}\)上的代数同构 ， 称\(V\)与\(U \)代数同构。
  • 若\(V\)、\(U\)代数同构，则\(V\)，\(U\)必线性同构，从而
    \begin{equation*} \dim V=\dim U. \end{equation*}

定义 4.5.10.

设\(A\)、\(B\in \mathbb{F}^{n\times n}\)。若存在可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*} {\color{blue} B=P^{-1}AP }, \end{equation*}
则称\(A\)相似 于\(B\)。
  • 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。反之， 若\(A\)、\(B\)相似， 则\(A\)、\(B\)是同一个线性变换在不同基下的矩阵。

练习 4.5.2 练习

1.

设\(\varphi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(\alpha\in V\)，若存在正整数\(k\)，使得
\begin{equation*} \varphi^{k-1}(\alpha)\neq 0,\varphi^k (\alpha)=0, \end{equation*}
证明：向量组\(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。
解答.
设
\begin{equation*} a_0\alpha+a_1\varphi (\alpha)+\cdots +a_{k-1}\varphi^{k-1}(\alpha)=0, \end{equation*}
由于\(\varphi^k (\alpha)=0\)，所以两边作用\(\varphi^{k-1}\)得
\begin{equation*} a_0\varphi^{k-1}(\alpha)=0. \end{equation*}
注意到\(\varphi^{k-1}(\alpha)\neq 0\)，所以\(a_0=0\)。于是，
\begin{equation*} a_1\varphi (\alpha)+\cdots +a_{k-1}\varphi^{k-1}(\alpha)=0, \end{equation*}
两边作用\(\varphi^{k-2}\)，得\(a_1=0\)。依此类推，可得\(a_0=a_1=\cdots =a_{k-1}=0\)。故\(\alpha ,\varphi (\alpha), \cdots ,\varphi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。

2.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是\(V\)的一个基，定义\(V\)上的线性变换使得
\begin{equation*} \varphi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}(i=1,2,\cdots ,n-1),\varphi(\alpha_n)=0, \end{equation*}
  1. 求\(\varphi\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)下的矩阵\(A\)；
  2. 证明：\(\varphi^{n}=0,\varphi^{n-1}\neq 0\)；
  3. 设\(\psi\)是\(V\)上线性变换且满足\(\psi^n=0,\psi^{n-1}\neq 0\)，证明：存在\(V\)的一个基\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)，使得\(\psi\)在这个基下的矩阵也是\(A\)。
解答.
  1. 因为
    \begin{equation*} \varphi(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    所以\(\varphi\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)下的矩阵\(A=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix}\)。
  2. 因为\(\varphi^{n}\)、\(\varphi^{n-1}\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)下的矩阵分别为\(A^n\)、\(A^{n-1}\)，而
    \begin{equation*} A^n=0,A^{n-1}=\begin{pmatrix} 0&\cdots&0&0\\ 0&\cdots&0&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&\cdots&0&0 \end{pmatrix}\neq 0, \end{equation*}
    故\(\varphi^{n}=0,\varphi^{n-1}\neq 0\)。
  3. 因为\(\psi^{n-1}\neq 0\)，所以存在\(\alpha\in V\)使得\(\psi^{n-1}(\alpha)\neq 0\)。由第1题结论知向量组
    \begin{equation*} \alpha,\psi(\alpha),\cdots ,\psi^{n-1}(\alpha) \end{equation*}
    线性无关。注意到\(\dim V=n\)，故\(\alpha ,\psi (\alpha), \cdots ,\psi^{n-1}(\alpha)\)是\(V\)的一个基。令
    \begin{equation*} \beta_1=\alpha,\beta_2=\psi(\alpha),\cdots ,\beta_n=\psi^{n-1}(\alpha), \end{equation*}
    则\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)是\(V\)的一个基，且
    \begin{equation*} \psi (\beta_1 ,\beta_2, \cdots ,\beta_n)=(\psi(\alpha),\psi^2(\alpha),\cdots ,\psi^{n-1}(\alpha),0)=(\beta_2, \beta_3,\cdots ,\beta_n,0). \end{equation*}
    故\(\psi\)在基\(\beta_1 ,\beta_2, \cdots ,\beta_n\)下的矩阵也是
    \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

3.

设\(\varphi,\psi\)都是\(V\)上幂等变换，即\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi\)，证明：\(\varphi+\psi\)是幂等变换的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi\varphi=0\)。
解答.
充分性：因为\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi,\varphi\psi=\psi\varphi=0\)，所以
\begin{equation*} (\varphi+\psi)^2=\varphi^2+\varphi\psi+\psi\varphi+\psi^2=\varphi+\psi, \end{equation*}
即\(\varphi+\psi\)是幂等变换。
必要性：因为\(\varphi+\psi=(\varphi+\psi)^2\)，即\(\varphi+\psi=\varphi^2+\varphi\psi+\psi\varphi+\psi^2\)，又\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi\)，故
\begin{equation} \varphi\psi+\psi\varphi=0.\tag{4.3} \end{equation}
两边同时左乘\(\varphi\)，得\(\varphi^2\psi+\varphi\psi\varphi=0\)，即
\begin{equation} \varphi\psi+\varphi\psi\varphi=0\tag{4.4} \end{equation}
两边同时右乘\(\varphi\)，得\(\varphi\psi\varphi+\psi\varphi^2=0\)，即
\begin{equation} \varphi\psi\varphi+\psi\varphi=0\tag{4.5} \end{equation}
(4.4)\(-\)(4.5)得，
\begin{equation} \varphi\psi-\psi\varphi=0\tag{4.6} \end{equation}
于是，由(4.3)\(+\)(4.6)，(4.4)\(-\)(4.5)得\(\varphi\psi=\psi\varphi=0\)。

4.

设\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，定义线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AXB\)，证明：\(\varphi\)是可逆变换的充分必要条件是\(A,B\)为可逆矩阵。
解答.
对任意\(X,Y\in\mathbb{F}^{n\times n},a,b\in\mathbb{F}\)，有
\begin{equation*} \varphi (aX+bY)=A(aX+bY)B=a(AXB)+b(AYB)=a \varphi(X)+b\varphi (Y), \end{equation*}
故\(\varphi\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上的线性变换。
充分性：因\(A,B\)都是可逆矩阵，所以可定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上的变换\(\psi\)如下：
\begin{equation*} \psi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto A^{-1}XB^{-1}. \end{equation*}
对任意\(X\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，有
\begin{equation*} \begin{array}{c}\varphi\psi(X)=\varphi( A^{-1}XB^{-1})=A( A^{-1}XB^{-1})B=X,\\ \psi\varphi (X)=\psi(AXB)=A^{-1}(AXB)B^{-1}=X,\end{array} \end{equation*}
即\(\varphi\psi=id_{\mathbb{F}^{n\times n}},\psi\varphi=id_{\mathbb{F}^{n\times n}}\)，故\(\varphi\)可逆。又\(\varphi\)是线性变换，故\(\varphi\)是线性同构。
必要性：由于\(\varphi\)是满射，所以存在\(X\in\mathbb{F}^{n\times n}\)使得\(\varphi(X)=E_n\)，即\(AXB=E_n\)。因此\(n\)阶方阵\(A,B\)都是可逆矩阵，且\(A^{-1}=XB,B^{-1}=AX\)。

5.

设\(A={\rm{diag}}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)，定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上线性变换
\begin{equation*} \varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AX-XA, \end{equation*}
证明：\(\varphi\)在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的标准基\(\{E_{ij}\ |\ 1\leq i,j\leq n\}\)下的矩阵也是对角矩阵。
解答.
因为\(\varphi(E_{ij})=AE_{ij}-E_{ij}A=(a_i-a_j)E_{ij}\)，所以\(\varphi\)在基\(E_{11},\cdots,E_{1n},E_{21},\cdots ,E_{2n},\cdots ,E_{n1},\cdots ,E_{nn}\)下的矩阵为对角矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_1-a_1&&&&&&&&&\\ &\ddots&&&&&&&&\\ &&a_1-a_n&&&&&&&\\ &&&a_2-a_1&&&&&&\\ &&&&\ddots&&&&&\\ &&&&&a_2-a_n&&&&\\ &&&&&&\ddots&&&\\ &&&&&&&a_n-a_1&&\\ &&&&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&&&a_n-a_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

6.

设线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3, \ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，
  1. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵；
  2. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1\)下的矩阵；
  3. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1\)下的矩阵；
  4. 证明：\(\varphi\)可逆，并求出\(\varphi^{-1}\)；
  5. 求\(2\varphi-\varphi^{-1}\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵。
解答.
  1. 因为\(\varphi (\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varphi (\varepsilon_2)=\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varphi (\varepsilon_3)=\varepsilon_3\)，所以
    \begin{equation*} \varphi (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix} , \end{equation*}
    故\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵为\(A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\)。
  2. 解法一： 因为\(\varphi (\varepsilon_2)=\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varphi (\varepsilon_3)=\varepsilon_3,\varphi (\varepsilon_1)=\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_1,\)，所以
    \begin{equation*} \varphi (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} , \end{equation*}
    故\(\varphi\)在基\(\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1\)下的矩阵为\(B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)。
    解法二： 因为\((\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P\)，其中
    \begin{equation*} P= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    所以\(\varphi\)在基\(\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1\)下的矩阵为
    \begin{equation*} B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
  3. 因为\((\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)Q\)，其中
    \begin{equation*} Q= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    所以\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1\)下的矩阵为
    \begin{equation*} C=Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\ \frac{3}{2}&\frac{3}{2}&1\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
  4. 因为
    \begin{equation*} \varphi (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A, \end{equation*}
    其中\(A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\)是可逆矩阵，所以\(\varphi\)可逆，且\(\varphi^{-1}\)满足
    \begin{equation*} \varphi^{-1}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A^{-1}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \begin{pmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    即
    \begin{equation*} \varphi^{-1}:\mathbb{F}^3\rightarrow\mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a,b-a,c-b)^T. \end{equation*}
  5. \(2\varphi-\varphi^{-1}\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵为
    \begin{equation*} 2A-A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 2&3&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

7.

设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，且\(A\)可逆，证明：\(AB\)相似于\(BA\)。
解答.
因为存在可逆矩阵\(A\)，使得
\begin{equation*} BA=A^{-1}(AB)A, \end{equation*}
所以\(AB\)相似于\(BA\)。

8.

设\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，证明：\(\begin{pmatrix} A&0\\0&C \end{pmatrix}\)相似于\(\begin{pmatrix} B&0\\0&D \end{pmatrix}\)。
解答.
因为\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，所以存在可逆矩阵\(P\)、\(Q\)使得
\begin{equation*} B=P^{-1}AP,D=Q^{-1}CQ. \end{equation*}
令\(R= \begin{pmatrix} P&0\\0&Q \end{pmatrix}\)，则\(R\)可逆且
\begin{equation*} \begin{array}{rcl} R^{-1}\begin{pmatrix} A&0\\0&C \end{pmatrix}R & = &\begin{pmatrix} P&0\\0&Q \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} A&0\\0&C \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P&0\\0&Q \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} P^{-1}AP&0\\0&Q^{-1}CQ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B&0\\0&D \end{pmatrix}.\end{array} \end{equation*}

9.

设\(A\)相似于\(B\)，证明：对任意正整数\(m\)和任意\(c\in\mathbb{F}\)，有
  1. \(A^m\)相似于\(B^m\)；
  2. \(cA\)相似于\(cB\)；
  3. \(A^T\)相似于\(B^T\)；
  4. \(\det A=\det B\)；
  5. \({\rm tr}(A)={\rm tr}(B)\)；
  6. \(A\)可逆当且仅当\(B\)可逆，且\(A^{-1}\)相似于\(B^{-1}\)；
  7. \(A^2=A\)当且仅当\(B^2=B\)。
解答.
因为\(A\)相似于\(B\)，所以存在可逆矩阵\(P\)，使得\(B=P^{-1}AP\)。
  1. \(B^m=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots (P^{-1}AP)=P^{-1}A^mP\)，故\(A^m\)相似于\(B^m\)。
  2. \(cB=c(P^{-1}AP)=P^{-1}(cA)P\)，故\(cA\)相似于\(cB\)。
  3. \(B^T=(P^{-1}AP)^T=P^TA^T\left(P^{-1}\right)^T=P^TA^T\left(P^T\right)^{-1}\)，故\(A^T\)相似于\(B^T\)。
  4. \(\det B=\det\left(P^{-1}AP\right)=\det P^{-1}\det A\det P=\det A\)。
  5. \(tr(B)=tr\left(P^{-1}AP\right)=tr\left((AP)P^{-1}\right)=tr(A)\)。
  6. 因为\(\det B=\det A\)，所以\(\det A\neq 0\)当且仅当\(\det B\neq 0\)，即\(A\)可逆当且仅当\(B\)可逆。
  7. 因为\(B=P^{-1}AP,\ B^2=P^{-1}A^2P\)，所以
    \begin{equation*} B^2=B\Leftrightarrow P^{-1}A^2P=P^{-1}AP\Leftrightarrow A^2=A. \end{equation*}

10.

给定\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix} \lambda_0&1&&&\\ &\lambda_0&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&1\\ &&&&\lambda_0 \end{pmatrix}\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)，并求可逆矩阵\(P\)使得\(A^T=P^{-1}AP\)。
解答.
证法一：定义线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n,\ X\mapsto AX\)，则
\begin{equation*} \varphi(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)A, \end{equation*}
即\(\varphi(\varepsilon_1)=\lambda_0\varepsilon_1,\varphi(\varepsilon_2)=\varepsilon_1+\lambda_0\varepsilon_2,\varphi(\varepsilon_3)=\varepsilon_2+\lambda_0\varepsilon_3,\cdots ,\varphi(\varepsilon_n)=\varepsilon_{n-1}+\lambda_0\varepsilon_n,\)故
\begin{equation*} \varphi(\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\cdots ,\varepsilon_2,\varepsilon_1)=(\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\cdots ,\varepsilon_2,\varepsilon_1) \begin{pmatrix} \lambda_0&&&&\\ 1&\lambda_0&&&\\ &1&\ddots&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&1&\lambda_0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
因此\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)下的矩阵为\(A\)，而在基\(\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\cdots ,\varepsilon_1\)下的矩阵为\(A^T\)。从而，\(A\)相似于\(A^T\)。
注意到\((\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\cdots ,\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)P\)，其中
\begin{equation*} P= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&1&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以\(A^T=P^{-1}AP\)。
证法二：令
\begin{equation*} P= \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&1&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(P\)可逆，且\(P^{-1}AP=A^T\)。因此\(A\)相似于\(A^T\)。

11.

设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
  1. \({\rm Ker}\varphi\subseteq{\rm Ker}\varphi^2\subseteq{\rm Ker}\varphi^3\subseteq\cdots\subseteq{\rm Ker}\varphi^n\subseteq\cdots\)；
  2. \({\rm Im}\varphi\supseteq{\rm Im}\varphi^2\supseteq{\rm Im}\varphi^3\supseteq\cdots\supseteq{\rm Im}\varphi^n\supseteq\cdots\)；
  3. 存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)；
  4. 存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)；
  5. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+i}\)；
  6. 若\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+i}\)；
  7. \({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)的充分必要条件是\({\rm Im}\varphi^s={\rm Im}\varphi^{s+1}\)；
  8. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，那么\(V={\rm Ker}\varphi^s\oplus{\rm Im}\varphi^s\)。
解答.
  1. 对任意\(m\in\mathbb{Z}^+,\alpha\in{ m Ker}\varphi^m\)，有\(\varphi^m(\alpha)=0\)，则
    \begin{equation*} \varphi^{m+1}(\alpha)=\varphi(\varphi^m(\alpha))=\varphi(0)=0. \end{equation*}
    故\({ m Ker}\varphi^m\subseteq{ m Ker}\varphi^{m+1}\)。
  2. 对任意\(m\in\mathbb{Z}^+\)，下证\({\rm Im}\varphi^m\supseteq{\rm Im}\varphi^{m+1}\)。对任意\(\beta\in{\rm Im}\varphi^{m+1}\)，存在\(\alpha\in V\)，使得\(\beta=\varphi^{m+1}(\alpha)\)，则
    \begin{equation*} \beta=\varphi^m(\varphi(\alpha))\in{\rm Im}\varphi^m. \end{equation*}
    从而\({\rm Im}\varphi^m\supseteq{\rm Im}\varphi^{m+1}\)。
  3. \({\rm Ker}\varphi^m\neq{\rm Ker}\varphi^{m+1}\)的充要条件是\(\dim{\rm Ker}\varphi^m<\dim{\rm Ker}\varphi^{m+1}\)。因为\(V\)是有限维线性空间，所以\((1)\)中的包含关系不可能全部是真包含。故存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)。
  4. \({\rm Im}\varphi^m\neq{\rm Im}\varphi^{m+1}\)的充要条件是\(\dim{\rm Im}\varphi^m>\dim{\rm Im}\varphi^{m+1}\)。因为\(V\)是有限维线性空间，所以\((2)\)中的包含关系不可能全部是真包含。故存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)。
  5. 我们只需证明对任意\(j>s\)，总有\({\rm Ker}\varphi^j={\rm Ker}\varphi^{j+1}\)。事实上，对任意\(\alpha\in{\rm Ker}\varphi^{j+1}\)，有\(\varphi^{j+1}(\alpha)=0\)，即\(\varphi^{s+1}(\varphi^{j-s}(\alpha))=0\)，则\(\varphi^{j-s}(\alpha)\in{\rm Ker}\varphi^{s+1}\)。注意到\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，所以\(\varphi^{j-s}(\alpha)\in{\rm Ker}\varphi^s\)。因而
    \begin{equation*} 0=\varphi^s(\varphi^{j-s}(\alpha))=\varphi^j(\alpha), \end{equation*}
    这说明\(\alpha\in\varphi^j\)，即\({\rm Ker}\varphi^{j+1}\subseteq{\rm Ker}\varphi^j\)。由结论\((1)\)，有\({\rm Ker}\varphi^{j}\subseteq{\rm Ker}\varphi^{j+1}\)，因此\({\rm Ker}\varphi^j={\rm Ker}\varphi^{j+1}\)。从而，
    \begin{equation*} {\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}={\rm Ker}\varphi^{s+2}=\cdots={\rm Ker}\varphi^{s+i}=\cdots . \end{equation*}
  6. 我们只需证明对任意\(j>t\)，总有\({\rm Im}\varphi^j={\rm Im}\varphi^{j+1}\)。事实上，对任意\(\alpha\in{\rm Im}\varphi^{j}\)，存在\(\beta\in V\)，使得\(\alpha=\varphi^{j}(\beta)\)，即\(\alpha=\varphi^{j-t}(\varphi^t(\beta))\)。注意到\(\varphi^t(\beta)\in{\rm Im}\varphi^t\)且\({\rm Im}\varphi^{t}={\rm Im}\varphi^{t+1}\)，所以存在\(\gamma\in V\)，使得\(\varphi^t(\beta)=\varphi^{t+1}(\gamma)\)。因而
    \begin{equation*} \alpha=\varphi^{j-t}(\varphi^{t+1}(\gamma))=\varphi^{j+1}(\gamma)\in{\rm Im}\varphi^{j+1}, \end{equation*}
    这说明\({\rm Im}\varphi^{j}\subseteq{\rm Im}\varphi^{j+1}\)。由结论\((2)\)，有\({\rm Im}\varphi^{j+1}\subseteq{\rm Im}\varphi^{j}\)，因此\({\rm Im}\varphi^j={\rm Im}\varphi^{j+1}\)。从而，
    \begin{equation*} {\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}={\rm Im}\varphi^{t+2}=\cdots={\rm Im}\varphi^{t+i}=\cdots . \end{equation*}
  7. 根据维数公式
    \begin{equation*} \dim{\rm Ker}\varphi^s+\dim{\rm Im}\varphi^s=\dim V=\dim{\rm Ker}\varphi^{s+1}+\dim{\rm Im}\varphi^{s+1}, \end{equation*}
    结合\({\rm Ker}\varphi^s\subseteq{\rm Ker}\varphi^{s+1}\)和\({\rm Im}\varphi^s\supseteq{\rm Im}\varphi^{s+1}\)，得到
    \begin{equation*} \begin{array}{ccl}{\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}&\Leftrightarrow&\dim{\rm Ker}\varphi^s=\dim{\rm Ker}\varphi^{s+1}\\ &\Leftrightarrow&\dim{\rm Im}\varphi^s=\dim{\rm Im}\varphi^{s+1}\\ &\Leftrightarrow&{\rm Im}\varphi^s={\rm Im}\varphi^{s+1}. \end{array} \end{equation*}
  8. 因为\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，所以由\((5),(6),(7)\)知
    \begin{equation*} {\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{2s},{\rm Im}\varphi^s={\rm Im}\varphi^{2s}. \end{equation*}
    对任意\(\alpha\in V\)，\(\varphi ^s(\alpha)\in{\rm Im}\varphi^s\)，所以存在\(\beta\in V\)使得\(\varphi ^s(\alpha)=\varphi^{2s}(\beta)\)，则
    \begin{equation*} \alpha=\varphi^s(\beta)+(\alpha-\varphi^s(\beta)), \end{equation*}
    这里
    \begin{equation*} \varphi^s(\alpha-\varphi^s(\beta))=\varphi^s(\alpha)-\varphi^{2s}(\beta)=0, \end{equation*}
    即\(\alpha-\varphi^s(\beta)\in{\rm Ker}\varphi^s\)。而\(\varphi^s(\beta)\in{\rm Im}\varphi^s\)，故\(V={\rm Ker}\varphi^s+{\rm Im}\varphi^s\)。
    对任意\(\alpha\in{\rm Ker}\varphi^s\bigcap{\rm Im}\varphi^s\)，存在\(\beta\in V\)使得\(\alpha=\varphi^s(\beta)\)。又\(\varphi^s(\alpha)=0\)，所以
    \begin{equation*} 0=\varphi^s(\varphi^s(\beta))=\varphi^{2s}(\beta), \end{equation*}
    即\(\beta\in{\rm Ker}\varphi^{2s}={\rm Ker}\varphi^{s}\)。于是\(\alpha=\varphi^s(\beta)=0\)，即\({\rm Ker}\varphi^s\bigcap{\rm Im}\varphi^s=0\)。
    综上，\(V={\rm Ker}\varphi^s\oplus{\rm Im}\varphi^s\)。

12.

设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，满足\(\dim {\rm Im}\varphi^2=\dim{\rm Im}\varphi\)，证明：\({\rm Im}\varphi\bigcap{\rm Ker}\varphi=0\)。
解答.
对任意\(\alpha\in{\rm Im}\varphi\bigcap{\rm Ker}\varphi\)，存在\(\beta\in V\)使得\(\alpha=\varphi(\beta)\)。因\(\varphi(\alpha)=0\)，所以\(\varphi^2(\beta)=0\)，即\(\beta\in{\rm Ker}\varphi^2\)。由条件\(\dim {\rm Im}\varphi^2=\dim{\rm Im}\varphi\)、\({\rm Im}\varphi^2\subseteq{\rm Im}\varphi\)，得\({\rm Im}\varphi^2={\rm Im}\varphi\)。根据上题结论\((7)\)知，\({\rm Ker}\varphi^2={\rm Ker}\varphi\)。故\(\beta\in{\rm Ker}\varphi\)，即
\begin{equation*} \alpha=\varphi(\beta)=0. \end{equation*}
因此\({\rm Im}\varphi\bigcap{\rm Ker}\varphi=0\)。
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