主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 4.5 线性变换

建设中！

子节 4.5.1

  • 线性变换：线性映射\(\phi: V\to V\)。
  • \(V\)上所有线性变换\(\mathcal{L}(V,V)\)，简记为\(\mathcal{L}(V)\)。
  • \(\mathcal{L}(V)\)按照线性映射的加法、数乘运算构成数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。
  • \(\mathcal{L}(V)\)中线性变换关于合成运算封闭，即对任意\(\phi ,\psi\in\mathcal{L}(V)\)，均有
    \begin{equation*} \psi\phi\in \mathcal{L}(V), \end{equation*}
    且\(\forall \phi ,\psi ,\sigma\in\mathcal{L} (V), c\in\mathbb{F}\)，有
    1. 合成结合律: \(\sigma (\psi\phi)=(\sigma\psi)\phi\)；
    2. 合成与加法协调:\((\sigma +\psi)\phi=\sigma\phi +\psi\phi\)；
    3. 合成与数乘协调:\((c\psi)\phi=c(\psi\phi)=\psi(c\phi)\)。

定义 4.5.1.

设\(V\)是\(\mathbb{F}\)的线性空间。如果在\(V\)上定义乘法``\(\circ\)’’ 满足
  1. 乘法结合律: \(\alpha\circ (\beta\circ\gamma)=(\alpha\circ \beta)\circ \gamma \)；
  2. 乘法与加法协调: \(\alpha\circ (\beta+\gamma) = \alpha\circ \beta+\alpha\circ \gamma \)，\((\alpha+ \beta)\circ \gamma = \alpha\circ \gamma+ \beta\circ \gamma \)；
  3. 乘法与数乘协调: \(c(\alpha\circ \beta)=(c \alpha)\circ \beta = \alpha\circ(c \beta)\)；
则称\(V\)是\(\mathbb{F}\)上的代数 。 若还满足
  1. 存在单位元: 存在\(e\in V\)使得\(e\circ \alpha=\alpha\circ e=\alpha\)；
则称\(V\)是带单位元\(e\)的\(\mathbb{F}\)上代数。 若满足项 1、项 2、项 3，还满足
  1. 乘法交换律: \(\alpha \circ \beta=\beta\circ \alpha\)，
则称\(V\)是\(\mathbb{F}\)上的交换代数 。 若不满足 项 1 的代数称为非交换代数 。

定义 4.5.2.

设\(V\)，\(U\)是数域\(\mathbb{F}\)上的两个代数，若存在线性空间同构映射\(\Theta: V\to U\)，且满足
\begin{equation*} \Theta(\alpha\circ \beta) = \Theta(\alpha)\circ \Theta(\beta) \end{equation*}
则称\(\Theta\)是\(\mathbb{F}\)上的代数同构 ， 称\(V\)与\(U \)代数同构。
  • 若\(V\)、\(U\)代数同构，则\(V\)，\(U\)必线性同构，从而
    \begin{equation*} \dim V=\dim U. \end{equation*}

定义 4.5.10.

设\(A\)、\(B\in \mathbb{F}^{n\times n}\)。若存在可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*} {\color{blue} B=P^{-1}AP }, \end{equation*}
则称\(A\)相似 于\(B\)。
  • 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。反之， 若\(A\)、\(B\)相似， 则\(A\)、\(B\)是同一个线性变换在不同基下的矩阵。

练习 4.5.2 练习

1.

设\(\varphi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(\alpha\in V\)，若存在正整数\(k\)，使得
\begin{equation*} \varphi^{k-1}(\alpha)\neq 0,\varphi^k (\alpha)=0, \end{equation*}
证明：向量组\(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。

2.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是\(V\)的一个基，定义\(V\)上的线性变换使得
\begin{equation*} \varphi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}(i=1,2,\cdots ,n-1),\varphi(\alpha_n)=0, \end{equation*}
  1. 求\(\varphi\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)下的矩阵\(A\)；
  2. 证明：\(\varphi^{n}=0,\varphi^{n-1}\neq 0\)；
  3. 设\(\psi\)是\(V\)上线性变换且满足\(\psi^n=0,\psi^{n-1}\neq 0\)，证明：存在\(V\)的一个基\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)，使得\(\psi\)在这个基下的矩阵也是\(A\)。

3.

设\(\varphi,\psi\)都是\(V\)上幂等变换，即\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi\)，证明：\(\varphi+\psi\)是幂等变换的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi\varphi=0\)。

4.

设\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，定义线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AXB\)，证明：\(\varphi\)是可逆变换的充分必要条件是\(A,B\)为可逆矩阵。

5.

设\(A={\rm{diag}}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)，定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上线性变换
\begin{equation*} \varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AX-XA, \end{equation*}
证明：\(\varphi\)在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的标准基\(\{E_{ij}\ |\ 1\leq i,j\leq n\}\)下的矩阵也是对角矩阵。

6.

设线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3, \ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，
  1. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵；
  2. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1\)下的矩阵；
  3. 求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1\)下的矩阵；
  4. 证明：\(\varphi\)可逆，并求出\(\varphi^{-1}\)；
  5. 求\(2\varphi-\varphi^{-1}\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)下的矩阵。

7.

设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，且\(A\)可逆，证明：\(AB\)相似于\(BA\)。

8.

设\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，证明：\(\begin{pmatrix} A&0\\0&C \end{pmatrix}\)相似于\(\begin{pmatrix} B&0\\0&D \end{pmatrix}\)。

9.

设\(A\)相似于\(B\)，证明：对任意正整数\(m\)和任意\(c\in\mathbb{F}\)，有
  1. \(A^m\)相似于\(B^m\)；
  2. \(cA\)相似于\(cB\)；
  3. \(A^T\)相似于\(B^T\)；
  4. \(\det A=\det B\)；
  5. tr\((A)=\)tr\((B)\)；
  6. \(A\)可逆当且仅当\(B\)可逆，且\(A^{-1}\)相似于\(B^{-1}\)；
  7. \(A^2=A\)当且仅当\(B^2=B\)。

10.

给定\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix} \lambda_0&1&&&\\ &\lambda_0&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&1\\ &&&&\lambda_0 \end{pmatrix}\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)，并求可逆矩阵\(P\)使得\(A^T=P^{-1}AP\)。

11.

设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
  1. \({\rm Ker}\varphi\subseteq{\rm Ker}\varphi^2\subseteq{\rm Ker}\varphi^3\subseteq\cdots\subseteq{\rm Ker}\varphi^n\subseteq\cdots\)；
  2. \({\rm Im}\varphi\supseteq{\rm Im}\varphi^2\supseteq{\rm Im}\varphi^3\supseteq\cdots\supseteq{\rm Im}\varphi^n\supseteq\cdots\)；
  3. 存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)；
  4. 存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)；
  5. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+i}\)；
  6. 若\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+i}\)；
  7. \({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)的充分必要条件是\({\rm Im}\varphi^s={\rm Im}\varphi^{s+1}\)；
  8. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，那么\(V={\rm Ker}\varphi^s\oplus{\rm Im}\varphi^s\)。

12.

设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，满足\(\dim {\rm Im}\varphi^2=\dim{\rm Im}\varphi\)，证明：\({\rm Im}\varphi\bigcap{\rm Ker}\varphi=0\)。
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