子节 1.2.1 主要知识点
数域\(\mathbb{F}\)上线性方程组的一般形式
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}}\\
{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}}\\
{\vdots}\\
{{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}}
\end{array}} \right.
\end{equation*}
其中\(x_i\ (i=1,\ 2,\ \ldots,\ n)\)是未知量， \(a_{ij},\ b_i\in \mathbb{F}\ (i=1,\ 2,\ \ldots m\)； \(j=1,\ 2,\ \ldots,\ n)\)。
定义 1.2.1.
由\(mn\)个数\(a_{ij}\ (i=1,\ 2,\ \ldots m;\ j=1,\ 2,\ \ldots,\ n) \) 排成\(m\)行、\(n\)列的矩形阵列：
\begin{equation*}
A = {\color{blue} \begin{pmatrix}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\
\vdots & \vdots &{\ddots}& \vdots \\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{pmatrix}}{=(a_{ij})_{m\times n}}
\end{equation*}
称为\(m\)行\(n\)列矩阵，简记为 \(m\times n\) 矩阵。
\(a_{ij}\)---\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列元素或第\((i,\ j)\)元素。
\(m\)--- 行数，\(n\)--- 列数。
若\(m=n\)，则称\(A\)是一个\(n\)阶 方阵 。
\(a_{ii}\)---\(A\)的第\(i\)个 (主)对角元。
实矩阵： 矩阵的元素全为实数，即
\begin{equation*}
a_{ij}\in {\color{red}\mathbb{R}}(i=1,\ 2,\ \ldots,\ m;\ j=1,\ 2,\ \ldots,\ n)
\end{equation*}
复矩阵：矩阵的元素全为复数，即
\begin{equation*}
a_{ij}\in {\color{red}\mathbb{C}}(i=1,\ 2,\ \ldots,\ m;\ j=1,\ 2,\ \ldots,\ n)
\end{equation*}
零矩阵： \(0_{m\times n}\) 矩阵的元素全为\(0\)，即
\begin{equation*}
a_{ij}= 0(i=1,\ 2,\ \ldots,\ m;\ j=1,\ 2,\ \ldots,\ n)
\end{equation*}
Sage中生成一个矩阵的命令是matrix。
更多方式，请使用 "matrix?"命令查看官方文档。
矩阵的相等
\(A =(a_{ij})_{m\times n},\ \) \(B =(b_{ij})_{s\times t} \)。则\(A=B\)必须同时满足如下两个条件：
\(m=s,\ n=t\)；
\(a_{ij}=b_{ij}\quad i=1,\ 2,\ \ldots,\ m;\ j=1,\ 2\ldots,\ n\)。
特别提示：具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。 如
\begin{equation*}
0_{2\times 3}\ne 0_{1\times 6}\ne 0_{3\times 2}
\end{equation*}
矩阵的加法
定义 1.2.2.
两个同为\(m\times n\) 的矩阵相加（减）后得一\(m\times n\)矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）。
\begin{equation*}
A= (a_{ij})_{m\times n},\ \quad B= (b_{ij})_{m\times n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
A+B= (a_{ij}+b_{ij})_{m\times n},\ \quad A-B= (a_{ij}-b_{ij})_{m\times n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\
{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\\
{{b_{31}}}&{{b_{32}}}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
{{{a_{11}} + {b_{11}}}}&{{a_{12}} + {b_{12}}}\\
{{a_{21}} + {b_{21}}}&{{a_{22}} + {b_{22}}}\\
{{a_{31}} + {b_{31}}}&{{a_{32}} + {b_{32}}}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
矩阵加法的运算规则
矩阵数乘
定义 1.2.3.
\(m\times n\)阶矩阵与一个数\(c\)相乘后得一\(m\times n\)矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数。
\begin{equation*}
A=(a_{ij})_{m\times n},\ \quad{\color{red}c}A=({\color{red}c}a_{ij})_{m\times n},\
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\color{red}c}\times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\,\ \;\ =
\begin{pmatrix}
{{\color{red}c}{a_{11}}}&{{\color{red}c}{a_{12}}}& \cdots &{{\color{red}c}{a_{1n}}}\\
{{\color{red}c}{a_{21}}}&{{\color{red}c}{a_{22}}}& \cdots &{{\color{red}c}{a_{2n}}}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{\color{red}c}{a_{m1}}}&{{\color{red}c}{a_{m2}}}& \cdots &{{\color{red}c}{a_{mn}}}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
矩阵数乘运算规则
数乘和加法的协调: \(c(A+B)=cA+cB\)；
数的加法与数乘的协调: \((c+d)A=cA+dA\)；
数的乘法与数乘的协调: \((cd)A=c(dA)\)；
数1与数乘的协调: \(1A=A\)；
数0与数乘的协调: \({\color{blue}0}A={\color{red}0_{m\times n}}\)。
一些特殊矩阵：
线性组合
例 1.2.4.
\(n\)维列向量\(\alpha = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}\\
{{a_2}}\\
\vdots \\
{{a_n}}
\end{array}} \right),\ \beta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\\
{{b_2}}\\
\vdots \\
{{b_n}}
\end{array}} \right)\)
\(\displaystyle { \alpha = {a_1}{\varepsilon _1} + {a_2}{\varepsilon _2} + \cdots + {a_n}{\varepsilon _n}} \)
\(\displaystyle \displaystyle \beta = {b_1}{\varepsilon _1} + {b_2}{\varepsilon_2} + \cdots + {b_n}{\varepsilon_n} \)
\(\displaystyle \alpha+\beta = {(a_1+b_1)}{\varepsilon_1} + {{(a_2+b_2)}}{\varepsilon_2} + \cdots + {{(a_n+b_n)}}{\varepsilon_n}\)
\({ \alpha = {a_1}{\varepsilon _1} + {a_2}{\varepsilon _2} + \cdots + {a_n}{\varepsilon _n}} \) \({\displaystyle ={\sum_{i=1}^n a_{i}\varepsilon_{i}}}\)
\(\displaystyle \beta = {b_1}{\varepsilon _1} + {b_2}{\varepsilon_2} + \cdots + {b_n}{\varepsilon_n} \) \(\displaystyle ={\sum_{i=1}^n b_{i}\varepsilon_{i}}\)
\(\alpha+\beta = {(a_1+b_1)}{\varepsilon_1} + {{(a_2+b_2)}}{\varepsilon_2} + \cdots + {{(a_n+b_n)}}{\varepsilon_n}\) \(\displaystyle ={\sum_{i=1}^n (a_i+b_{i})\varepsilon_{i}}\)
矩阵乘法
定义 1.2.5.
设\(A= (a_{ij})_{{\color{blue}m}\times {\color{red}k}}\)是\({\color{blue}m}\times {\color{red}k}\)矩阵，\(B=(b_{ij})_{{\color{red}k}\times {\color{blue}n}}\)是\({\color{red}k}\times {\color{blue}n}\)矩阵，则\(A\)与\(B\)的乘积是一个\({\color{blue}m}\times {\color{blue}n}\)矩阵\(C=(c_{ij})_{{\color{blue}m}\times {\color{blue}n}}\)，其中
\begin{align*}
c_{{\color{blue}i}j} & = & a_{{\color{blue}i}{\color{red}1}}b_{{\color{red}1}j} +a_{{\color{blue}i}{\color{red}2}}b_{{\color{red}2}j}+\cdots+ a_{{\color{blue}i}{\color{red}k}}b_{{\color{red}k}j}\\
& = & \sum_{s=1}^k a_{{\color{blue}i}{\color{red}s}}b_{{\color{red}s}j}
\end{align*}
记作\(C=A\times B\)，或简记为\(C=AB\)。
图 1.2.6. 矩阵乘法中元素对应关系示意图（本图来源于https://texample.net/tikz/examples/）
矩阵乘积与线性方程组
线性方程组的一般形式
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}}\\
{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}}\\
{\vdots}\\
{{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}}
\end{array}} \right.
\end{equation*}
\(A = {\begin{pmatrix}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\
\vdots & \vdots &{\ddots}& \vdots \\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{pmatrix}}\)，\(X = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}\)
则线性方程组可表示为\({\color{red}AX=\beta}\)。称\(A\)为线性方程组的 系数矩阵。
例 1.2.7.
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 2 & -1\\
-1 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
求\(AB\)。
例 1.2.8.
\(A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 4
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)，\(BA\)。
\(A=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}\)，\(B= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)，\(BA\)。
矩阵乘积的``不可交换性’’：
矩阵乘积不满足消去律。即
\begin{equation*}
A\ne0,\ AB=AC {\not\Rightarrow B=C.}
\end{equation*}
矩阵乘法的运算规则：
乘法的结合律: \((AB)C = A(BC)\)。
乘法和加法的协调: \(A(B+C) = AB + AC\)，\((A+B)C = AC + BC\)。
乘法和数乘的协调: \(cAB = (cA)B = A(cB)\)。
特殊矩阵
上三角矩阵： \(A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
{\color{red}0} & a_{22} & \ddots & \vdots\\
{\color{red}\vdots} & {\color{red}\ddots} & \ddots & a_{n-1,n}\\
{\color{red}0} &{\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & a_{nn}
\end{pmatrix}\)，\(a_{ij}=0\)，\(\forall i>j\)，\(i,j=1,2,\ldots,n\)。
下三角矩阵： \(A=\begin{pmatrix}
a_{11} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0}\\
a_{21} & a_{22} & {\color{red}\ddots} & {\color{red}\vdots}\\
\vdots & \ddots & \ddots & {\color{red}0}\\
a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{pmatrix}\)，\(a_{ij}=0\)，\(\forall i<j\)，\(i,j=1,2,\ldots,n\)。
严格上（下）三角矩阵 --- 对角元都为0的 上（下）三角矩阵。
对角矩阵\(A\)：亦记作\(\text{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn})\)
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
{\color{red}a_{11}} & 0 & \cdots & 0\\
0 & {\color{red}a_{22}} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & {\color{red}\ddots} & 0\\
0 & \cdots & 0 & {\color{red}a_{nn}}
\end{pmatrix}\quad a_{ij}=0, \forall i\ne j.
\end{equation*}
单位矩阵\(E_n\)，也记作\(I_n\)：
\begin{equation*}
E_n=\begin{pmatrix}
{\color{red}1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & {\color{red}1} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & {\color{red}\ddots} & 0\\
0 & \cdots & 0 & {\color{red}1}
\end{pmatrix}\quad a_{ij}=\begin{cases}
0, &\text{ if } i\ne j,\\
1, &\text{ if } i=j.
\end{cases}
\end{equation*}
数量矩阵 \(cE_n\) (\(cI_n\))：
\begin{equation*}
cE_n=\begin{pmatrix}
{\color{red}c} & 0 & \cdots & 0\\
0 & {\color{red}c} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & {\color{red}\ddots} & 0\\
0 & \cdots & 0 & {\color{red}c}
\end{pmatrix}\quad a_{ij}=\begin{cases}
0, &\text{ if } i\ne j,\\
c, &\text{ if } i=j.
\end{cases}
\end{equation*}
例 1.2.9.
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11} & & & \\
& a_{22} & &\\
& & \ddots & \\
& & & a_{nn}
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
b_{11} & & & \\
& b_{22} & &\\
& & \ddots & \\
& & & b_{nn}
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)和\(BA\)。
特殊矩阵乘积性质
定义 1.2.10.
设\(A\)是一个方阵，定义方阵的幂：
\begin{equation*}
A^2:= A\cdot A;\cdots; \ A^r:=A^{r-1}\cdot A=\underbrace{A\cdot A\cdot\cdots\cdot A}_{r}
\end{equation*}
例 1.2.11.
例 1.2.12.
一般的，设\(A =\begin{pmatrix}
0 & {\color{red}1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & {\color{red}1} & \ddots &\vdots\\
\vdots &\ddots & \ddots & {\color{red}\ddots} & 0\\
0 & \cdots & 0 & 0 & {\color{red}1}\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}\)，求\(A^k\)。
例 1.2.13.
设
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 &\lambda
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求 \(A^n\)。
例 1.2.14.
设
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -3\\
2 & -2 & 6
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求 \(A^{2022}\)。
矩阵转置
\begin{equation*}
A =\begin{pmatrix}
{\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}a_{1n}}\\
{\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}\cdots} & {\color{blue}a_{2n}}\\
{\color{orange}\vdots} & {\color{orange}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{orange}\vdots}\\
{\color{green}a_{m1}} & {\color{green}a_{m2}} & {\color{green}\cdots} & {\color{green}a_{mn}}
\end{pmatrix}_{m\times n} \to
\begin{pmatrix}
{\color{red}a_{11}} & {\color{blue}a_{21}} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}a_{m1}}\\
{\color{red}a_{12}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}a_{m2}}\\
{\color{red}\vdots} & {\color{blue}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{green}\vdots}\\
{\color{red}a_{1n}} & {\color{blue}a_{2n}} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}a_{mn}}
\end{pmatrix}_{n\times m} =A^{T}
\end{equation*}
定义 1.2.15.
设\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，\(B=(b_{ij})_{n\times m}\)。若\(b_{{\color{blue} i}{\color{red} j}} = a_{{\color{red} j}{\color{blue} i}}\)对\(\forall i,j\)均成立，则称\(B\)是\(A\)的 转置，记作\(B=A^{T}(\)或\(B=A'\))。
转置运算的运算法则：
\((A^T)^T = A\)；
\((A+B)^T =A^T+B^T \)；
\((cA)^T = c A^T\)；
\({\color{red}(AB)^T= B^T A^T}\)；
\({\color{red}(A_1A_2\cdots A_s)^T= A_s^T A_{s-1}^T\cdots A_1^T}\)。
定义 1.2.16.
一个方阵\(A\)若满足\(A=A^T\)，则称\(A\)为 对称矩阵；若\(A= {\color{red}-} A^T\)，则称\(A\)为 反对称矩阵。
定义 1.2.17.
设复数\(z=a+bi\in \mathbb{C} (a,b\in \mathbb{R})\)，称\(a-bi\)为\(z\)的共轭元，记为 \(\overline{z}\)。
定义 1.2.18.
复数域\(\mathbb{C}\)上矩阵\(A=(a_{jk})_{m\times n}\)的 共轭矩阵 \(\overline{A}\) 定义为 \(\overline{A} = (\overline{a_{jk}})_{m\times n}\)。
运算规则：
\(\overline{(\overline{A})}=A\)；
\(\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B} \)；
\(\overline{cA}=\overline{c}\overline{A} \)；
\(\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}\)；
\(\overline{(A^T)}=\overline{A}^T \)。
练习 1.2.2 练习
1.
设\(A= \begin{pmatrix}
1&0&-1\\2&3&1
\end{pmatrix}\) ，\(B=\begin{pmatrix}
2&1&-1\\0&3&2
\end{pmatrix}\)，求\(A+B\)，\(A-B\)和\(3A-2B\)。
解答.
\begin{equation*}
A+B=\begin{pmatrix}
3&1&-2\\2&6&3
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
A-B=\begin{pmatrix}
-1&-1&0\\2&0&-1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
3A-2B= \begin{pmatrix}
-1&-2&-1\\6&3&-1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
2.
设\(J\)是元素全为\(1\)的\(n\)阶方阵，\(E_n=\begin{pmatrix}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1
\end{pmatrix}\)，请将矩阵
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a&b&b&\cdots&b\\
b&a&b&\cdots&b\\
b&b&a&\cdots&b\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b&b&b&\cdots&a
\end{pmatrix}
\end{equation*}
表示成\(xE_n+yJ\)的形式，其中\(x\)，\(y\)为待定系数。
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
A&=&\begin{pmatrix}
(a-b)+b&b&b&\cdots&b\\
b&(a-b)+b&b&\cdots&b\\
b&b&(a-b)+b&\cdots&b\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b&b&b&\cdots&(a-b)+b
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
a-b&0&0&\cdots&0\\
0&a-b&0&\cdots&0\\
0&0&a-b&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&a-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
b&b&b&\cdots&b\\
b&b&b&\cdots&b\\
b&b&b&\cdots&b\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b&b&b&\cdots&b
\end{pmatrix},
\end{array}
\end{equation*}
所以取\(x=a-b,y=b\)，有\(A=xE_n+yJ\)。
3.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&2&0\\1&-1&1
\end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix}
1&3\\0&1\\1&-1
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)，\(BA\)。
设\(A=\begin{pmatrix}
a_1&a_2&a_3&a_4\\
b_1&b_2&b_3&b_4\\
c_1&c_2&c_3&c_4
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\1
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)；
设\(A=\begin{pmatrix}
a_1&a_2&a_3&a_4\\
b_1&b_2&b_3&b_4\\
c_1&c_2&c_3&c_4
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
1&1&1
\end{pmatrix}\)，求\(BA\)；
设\(X^T=\begin{pmatrix}
x_1&x_2&x_3
\end{pmatrix}\)，\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}\)，\(X=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}\)，求\(X^TAX\)；
设\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
b_1&0&0\\
0&b_2&0\\
0&0&b_3
\end{pmatrix}\)，求\(AB\)，\(BA\)。
解答.
\(AB= \begin{pmatrix}
1&5\\2&1
\end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix}
4&-1&3\\1&-1&1\\0&3&-1
\end{pmatrix}\)。
\(AB=\begin{pmatrix}
a_1+a_2+a_3+a_4\\
b_1+b_2+b_3+b_4\\
c_1+c_2+c_3+c_4
\end{pmatrix}\)。
\(BA=\begin{pmatrix}
a_1+b_1+c_1&a_2+b_2+c_2&a_3+b_3+c_3&a_4+b_4+c_4
\end{pmatrix}\)。
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
X^TAX&=& \begin{pmatrix}
\sum\limits_{i=1}^3a_{i1}x_i&\sum\limits_{i=1}^3a_{i2}x_i&\sum\limits_{i=1}^3a_{i3}x_i\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}\\
&=&(\sum\limits_{i=1}^3a_{i1}x_i)x_1+(\sum\limits_{i=1}^3a_{i2}x_i)x_2+(\sum\limits_{i=1}^3a_{i3}x_i)x_3\\
% &=&a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+(a_{12}+a_{21})x_1x_2+(a_{13}+a_{31})x_1x_3\\&&+(a_{23}+a_{32})x_2x_3.
&=&\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3 a_{ij}x_ix_j.
\end{array}
\end{equation*}
\(AB=\begin{pmatrix}
a_{11}b_1&a_{12}b_2&a_{13}b_3\\
a_{21}b_1&a_{22}b_2&a_{23}b_3\\
a_{31}b_1&a_{32}b_2&a_{33}b_3
\end{pmatrix}\)，\(BA=\begin{pmatrix}
b_1a_{11}&b_1a_{12}&b_1a_{13}\\
b_2a_{21}&b_2a_{22}&b_2a_{23}\\
b_3a_{31}&b_3a_{32}&b_3a_{33}
\end{pmatrix}\)。
4.
一个\(n\)阶方阵\(A\)的 迹 定义为\({\rm tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}\)。证明：对任意\(n\)阶方阵\(A\)、\(B\)，对任意常数\(k\)，有
\(\displaystyle {\rm tr} (A+B)={\rm tr} (A)+{\rm tr} (B)\)
\(\displaystyle {\rm tr} (kA)=k\cdot{\rm tr} (A)\)
\({\rm tr} (AB)={\rm tr} (BA)\)。
解答.
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
{\rm tr}(A+B)&=&(a_{11}+b_{11})+(a_{22}+b_{22})+\cdots +(a_{nn}+b_{nn})\\
&=&(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})+(b_{11}+b_{22}+\cdots +b_{nn})\\
&=&{\rm tr}(A)+{\rm tr}(B);
\end{array}
\end{equation*}
\({\rm tr}(kA)=ka_{11}+ka_{22}+\cdots+ka_{nn}=k(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})=k\cdot{\rm tr}(A)\)；
因为
\begin{equation*}
{\rm tr}(AB)=\sum\limits_{k=1}^na_{1k}b_{k1}+\sum\limits_{k=1}^na_{2k}b_{k2}+\cdots +\sum\limits_{k=1}^na_{nk}b_{kn}=\sum\limits_{l=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{lk}b_{kl},
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\rm tr}(BA)=\sum\limits_{l=1}^nb_{1l}a_{l1}+\sum\limits_{l=1}^nb_{2l}a_{l2}+\cdots+\sum\limits_{l=1}^nb_{nl}a_{ln}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^nb_{kl}a_{lk},
\end{equation*}
又\(\sum\limits_{l=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{lk}b_{kl}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^nb_{kl}a_{lk}\)，故\({\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)\)。
5.
设\(A=\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}\) ，求所有与\(A\)可交换的矩阵。
解答.
设\(B=(b_{ij})_{3\times 3}\)与\(A\)可交换，则
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}&b_{13}\\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}&b_{13}\\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&b_{11} & b_{12}\\0& b_{21} & b_{22}\\0&b_{31}&b_{32}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
比较等式两边，有\(b_{21}=b_{31}=b_{32}=0,b_{11}=b_{22}=b_{33},b_{12}=b_{23}\)，所以与\(A\)可交换的矩阵形如\(B= \begin{pmatrix}
a & b&c\\ 0 & a&b\\0&0&a
\end{pmatrix}\)，其中\(a,b,c\in\mathbb{F}\)。
6.
证明：
如果\(A={\rm diag} (a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)，其中\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)两两互异，那么与矩阵\(A\)可交换的矩阵为对角矩阵；
用 \(E_{ij}\)表示 \((i,j)\)位置为1，其余元素为0的\(n\)阶方阵。如果\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，那么当\(k\neq i \)时\(a_{ki}=0\)，当 \(l\neq j \)时\(a_{jl}=0\)，且\(a_{ii}=a_{jj}\)；
如果\(A\)与所有的\(n\)阶方阵可交换，那么\(A\)一定是数量矩阵。
解答.
设\(B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)与\(A\)可交换，即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_1&&\\
&\ddots&\\
&&a_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1n}\\
\vdots& &\vdots\\
b_{n1}&\cdots&b_{nn}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11}&\cdots&b_{1n}\\
\vdots& &\vdots\\
b_{n1}&\cdots&b_{nn}\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1&&\\
&\ddots&\\
&&a_n
\end{pmatrix},
\end{equation*}
得
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_1b_{11}&a_1b_{12}&\cdots&a_1b_{1n}\\
a_2b_{21}&a_2b_{22}&\cdots&a_2b_{2n}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_nb_{n1}&a_nb_{n2}&\cdots&a_nb_{nn}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1b_{11}&a_2b_{12}&\cdots&a_nb_{1n}\\
a_1b_{21}&a_2b_{22}&\cdots&a_nb_{2n}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_1b_{n1}&a_2b_{n2}&\cdots&a_nb_{nn}\\
\end{pmatrix},
\end{equation*}
比较第\(i\)行第\(j\)列元素得\(a_ib_{ij}=a_jb_{ij}\)，即\((a_i-a_j)b_{ij}=0\)。由\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)互异可知\(b_{ij}=0,\ \forall i\neq j\)。故与矩阵\(A\)可交换的矩阵\(B\)为对角矩阵。
因为\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，所以
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
&&&\mbox{第j列}&&&\\
0&\cdots&0&a_{1i}&0&\cdots&0\\
0&\cdots&0&a_{2i}&0&\cdots&0\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&\cdots&0&a_{ni}&0&\cdots&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0\\
a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{pmatrix}\mbox{第i行},
\end{equation*}
比较第\(j\)列元素得，当\(k\neq i \)时\(a_{ki}=0\)；比较第\(i\)行元素得，\(l\neq j \)时\(a_{jl}=0\)；比较第\(i\)行第\(j\)列元素得\(a_{ii}=a_{jj}\)。
由\((1)\)知\(A\)为对角矩阵\(A={\rm diag} (a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn})\)。根据已知条件，对任意\(1\leq i\neq j\leq n\)，有\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，由\((2)\)知\(a_{ii}=a_{jj}\)。因此\(A\)是数量矩阵。
7.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(k\in\mathbb{F}\)。证明：若\(B\)，\(C\)都与\(A\)可交换，那么\(B+C\)，\(kB\)，\(BC\)也都与\(A\)可交换。
解答.
由于\(B\)，\(C\)都与\(A\)可交换，即\(AB=BA\)且\(AC=CA\)，所以
\begin{equation*}
A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A.
\end{equation*}
因此\(B+C\)，\(kB\)，\(BC\)也都与\(A\)可交换。
8.
计算：
\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^n\)；
\(\begin{pmatrix}
1&-1&2\\2&-2&4\\-1&1&-2
\end{pmatrix}^n\)；
\(\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}^2\)，\(\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}^n\)。
解答.
-
当\(n=2\)时，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
\cos^2\theta-\sin^2\theta&2\sin\theta\cos\theta\\
-2\sin\theta\cos\theta&-\sin^2\theta+\cos^2\theta
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos 2\theta&\sin 2\theta\\-\sin 2\theta&\cos 2\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
假设\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^{n-1}=\begin{pmatrix}
\cos (n-1)\theta&\sin (n-1)\theta\\-\sin (n-1)\theta&\cos (n-1)\theta
\end{pmatrix}\)，则
\begin{align*}
& & \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^n\\
& = & \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^{n-1}\cdot \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}\\
& = & \begin{pmatrix}
\cos (n-1)\theta&\sin (n-1)\theta\\-\sin(n-1)\theta&\cos(n-1)\theta
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}\\
& = & \left(\begin{smallmatrix}
\cos (n-1)\theta\cos \theta-\sin (n-1)\theta\sin\theta&\cos (n-1)\theta\sin n\theta+\sin (n-1)\theta\cos\theta\\-\sin (n-1)\theta\cos\theta-\cos (n-1)\theta\sin\theta&-\sin (n-1)\theta\sin\theta+\cos (n-1)\theta\cos\theta
\end{smallmatrix}\right)\\
& = & \begin{pmatrix}
\cos n\theta&\sin n\theta\\-\sin n\theta&\cos n\theta
\end{pmatrix}.
\end{align*}
综上，\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}
\cos n\theta&\sin n\theta\\-\sin n\theta&\cos n\theta
\end{pmatrix}\)。
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&-1&2\\2&-2&4\\-1&1&-2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{align*}
\text{原式}&=&\overbrace{\left[\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\right]\left[\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\right]\cdots \left[\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\right]}^{n\text{个}}\\
&=&\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\overbrace{\left[\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\right]\cdots\left[\begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}\right]}^{n-1\text{个}} \begin{pmatrix}
1&-1&2
\end{pmatrix}\\
&=&(-3)^{n-1}\begin{pmatrix}
1&-1&2\\2&-2&4\\-1&1&-2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
-
记\(A=\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}\)，则
\begin{equation*}
A^2=\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
当\(n\)为偶数时，
\begin{equation*}
A^n=A^{2\cdot\frac{n}{2}}=(A^2)^{\frac{n}{2}}=(4E_4)^{\frac{n}{2}}=4^{\frac{n}{2}}E_4=2^nE_4;
\end{equation*}
当\(n\)为奇数时，\(n-1\)为偶数，由上面结论知\(A^{n-1}=2^{n-1}E_4\)。因此
\begin{equation*}
A^n=A^{n-1}A=2^{n-1}E_4\cdot A=\begin{pmatrix}
2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&-2^{n-1}&2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}&2^{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
9.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&0&1\\0&2&0\\1&0&1
\end{pmatrix}\)，\(n\geq 2\)，计算\(A^n-2A^{n-1}\)。
解答.
因为
\begin{equation*}
A^2=\begin{pmatrix}
1&0&1\\0&2&0\\1&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&1\\0&2&0\\1&0&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&0&2\\0&4&0\\2&0&2
\end{pmatrix}=2A,
\end{equation*}
所以当\(n\geq 2\)时，
\begin{equation*}
A^n=A^2\cdot A^{n-2}=2A\cdot A^{n-2}=2A^{n-1},
\end{equation*}
即\(A^n-2A^{n-1}=0\)。
10.
设\(A\)是\(n\)阶方阵且\(A^k=0\)，求\((E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1})\)。
解答.
因\(A^k=0\)，所以
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
&(E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1})\\=&(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1})-(A+A^2+\cdots +A^{k-1}+A^k)\\=&E_n-A^k=E_n.
\end{array}
\end{equation*}
11.
设\(A\)，\(B\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵，满足\(A=\frac{1}{2}(B+E_n)\)。证明：\(A^2=A\)的充分必要条件是\(B^2=E_n\)。
解答.
“充分性”：因为\(B^2=E_n\)，所以
\begin{equation*}
A^2=[\frac{1}{2}(B+E_n)]^2=\frac{1}{4}(B^2+2B+E_n)=\frac{1}{2}(B+E_n)=A.
\end{equation*}
“必要性”：因为\(A^2=A\)，所以\([\frac{1}{2}(B+E_n)]^2=\frac{1}{2}(B+E_n)\)，即
\begin{equation*}
\frac{1}{4}(B^2+2B+E_n)=\frac{1}{2}(B+E_n),
\end{equation*}
则\(B^2+2B+E_n=2B+2E_n\)，整理得\(B^2=E_n\)。
12.
设\(A\)，\(B\)都是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵。如果\(A^2=B^2\)，是否可推出\(A=B\)或\(A=-B\)？若正确请证明，若不正确请举出一个反例。
解答.
不正确。比如，\(A=E_n\)，\(B={\rm diag} (-1,1,\cdots ,1)\)，则\(A^2=B^2\)，但\(A\neq B\)且\(A\neq -B\)。
13.
设\(A,B\)是\(n\)阶对称矩阵，证明：\(AB\)是对称矩阵的充分必要条件是\(AB=BA\)。
解答.
\(\Rightarrow\)因为\(AB\)是对称矩阵，所以\(AB=(AB)^T=B^TA^T=BA\)。
\(\Leftarrow\)若\(AB=BA\)，则\((AB)^T=B^TA^T=BA=AB\)，所以\(AB\)是对称矩阵。
14.
证明：如果\(A\)，\(B\)都是\(n\)阶反对称矩阵，那么\(AB-BA\)也是反对称矩阵。
解答.
因为\(A^T=-A\)，\(B^T=-B\)，所以
\begin{equation*}
(AB-BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=(-B)(-A)-(-A)(-B)=-(AB-BA),
\end{equation*}
即\(AB-BA\)是反对称矩阵。
15.
设\(A\)是\(m\times n\)实矩阵，证明：\(A=0\)的充分必要条件是\(A^TA=0\)。
解答.
“必要性”显然成立。
“充分性”：设\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，则
\begin{equation*}
A^TA=\begin{pmatrix}
\sum\limits_{i=1}^ma_{i1}^2&*&\cdots&*\\
*&\sum\limits_{i=1}^ma_{i2}^2&\cdots&*\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
*&*&\cdots&\sum\limits_{i=1}^ma_{in}^2
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由于\(A^TA=0\)，所以其对角元\(\sum\limits_{i=1}^ma_{i1}^2=\sum\limits_{i=1}^ma_{i2}^2=\cdots=\sum\limits_{i=1}^ma_{in}^2=0\)。注意到\(a_{ij}\in\mathbb{R}\)，因此\(a_{ij}=0,\forall 1\leq i\leq m,\ 1\leq j\leq n\)，即\(A=0\)。
16.
设\(A\)是\(m\times n\)复矩阵，证明：\(A=0\)的充分必要条件是\(\overline{A}^TA=0\)。
解答.
“必要性”显然成立。
“充分性”：设\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，则
\begin{equation*}
\overline{A}^TA=\begin{pmatrix}
\sum\limits_{i=1}^m\overline{a_{i1}}a_{i1}&*&\cdots&*\\
*&\sum\limits_{i=1}^m\overline{a_{i2}}a_{i2}&\cdots&*\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
*&*&\cdots&\sum\limits_{i=1}^m\overline{a_{in}}a_{in}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由于\(\overline{A}^TA=0\)，所以其对角元\(\sum\limits_{i=1}^m|a_{i1}|^2=\sum\limits_{i=1}^m|a_{i2}|^2=\cdots=\sum\limits_{i=1}^m|a_{in}|^2=0\)。注意到\(|a_{ij}|\in\mathbb{R}\)，因此\(|a_{ij}|=0,\forall 1\leq i\leq m,\ 1\leq j\leq n\)，即\(A=0\)。
17.
设\(A\)是\(n\)阶复矩阵，若\(\overline{A^T}=A\)，则称\(A\)是一个Hermite矩阵。若 \(\overline{A^T}=-A\)，则称\(A\)是一个斜Hermite矩阵。证明：任一复\(n\)阶矩阵均可表示成一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵之和。
解答.
对任一复\(n\)阶矩阵\(A\)，设\(A = B+C\)，其中\(B\)是Hermite矩阵，\(C\)是斜Hermite矩阵。等式两端同时取共轭转置得\(\overline{A^T} = B-C\)，连立两个等式解得：
\begin{equation*}
B = \frac{A+\overline{A^T} }{2},\quad C =\frac{A-\overline{A^T} }{2},
\end{equation*}
容易验证\(B\)是Hermite矩阵，\(C\)是斜Hermite矩阵，结论成立。
