定理 7.2.1.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵，则\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)相抵。
节 7.2 特征矩阵
建设中！
子节 7.2.1 主要知识点
引理 7.2.2.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵，若存在\(P_0,Q_0\in\mathbb{F}^{n\times n}\)使得
\begin{equation*}
\lambda E-B=P_0(\lambda E-A)Q_0,
\end{equation*}
则\(A\)相似于\(B\)。
引理 7.2.3.
设\(M(\lambda),\ N(\lambda)\)是非零\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，\(B\)是\(n\)阶数字矩阵，则必存在\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)和\(S(\lambda)\)以及数字矩阵\(R\)和\(T\)，使得
\begin{equation*}
M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\ \ N(\lambda)=S(\lambda)(\lambda E-B)+T.
\end{equation*}
推论 7.2.4.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ，则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式，\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,2,\cdots ,k)\)，且
\begin{equation*}
d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,2,\cdots ,k-1).
\end{equation*}
备注 7.2.5.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，且\(A\)的法式为\({\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda))\)，则以下几点等价：
- \(k=n\)；
- \(\deg d_i(\lambda)=1,(i=1,2,\cdots ,n)\)；
- \(d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=\cdots =d_n(\lambda)=\lambda -\lambda_0\)；
- \(\lambda E-A\simeq \lambda E-\lambda_0E\)；
- \(A\)相似于数量矩阵\(\lambda_0E\)；
- \(A=\lambda_0E\)。
练习 7.2.2 练习
1.
求\(A\)的特征矩阵的法式，其中
- \(A=\begin{pmatrix} -1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4 \end{pmatrix}\)，
- \(A=\begin{pmatrix} 3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5 \end{pmatrix}\)。
解答.
- \begin{equation*} \begin{array}{rl} \lambda E-A=& \begin{pmatrix} \lambda+1&0&-1\\-3&\lambda-2&2\\5&-1&\lambda-4 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,3)]{}\begin{pmatrix} -1&0&\lambda+1\\2&\lambda-2&-3\\\lambda-4&-1& 5 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow[E(1,3(\lambda+1))]{{\begin{array}{c} E(2,1(2))\\E(3,1( \lambda -4)) \end{array}}}&\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&\lambda-2&2 \lambda-1\\0&-1&\lambda^2-3 \lambda+1 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(2,3)}\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&-1&\lambda^2-3 \lambda+1\\0&\lambda-2&2 \lambda-1 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow[E(2,3(\lambda^2-3 \lambda+1))]{{\begin{array}{c}E(3,2(\lambda-2))\\E(1(-1))\\E(2(-1))\end{array}}}&\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&\lambda^3-5 \lambda^2+9 \lambda-3 \end{pmatrix} \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} \begin{array}{rl} \lambda E-A=& \begin{pmatrix} \lambda-3&-1&-1\\0&\lambda-4&0\\1&-1&\lambda-5 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,3)]{}\begin{pmatrix} -1&-1&\lambda-3\\0&\lambda-4&0\\\lambda-5&-1&1 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow[{\begin{array}{c} E(1,2(-1))\\E(1,3( \lambda -3)) \end{array}}]{E(3,1(\lambda-5))}&\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&\lambda-4&0\\0&4-\lambda&(\lambda-4)^2 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,2(1))}\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&\lambda-4&0\\0&0&(\lambda-4)^2 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow{E(1(-1))}&\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\lambda-4&0\\0&0&(\lambda-4)^2 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}所以\(A\)的特征矩阵的法式为\(\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\lambda-4&0\\0&0&(\lambda-4)^2 \end{pmatrix}\)。
2.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明：\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda)\mbox{。}
\end{equation*}
解答.
由于\(A\)的特征矩阵的法式为 \({\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda))\)，所以存在可逆\(\lambda\)-矩阵\(P(\lambda)\)、\(Q(\lambda)\)，使得
\begin{equation*}
\lambda E_n-A=P(\lambda){\rm diag} (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda))Q(\lambda),
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\det (\lambda E_n-A)=\det P(\lambda)\det Q(\lambda)d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda),
\end{equation*}
其中\(\det P(\lambda)\)、\(\det Q(\lambda)\)为非零常数，即\(f_A(\lambda)=cd_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda),c\in\mathbb{F}\)。注意到\(f_A(\lambda), d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)\)均为首一多项式，故\(c=1\)。因此
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda)\mbox{。}
\end{equation*}
3.
设\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n},M(\lambda),N(\lambda)\)是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且满足
\begin{equation}
M(\lambda)(\lambda E-A)=(\lambda E-B)N(\lambda).\tag{7.1}
\end{equation}
证明：
- 存在\(R\in\mathbb{F}^{n\times n}\)及\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)，使得\begin{equation*} M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\ N(\lambda)=Q(\lambda)(\lambda E-A)+R; \end{equation*}
- \(M(\lambda)\)可逆的充要条件是\(N(\lambda)\)可逆，此时\(R\)可逆，进而\(A\)相似于\(B\)。
解答.
- \begin{equation*} M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R, \end{equation*}代入\(M(\lambda)(\lambda E-A)=(\lambda E-B)N(\lambda)\)，整理得\begin{equation*} R(\lambda E-A)=(\lambda E-B)\left[N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)\right]. \end{equation*}上式左边是一次多项式，所以右式中\(N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)\)必须是零次的，即为数字矩阵，记为\(P\)，则有\(R(\lambda E-A)=(\lambda E-B)P\)，即\begin{equation} \lambda R-RA=\lambda P-BP,\tag{7.2} \end{equation}比较系数，有\(P=R\)，即\begin{equation*} N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)=R, \end{equation*}故\(N(\lambda)=Q(\lambda)(\lambda E-A)+R\)。
-
(7.1)两端同时取行列式得\begin{equation*} \det M(\lambda)\cdot f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\cdot\det N(\lambda). \end{equation*}因为\(f_A(\lambda),f_B(\lambda)\)均为\(n\)次首一多项式，所以 \(\det M(\lambda)\)为非0常数的充要条件是\(\det N(\lambda)\)为非0常数，即\(M(\lambda)\)可逆的充要条件是\(N(\lambda)\)可逆。
