定理 7.2.1.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵，则\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)相抵。
节 7.2 特征矩阵
建设中！
子节 7.2.1 主要知识点
引理 7.2.2.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵，若存在\(P_0,Q_0\in\mathbb{F}^{n\times n}\)使得
\begin{equation*}
\lambda E-B=P_0(\lambda E-A)Q_0,
\end{equation*}
则\(A\)相似于\(B\)。
引理 7.2.3.
设\(M(\lambda),\ N(\lambda)\)是非零\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，\(B\)是\(n\)阶数字矩阵，则必存在\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)和\(S(\lambda)\)以及数字矩阵\(R\)和\(T\)，使得
\begin{equation*}
M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\ \ N(\lambda)=S(\lambda)(\lambda E-B)+T.
\end{equation*}
推论 7.2.4.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ，则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式，\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,2,\cdots ,k)\)，且
\begin{equation*}
d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,2,\cdots ,k-1).
\end{equation*}
备注 7.2.5.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，且\(A\)的法式为\({\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda))\)，则以下几点等价：
- \(k=n\)；
- \(\deg d_i(\lambda)=1,(i=1,2,\cdots ,n)\)；
- \(d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=\cdots =d_n(\lambda)=\lambda -\lambda_0\)；
- \(\lambda E-A\simeq \lambda E-\lambda_0E\)；
- \(A\)相似于数量矩阵\(\lambda_0E\)；
- \(A=\lambda_0E\)。
练习 7.2.2 练习
1.
求\(A\)的特征矩阵的法式，其中 (1)\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\)，(2)\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
2.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
diag (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明：\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda)\mbox{。}
\end{equation*}
