主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 1.5 行列式的展开式和Laplace定理
子节 1.5.1 主要知识点
定义 1.5.1.
设正整数\(i_1, i_2,\ldots, i_m\)两两不同， 在排列\((i_1, i_2,\ldots, i_m)\)中，如果一对数中较大的数排在较小的数之前，则称这对数是一个逆序。 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的 逆序数 ，记为\(\sigma(i_1, i_2,\ldots, i_m)\)。 若排列\((i_1, i_2,\ldots, i_m)\)的逆序数为偶数(含零)， 则称之为偶排列；
若排列\((i_1, i_2,\ldots, i_m)\)的逆序数为奇数， 则称之为 奇排列。
引理 1.5.2.
设\((i_1,i_2,\ldots,i_n)\)是\(1,2,\ldots,n\)的一个重新排列，则
\begin{equation*}
\sigma(i_1,i_2,\ldots,i_n) = \sigma(i_1,i_2,\ldots,i_{n-1}) + n-i_n.
\end{equation*}
定理 1.5.3.
\begin{align*}
\det A & = & \sum_{(i_1,i_2,\ldots,i_n)}(-1)^{\sigma(i_1,i_2,\ldots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} \\
& = & \sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)}(-1)^{\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)}a_{j_11}a_{j_22}\cdots a_{j_nn}
\end{align*}
行列式展开式说明
例 1.5.4.
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数， 其中
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
5x & x & 1 & x\\
x & 1 & 1 & -1\\
3 & 2 & x & 1\\
3 & 1 & 1 & x
\end{vmatrix}
\end{equation*}
定理 1.5.5.
\begin{align*}
\det A & = & a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\quad (\forall i) \\
& = & a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\quad (\forall j) \\
& = & \sum_{(i_1,i_2,\ldots,i_n)}(-1)^{\sigma(i_1,i_2,\ldots,i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn} \\
& = &\sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)}(-1)^{\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
\end{align*}
定义 1.5.6.
在一个\(n\)阶行列式\(\det A\)中任意选定第\(i_1\)行、第\(i_2\)行、\(\cdots\)、第\(i_k\)行及第\(j_1\)列、第\(j_2\)列、\(\cdots\)、第\(j_k\)列交点上的元，其中\(1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n\)、\(1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n\)，按原来\(A\)中相对位置构成一个\(k\)阶行列式，称此行列式为\(A\)的一个\(k\)阶子式，记为
\begin{equation*}
{\color{red}A \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_k\\
j_1 & j_2 & \cdots & j_k
\end{bmatrix}= \begin{vmatrix}
a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \cdots & a_{i_1j_k}\\
a_{i_2j_1} & a_{i_2j_2} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{i_{k-1}j_k}\\
a_{i_kj_1} & a_{i_kj_2} & \cdots & a_{i_kj_k}
\end{vmatrix}}
\end{equation*}
定义 1.5.7.
在 \(\det A\) 中划去这 \(k\) 行 \(k\) 列后余下的元素按照原来的次序组成的\(n-k\)阶行列式\(M \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}\)称为 \(k\) 阶子式\(A \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}\)的余子式。相应的 \(k\)阶代数余子式定义为
\begin{equation*}
\hat{A}\begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}=(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}M \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}
\end{equation*}
定理 1.5.8.
设\(\det A\)是\(n\)阶行列式，在\(\det A\)中任取\(k\)行(列)， 那么含于这\(k\)行(列) 的全部\(k\)阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于\(\det A\)。 即若取定\(k\)行: \(1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n\)，则
\begin{equation*}
\det A = \sum_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n} A \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}\hat{A} \begin{bmatrix}
i_1 & i_2 & \ldots & i_k\\
j_1 & j_2 & \ldots & j_k
\end{bmatrix}
\end{equation*}
例 1.5.9.
固定1、3两行， 按照Laplace定理写出计算4阶行列式的公式。
\begin{equation*}
\det A =\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 & 4\\
0 & -1 & 2 & 1\\
1 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 3 & 1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
例 1.5.10.
求
\begin{equation*}
\det A = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
例 1.5.11.
求\(2n\)阶行列式的值
\begin{equation*}
D_{n}=\begin{vmatrix}
a & & & & & b \\
& \ddots & & & \iddots & \\
& & a & b & & \\
& & b & a & & \\
& \iddots & & & \ddots & \\
b & & & & & a
\end{vmatrix}
\end{equation*}
解答.
\begin{equation*}
D_n = (-1)^{1+2n+1+2n}\begin{vmatrix}
a & b\\
b & a
\end{vmatrix} D_{n-1}=(a^2-b^2)^n.
\end{equation*}
例 1.5.12.
求下列行列式的值
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
A_{n\times n} & 0\\
C_{m\times n} & B_{m\times m}
\end{vmatrix},\qquad \begin{vmatrix}
0 & A_{n\times n} \\
B_{m\times m} & C_{m\times n}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
定理 1.5.13.
设\(A, B\)是\(n\)阶矩阵， 则
\begin{equation*}
\det(AB)= \det A\det B.
\end{equation*}
证明.
\begin{equation*}
\det A\det B=\begin{vmatrix}
A & 0\\
-E_n & B
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & & & &\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & & & &\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & &\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & & & &\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\xrightarrow[\blue{j=1,2,\ldots,n}]{r_{n+\blue{j}}\times a_{{\color{red}1}\blue{j}}+r_{{\color{red}1}}\to r_{{\color{red}1}}}
\begin{vmatrix}
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & \displaystyle\sum_{j=1}^n{\color{red} a_{1\blue{j}} b_{\blue{j}1}} & {\displaystyle\sum_{j=1}^n{\color{red} a_{\blue{j}} b_{\blue{j}2}} } &{{\color{red}\cdots}} &{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\color{red} a_{1\blue{j}} b_{\blue{j}n}} }\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & & & &\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & &\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & & & &\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\xrightarrow{\phantom{ r_{n+\blue{j}}\times a_{1\blue{j}}+r_{{\color{red}1}}\to r_{{\color{red}1}}}}
\begin{vmatrix}
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{11} & c_{12} &\cdots & c_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & & & &\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & &\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & & & &\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\xrightarrow{\phantom{ r_{n+\blue{j}}\times a_{1\blue{j}}+r_{{\color{red}1}}\to r_{{\color{red}1}}}}
\begin{vmatrix}
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{11} & c_{12} &\cdots & c_{1n}\\
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{21} & c_{22} &\cdots & c_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & &\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & & & &\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\xrightarrow{\phantom{ r_{n+\blue{j}}\times a_{1\blue{j}}+r_{{\color{red}1}}\to r_{{\color{red}1}}}}
\begin{vmatrix}
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{11} & c_{12} &\cdots & c_{1n}\\
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{21} & c_{22} &\cdots & c_{2n}\\
{\color{red}\vdots} & {\color{red}\vdots} & {\color{red}\ddots} & {\color{red}\vdots} &{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & & & &\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\xrightarrow{\phantom{ r_{n+\blue{j}}\times a_{1\blue{j}}+r_{{\color{red}1}}\to r_{{\color{red}1}}}}
\begin{vmatrix}
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{11} & c_{12} &\cdots & c_{1n}\\
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{21} & c_{22} &\cdots & c_{2n}\\
{\color{red}\vdots} & {\color{red}\vdots} & {\color{red}\ddots} & {\color{red}\vdots} &{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots}\\
{\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & c_{n1} & c_{n2} &\cdots & c_{nn}\\
-1 & & & & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
& -1 & & & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
& & & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
= (-1)^{n(2n+1)+n}\det C =\det AB
\end{equation*}
练习 1.5.2 练习
1.
求排列\((n-1),(n-2),\cdots, 2,1,n\)的逆序数，并指出其奇偶性。
解答.
\(\sigma=n-2+n-3+\cdots+1+0=\frac{(n-2)(n-1)}{2} \)。 当\(n=4k+1\)或\(n=4k+2\)时为偶排列；\(n=4k\)或\(n=4k+3\)时为奇排列，其中\(k\)为整数。
2.
写出4阶行列式中取正号且含\(a_{32}a_{41}\)的项。
解答.
\(\sigma(3,4,2,1)=5\)，\(\sigma(4,3,2,1)=6\)，所求项为\(a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}\)。
3.
\(n\)阶行列式的反对角线上\(n\)个元素的乘积一定带负号吗？
解答.
\(n\)阶行列式的反对角线上\(n\)个元素的乘积的符号为
\begin{equation*}
(-1)^{\sigma(n,n-1,\cdots,1)}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}},
\end{equation*}
由于\(\frac{n(n-1)}{2}\)可能是奇数也可能是偶数，所以反对角线上\(n\)个元素的乘积不一定带负号。
4.
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由， 其中
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
-x & x & 1 & 2\\
3 & x & -1 & 1\\
2 & 3 & x & 1\\
1 & 1 & 1 & x
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
解答.
行列式每一个元素的次数均\(\le 1\)，\(x^4\)项只能是4 个对角元对应的乘积项，所以\(x^4\)的系数是\(-1\)。
\begin{equation*}
f(x)=-x \begin{vmatrix}
x & -1 & 1\\
3 & x & 1\\
1 & 1 & x
\end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix}
x & 1 & 2\\
3 & x & 1\\
1 & 1 & x
\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}
x & 1 & 2\\
x& -1 & 1\\
1 & 1 & x
\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}
x & 1 & 2\\
x& -1 & 1\\
3 & x & 1
\end{vmatrix}
\end{equation*}
第一个行列式中\(x^2\)项系数为\(0\)，第2、3、4个行列式中\(x^3\)项系数分别为1、\(0\)、\(0\)，所以\(x^3\)项的系数为\(-3\)。
5.
利用
定理 1.4.15 证明：将排列
\((k_1,k_2,\cdots,k_n)\)中的
\(k_i\)与
\(k_j\)位置对换，其余数不动，则排列的奇偶性改变。即奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。
解答.
令\(A=(a_{st})_{n\times n}\)，其中\(a_{st}=\left\{\begin{array}{cl}
1,&t=k_s,\\
0,&t\neq k_s,
\end{array}\right.\)将\(A\)的第\(i\)行与第\(j\)行互换得矩阵\(B\)，则\(\det B=-\det A\)。由行列式展开式可知
\begin{equation*}
\det A=(-1)^{\sigma (k_1,\cdots ,k_i,\cdots ,k_j,\cdots ,k_n)},\det B=(-1)^{\sigma (k_1,\cdots ,k_j,\cdots ,k_i\cdots ,k_n)},
\end{equation*}
故\((k_1,\cdots ,k_i,\cdots ,k_j,\cdots ,k_n)\)与\((k_1,\cdots ,k_j,\cdots ,k_i\cdots ,k_n)\)的奇偶性不同。
6.
设\(n\geq 2\)，证明：如果\(n\)阶矩阵\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，那么\(\det A\)必为偶数。
解答.
因\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，所以\(\det A\)展开式的每一项或为\(1\)或为\(-1\)。假设展开式中有\(k\)项\(1\)，则\(-1\)有\(n!-k\)项。注意到\(n\geq 2\)，因此
\begin{equation*}
\det A=1\cdot k+(-1)\cdot (n!-k)=2k-n!
\end{equation*}
是偶数。
7.
计算行列式\(\left|\begin{array}{ccccc}
2&3&0&0&0\\
-1&4&0&0&0\\
37&25&1&2&0\\
11&49&0&3&4\\
19&52&1&0&2
\end{array}\right|\)。
解答.
\begin{equation*}
\left|\begin{array}{cc:ccc}
2&3&0&0&0\\
-1&4&0&0&0\\\hdashline
37&25&1&2&0\\
11&49&0&3&4\\
19&52&1&0&2
\end{array}\right|=\begin{vmatrix}
2 & 3 \\-1 & 4
\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & 0\\ 0& 3 & 4\\1 & 0 & 2
\end{vmatrix}=11\times 14=154.
\end{equation*}
8.
计算行列式\(D_n=\begin{vmatrix}
a_1+b_1c_1&a_2+b_1c_2&\cdots&a_n+b_1c_n\\
a_1+b_2c_1&a_2+b_2c_2&\cdots&a_n+b_2c_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_1+b_nc_1&a_2+b_nc_2&\cdots&a_n+b_nc_n\\
\end{vmatrix}\)，其中\(n\geq 3\)。
解答.
因为\(n\geq 3\)，所以
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
D_n&=&\left|\begin{pmatrix}
1&b_1&0&\cdots&0\\
1&b_2&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&b_n&0&\cdots&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
c_1&c_2&\cdots&c_n\\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{pmatrix}\right|\\
&=&\begin{vmatrix}
1&b_1&0&\cdots&0\\
1&b_2&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&b_n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
c_1&c_2&\cdots&c_n\\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{vmatrix}\\&=&0.\end{array}
\end{equation*}
