主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 2.2 \(n\)维列向量

建设中！

子节 2.2.1 主要知识点

  • 记数域\(\mathbb{F}\)上全体\(n\)维列向量构成的集合为\(\mathbb{F}^n\)。
  • 线性方程组 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}}\\ {{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}}\\ {\cdots}\\ {{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}} \end{array}} \right. (*)\)可表为
    \begin{equation*} x_1\left(\begin{array}{c} a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c} a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{array}\right)+\cdots +x_n\left(\begin{array}{c} a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{array}\right), \end{equation*}
    即
    \begin{equation*} {\color{blue}x_1A_1+x_2A_2+\cdots x_nA_n=\beta }, \end{equation*}
    其中\(A_1,A_2,\cdots, A_n\in \mathbb{F}^m\)是系数矩阵\(A\)的列向量组，\(\beta\in \mathbb{F}^m\)是增广矩阵\(\overline{A}\)的最后一个列向量。

定义 2.2.1.

对于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)和向量\(\beta\)， 若存在常数\(b_1,b_2,\cdots ,b_s\in \mathbb{F}\)， 使得
\begin{equation*} \beta=b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+\cdots +b_s\alpha_s, \end{equation*}
则称\(\beta\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)的线性组合， 或称\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出。

例 2.2.2.

  1. 零向量0可由任一向量组线性表出。
  2. 若向量\(\alpha\)可由向量\(\beta\)线性表出，即存在\(k\in \mathbb{F}\)，使得\(\alpha=k\beta\)，则称\(\alpha\)与\(\beta\)成比例。
    • \(\mathbb{R}^3\)中，\(\alpha\)与\(\beta\)成比例\(\Leftrightarrow\alpha\)与\(\beta\)共线。
    • \(\mathbb{R}^3\)中，若\(\alpha\)与\(\beta\)不成比例，则向量\(\gamma\)可由向量组\(\alpha,\beta\)线性表出\(\Leftrightarrow\alpha ,\beta ,\gamma\)共面。
  3. 任一\(n\)维列向量都可由向量组\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)线性表出。
    事实上，对任一\(n\)维列向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\)，都有
    \begin{equation*} \alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots +a_n\varepsilon_n, \end{equation*}
    且表示法唯一。
  4. 在\(\mathbb{F}^2\)中，令\(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T,\alpha_3=(1,1)^T,\beta=(1,2)^T,\) 有
    \begin{equation*} \beta=\alpha_1+2\alpha_2+0\alpha_3,\ \beta =0\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \end{equation*}
    则\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出但表示法不唯一。

例 2.2.4.

设\(\beta = {(1,3, - 3a)^T},{\alpha _1} = {(1,2,0)^T},{\alpha _2} = {(1,a + 2, - 3a)^T},{\alpha _3} = {( - 1, - b - 2,a + 2b)^T}\)。试讨论当\(a\)为何值时，
  1. \(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出；
  2. \(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)唯一地线性表出，并求出表示式；
  3. \(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，但表示式不唯一，并求出表示式。

定义 2.2.5.

向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)称为线性相关， 如果存在不全为零的数\(a_1,a_2,\cdots,a_s\in \mathbb{F}\)， 使
\begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_s\alpha_s=0. \end{equation*}
不是线性相关的向量组称为线性无关。等价的说，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)称为线性无关，是指若存在\(a_1,a_2,\cdots,a_s\in \mathbb{F}\)使得
\begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_s\alpha_s=0, \end{equation*}
则必有\(a_1=a_2=\cdots=a_s=0\)。

例 2.2.6.

  1. 单个向量\(\alpha\)线性相关的充分必要条件是\(\alpha=0\)。
  2. 两个向量\(\alpha,\beta\)线性相关的充分必要条件是\(\alpha,\beta\)各分量成比例。
    • \(\mathbb{R}^3\)中，两个向量\(\alpha,\beta\)线性相关的充分必要条件是\(\alpha,\beta\)共线；
    • \(\mathbb{R}^3\)中，三个向量\(\alpha,\beta,\gamma\)线性相关的充分必要条件是\(\alpha,\beta,\gamma\)共面。
  3. \(n\)维标准单位列向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)线性无关。
  4. 向量组\({\alpha _1} = {(1,1)^T},{\alpha _2} = {(1,0)^T},{\alpha _3} = {(0,1)^T}\)线性相关。

例 2.2.8.

设\(n\)阶方阵\(P\)可逆， 证明：\(n\)维列向量组\({\alpha_1},{\alpha_2},\cdots,{\alpha_s}\)和向量组\(P{\alpha_1}, P{\alpha_2},\cdots,P{\alpha_s}\)有相同的线性关系。

例 2.2.9.

设\({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}\)线性无关，向量
\begin{equation*} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\ \beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\ \beta_3=\alpha_3+\alpha_1, \end{equation*}
证明：\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性无关。

例 2.2.10.

设\({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}\)线性无关，试问：向量
\begin{equation*} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\ \beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\ \beta_3=\alpha_3+\alpha_4,\ \beta_4=\alpha_4+\alpha_1 \end{equation*}
是否线性无关？

例 2.2.11.

\(n\)维列向量组\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)线性无关，定义
\begin{equation*} \beta_i=\sum\limits_{j=1}^{s}a_{ij}\alpha_j(i=1,2,\cdots ,s),\quad A=(a_{ji})_{s\times s} \end{equation*}
证明：\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关的充分必要条件是\(A\)可逆。

例 2.2.14.

判定
\begin{equation*} {(2,3,0)^T},{( - 1,4,0)^T},{(0,0,2)^T} \end{equation*}
是线性相关还是线性无关？
  • 若\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)线性无关，则\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)中任意两个向量线性无关。但反之不然。如\({\alpha _1} = (1,0)^T,{\alpha _2} = (0,1)^T,{\alpha _3} = (1,1)^T\)。

练习 2.2.2 练习

1.

设3维实列向量\(\alpha_1=(\lambda-1,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda-1,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda-1)^T,\) \(\beta=(\lambda+1,\lambda^2,2\lambda +1)^T\)。问\(\lambda\)取何值时，
  1. \(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法唯一；
  2. \(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法不唯一；
  3. \(\beta\)不可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示。
解答.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),\overline{A}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta)\)，则
\begin{equation*} \overline{A}\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&1&\lambda-1&2\lambda+1\\0&\lambda-2&2-\lambda&\lambda^2-2\lambda-1\\0&0&(\lambda+1)(2-\lambda)&(\lambda+1)(1-\lambda) \end{array}\right) \end{equation*}
  1. 当\(\lambda\neq -1\)且\(\lambda\neq 2\)时，方程组\(AX=\beta\)有唯一解\(X=(-\frac{1}{\lambda-2},\lambda+1,\frac{\lambda-1}{\lambda-2})^T\)。此时，\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出且表示法唯一，表示式为
    \begin{equation*} \beta=-\frac{1}{\lambda-2}\alpha_1+(\lambda+1)\alpha_2+\frac{\lambda-1}{\lambda-2}\alpha_3. \end{equation*}
  2. 当\(\lambda=-1\)时，
    \begin{equation*} \overline{A}=\left(\begin{array}{cccc} -2&1&1&0\\1&-2&1&1\\1&1&-2&-1 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&0&-1&-\frac{1}{3}\\0&1&-1&-\frac{2}{3}\\0&0&0&0 \end{array}\right) \end{equation*}
    \(r(\overline{A})=r(A)=2<3\)，方程组有无穷多解。 此时，\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出且表示法不唯一。
  3. 当\(\lambda=2\)时，
    \begin{equation*} \overline{A}=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&3\\1&1&1&4\\1&1&1&5 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&{3}\\0&0&0&1\\0&0&0&0 \end{array}\right) \end{equation*}
    \(r(\overline{A})\neq r(A)\)，方程组无解。 此时，\(\beta\)不可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出。

2.

设\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s} \in {F^n}\)，下列说法对吗？为什么？
  1. 如果有全为\(0\)的数\(k_1,k_2,\cdots ,k_s\)，使得\(k_1 \alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_s\alpha_s=0\)，那么向量组\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)线性无关。
  2. 如果有一组不全为\(0\)的数\(k_1,k_2,\cdots ,k_s\)，使得\(k_1 \alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_s\alpha_s\neq 0\)，那么向量组\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)线性无关。
  3. 如果向量组\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}(s\geq 2)\)线性相关，那么其中每一个向量都可以由其余向量线性表示。
解答.
  1. 不对。任意一个向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)，都存在全为\(0\)的数\(k_1,k_2,\cdots ,k_s\)，使得
    \begin{equation*} k_1 \alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_s\alpha_s=0, \end{equation*}
    但\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)未必线性无关。
  2. 不对。比如\(\alpha_1=\alpha_2=\cdots =\alpha_s=\varepsilon_1\)，存在不全为0的数\(1,1,\cdots ,1\)，使得\(1\alpha_1+1\alpha_2+\cdots +1\alpha_s\neq 0\)，但\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性相关。
    应改为“如果对任意一组不全为\(0\)的数\(k_1,k_2,\cdots ,k_s\)，都有\(k_1 \alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_s\alpha_s\neq 0\)，那么向量组\({\alpha _1},{\alpha _2},\cdots ,{\alpha _s}\)线性无关。”
  3. 不对。比如\(\alpha_1=\varepsilon_1,\alpha_2=2\varepsilon_1,\alpha_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2\)线性相关，但\(\alpha_3\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出。

3.

判断下列向量组是线性相关还是线性无关。
  1. \(\alpha_1=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\\-1\\0 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\-2\\0 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\6\\-1\\1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 0\\3\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\)；
  2. \(\alpha_1=\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\\-3\\2\\4 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\2\\-1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\6 \end{pmatrix}\)。
解答.
  1. 因为\(2\alpha_1-\alpha_2=0\)，所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。
  2. 法一：令\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，对\(A\)作行初等变换
    \begin{equation*} A\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0 \end{array}\right), \end{equation*}
    \(r(A)<4\)，所以\(AX=0\)有非零解。故向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。
    法二：令\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，则
    \begin{equation*} \det A=\begin{vmatrix} -2&1&3&2\\1&-3&0&-2\\0&2&2&4\\3&4&-1&6 \end{vmatrix}=0, \end{equation*}
    故向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。

4.

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵满足\(AB=E_m\)。证明：矩阵\(B\)的列向量组线性无关。
解答.
设\(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m)\)。若
\begin{equation*} x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots+x_m\beta_m=0, \end{equation*}
则\(BX=0\)，其中\(X=(x_1,x_2,\cdots,x_m)^T\)。两边同时左乘\(A\)，得
\begin{equation*} (AB)X=0. \end{equation*}
由\(AB=E\)可知\(X=0\)，即\(x_1=x_2=\cdots =x_m=0\)。因此，\(B\)的列向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m\)线性无关。

5.

设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在正整数\(k\)，使得线性方程组\(A^kX=0\)有解向量\(\alpha\)，且\(A^{k-1}\alpha\neq 0\)。证明：向量组\(\alpha,A\alpha,\cdots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。
解答.
设
\begin{equation} a_0\alpha+a_1A\alpha+\cdots+a_{k-1}A^{k-1}\alpha=0,\tag{2.1} \end{equation}
两边同时左乘\(A^{k-1}\)得
\begin{equation*} a_0\cdot A^{k-1}\alpha+a_1\cdot A^k\alpha+\cdots+a_{k-1}\cdot A^{2k-2}\alpha=0. \end{equation*}
因\(A^{k}\alpha=0\)，则\(a_0\cdot A^{k-1}\alpha=0\)。由\(A^{k-1}\alpha\neq 0\)知\(a_0=0\)，代入(2.1) 式得
\begin{equation*} a_1\cdot A\alpha+\cdots+a_{k-1}\cdot A^{k-1}\alpha=0, \end{equation*}
两边同时左乘\(A^{k-2}\)得，\(a_1\cdot A^{k-1}\alpha=0\)，故\(a_1=0\)。依此类推，有
\begin{equation*} a_0=a_1=\cdots =a_{k-1}=0. \end{equation*}
因此向量组\(\alpha,A\alpha,\cdots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。

6.

设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，且\(\beta_i=\alpha_1+\cdots +\alpha_i(i=1,2,\cdots ,s)\)，证明：\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关。
解答.
设\(x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_s\beta_s=0\)，即
\begin{equation*} (x_1+x_2+\cdots+x_s)\alpha_1+(x_2+\cdots+x_s)\alpha_2+\cdots +x_s\alpha_s=0. \end{equation*}
因为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，所以
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{r} x_1+x_2+\cdots+x_s=0,\\ x_2+\cdots+x_s=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_s=0, \end{array}\right. \end{equation*}
解得\(x_1=x_2=\cdots=x_s=0\)。故\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关。

7.

设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，判断向量组
\begin{equation*} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots ,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s,\beta_s=\alpha_s+\alpha_1 \end{equation*}
的线性相关性。
解答.
因为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，又
\begin{equation*} (\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s)A_{s\times s}, \end{equation*}
其中
\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 1&&&&1\\ 1&1&&&\\ &\ddots&\ddots&&\\ &&\ddots&1&\\ &&&1&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
故\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关的充要条件为\(\det A\neq 0\)，即\(1+(-1)^{s+1}\neq 0\)。从而\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关当且仅当\(s\)为奇数。

8.

设向量组
\begin{equation*} \alpha_1=(1,0,2,3)^T,\alpha_2=(1,1,3,5)^T,\alpha_3=(1,-1,t+2,1)^T,\alpha_4=(1,2,4,t+9)^T \end{equation*}
线性相关，求\(t\)。
解答.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，则
\begin{equation*} \det A=\left|\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\0&1&-1&2\\2&3&t+2&4\\3&5&1&t+9 \end{array}\right|=(t+1)(t+2). \end{equation*}
故\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关\(\Leftrightarrow\det A=0\Leftrightarrow t=-1\)或\(t=-2\)。

9.

判断向量组
\begin{equation*} \alpha_1=(1,0,2,-1)^T,\alpha_2=(-2,1,-4,6)^T,\alpha_3=(3,2,7,5)^T,\alpha_4=(1,-2,6,-9)^T \end{equation*}
是线性相关还是线性无关？如果线性相关，试找出其中一个向量，使得它可以由其余向量线性表示，并且写出它的一个表达式。
解答.
设\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，对\(A\)作行初等变换
\begin{equation} A\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&-31\\0&1&0&-10\\0&0&1&4\\0&0&0&0 \end{array}\right),\tag{2.2} \end{equation}
则\(r(A)<4\)，齐次线性方程组\(AX=0\)有非零解，故向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。由 (2.2) 知\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\alpha_4\)有唯一解
\begin{equation*} x_1=-31,x_2=-10,x_3=4 \end{equation*}
。因此\(\alpha_4\)可由其余向量\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，且 \(\alpha_4=-31\alpha_1-10\alpha_2+4\alpha_3\)。

10.

设在向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)中，\(\alpha_1\neq 0\)且每一个\(\alpha_i\)都不能表成它的前\(i-1\)个向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{i-1}\)的线性组合。证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关。
解答.
假设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性相关，则存在不全为\(0\)的数\(a_1,a_2,\cdots ,a_s\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_s\alpha_s=0. \end{equation*}
假设\(a_i\)是\(a_1,a_2,\cdots ,a_s\)中最后一个不为\(0\)的数，则
\begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_i\alpha_i=0. \end{equation*}
由\(\alpha_1\neq 0\)知\(i>1\)，于是
\begin{equation*} \alpha_i=-\frac{a_1}{a_i}\alpha_1-\frac{a_2}{a_i}\alpha_2-\cdots-\frac{a_{i-1}}{a_i}\alpha_{i-1}, \end{equation*}
与已知条件矛盾。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关。

11.

设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，向量\(\beta_1\)可由它线性表示，而向量\(\beta_2\)不能由它线性表示。证明：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s,\beta_1+\beta_2\)线性无关。
解答.
假设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s,\beta_1+\beta_2\)线性相关。由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关知，\(\beta_1+\beta_2\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出，即存在\(a_1,a_2,\cdots ,a_s\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation} \beta_1+\beta_2=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_s\alpha_s.\tag{2.3} \end{equation}
注意到\(\beta_1\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出，则存在\(b_1,b_2,\cdots ,b_s\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation} \beta_1=b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+\cdots +b_s\alpha_s.\tag{2.4} \end{equation}
(2.3)–(2.4)得
\begin{equation*} \beta_2=(a_1-b_1)\alpha_1+(a_2-b_2)\alpha_2+\cdots +(a_2-b_s)\alpha_s, \end{equation*}
则\(\beta_2\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出，与已知条件矛盾。因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s,\beta_1+\beta_2\)线性无关。

12.

设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}(s\geq 3)\)线性相关，向量组\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s}(s\geq 3)\)线性无关，问：
  1. \(\alpha_1\)能否由\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示？
  2. \(\alpha_s\)能否由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示？
解答.
  1. 因为\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s}\)线性无关，所以部分组\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s-1}\)也线性无关。又\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性相关，故\(\alpha_1\)可由\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出。
  2. 假设\(\alpha_s\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出，由(1)知\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)可由\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出，故\(\alpha_s\)可由\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出，这与向量组\(\alpha_2,\alpha_3,\cdots ,\alpha_{s}\)线性无关相矛盾。因此\(\alpha_s\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出。

13.

证明：\(\mathbb{F}^n\)中，如果\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)线性无关，则任一向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)线性表示。
解答.
因为\(n+1\)个\(n\)维列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta\)线性相关，又\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)线性无关，故\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)线性表示。

14.

设\(\alpha_i=(1,t_i,\cdots ,t_i^{n-1})^T,i=1,2,\cdots ,s\)，其中\(t_1,t_2,\cdots ,t_s\)是互不相同的数，且\(1\leq s\leq n\)。证明：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关。
解答.
令\(\beta_i=(1,t_i,\cdots ,t_i^{s-1})^T,i=1,2,\cdots ,s\)，则\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)是\(s\)个\(s\)维列向量。令\(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s)\)，则
\begin{equation*} \det B=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ t_1&t_2&\cdots&t_s\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ t_1^{s-1}&t_2^{s-1}&\cdots&t_s^{s-1} \end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq j<i\leq s}(t_i-t_j)\neq 0. \end{equation*}
故向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关，进而加长向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)也线性无关。
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