节 6.2 可对角化
建设中！
子节 6.2.1 主要知识点
备注 6.2.2.
并非所有的矩阵都可对角化。
定理 6.2.3.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，则\(A\)可对角化的充要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关特征向量。
备注 6.2.4.
- 若\(A\)是\(\mathbb{F}\)上可对角化矩阵， 即存在\(\mathbb{F}\)上可逆阵\(P\)，使得\begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}, \end{equation*}则对角元\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(A\)的特征值，\(P\)的第\(i\)个列向量为矩阵\(A\)的属于特征值\(\lambda_i\)的特征向量。
- 矩阵\(A\)可对角化问题与数域有关。
引理 6.2.5.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_0\)是\(A\)的特征值。设\(\lambda_0\)是\(A\)的特征多项式的\(n_0\)重根，\(\lambda_0\)的特征子空间\(V_{\lambda_0}\)的维数为\(s_0\)，则\(s_0\leq n_0\)。
定义 6.2.6.
设\(\lambda_0\)是\(n\)阶方阵\(A\)的特征值，我们称\(\lambda_0\)作为\(f_A(\lambda)\)的根的重数\(n_0\)为\(\lambda_0\)的 代数重数 ；称\(\lambda_0\)的特征子空间\(V_{\lambda_0}\)的维数\(s_0\)为\(\lambda_0\)的 几何重数 。定理 6.2.7.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵, 则下列命题等价
- \(A\)在\(\mathbb{F}\)上可对角化；
- \(A\)在\(\mathbb{F}\)上有\(n\)个线性无关的特征向量；
- \(A\)的特征多项式的根全在\(\mathbb{F}\)上，且每个特征值的代数重数等于几何重数。
推论 6.2.8.
设矩阵\(A\)在\(\mathbb{F}\)上有\(n\)个不同特征值， 则\(A\)必可对角化。
判断\(A\)是否可对角化和求可逆阵\(P\)的方法
- 计算\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)\)；
- 求\(f_A(\lambda)\)的所有根。若不是所有根都在\(\mathbb{F}\)上，则\(A\)在\(\mathbb{F}\)上不可对角化；
- 设所有特征值都在\(\mathbb{F}\)上，若某特征值的代数重数不等于几何重数， 则\(A\)在\(\mathbb{F}\) 上不可对角化；
-
若所有特征值都在\(\mathbb{F}\)上， 且对每个特征值\(\lambda_i\)，有\(s_i=n_i\)，则\(A\)可对角化。将 \((\lambda_iE-A)X=0\)的基础解系\(X_{i1},X_{i2},\cdots ,X_{is_i}(i=1,2,\cdots ,t)\)凑成\(\mathbb{F}^n\)的一个基\(X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t}\)。 记\(P=(X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t})\)， 则\(P^{-1}AP\)为对角矩阵， 对角元分别是\(A\)的相应特征值。
定义 6.2.9.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维空间\(V\)的线性变换，若存在\(V\) 的一个基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是对角矩阵，则称\(\varphi\)是可对角化的。
此时，对角元素恰为\(\varphi\)的特征值，而相应的基向量恰为该特征值的特征向量。
定义 6.2.10.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维空间\(V\)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值。\(\lambda_0\)作为特征多项式\(f_{\varphi}(\lambda)\)的根的重数\(n_0\)称为\(\lambda_0\)的代数重数，\(\lambda_0\)的特征子空间的维数称为\(\lambda_0\)的几何重数。定理 6.2.11.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换， 则下列命题等价
- \(\varphi\)在\(\mathbb{F}\)上可对角化；
- \(\varphi\)在\(\mathbb{F}\)上有\(n\)个线性无关的特征向量；
- \(\varphi\)的特征多项式所有根都在\(\mathbb{F}\)上，并且所有特征值的代数重数等于几何重数。
推论 6.2.12.
若数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换\(\varphi\)有\(n\)个不同的特征值，则\(\varphi\)可对角化。
练习 6.2.2 练习
1.
判断矩阵\(A\)是否可对角化。若可对角化，求可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)是对角矩阵，并求\(A^n\)。
(1) \(A=\begin{pmatrix}
2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5
\end{pmatrix}\)； (2) \(A=\begin{pmatrix}
0&1&1\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}\text{.}\)
2.
已知\(A\)与\(B\)相似，其中
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&5
\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}
2&0&0\\0&2&0\\0&0&a
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
- 求\(a\)的值；
- 求满足\(P^{-1}AP=B\)的可逆矩阵\(P\)。
3.
设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\in\mathbb{F}^n\)，且\(X_n\neq 0\)。若
\begin{equation*}
AX_1=X_2,\ AX_2=X_3,\ \cdots ,\ AX_{n-1}=X_n,\ AX_n=0.
\end{equation*}
- 证明：\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\)线性无关；
- 求\(A\)的特征值和特征向量；
- 问\(A\)是否可对角化。
4.
设\(\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T, \beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\in\mathbb{R}^n\)，且\(\alpha\neq 0, \beta\neq 0, n>1\)。令\(A=\beta \alpha^T\)。试问：\(A\)是否可对角化？如果\(A\)可对角化，求出一个可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角阵，并且写出这个对角矩阵。
5.
设\(A=(a_{ij})\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶上三角矩阵，证明：
- 若\(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\)互不相等，则\(A\)可对角化；
- 若\(a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}\)，且至少存在一个\(a_{kl}\neq 0 (k<l)\)，则\(A\)不可对角化。
6.
若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，证明： (1)\(A\)可对角化；(2)\(r(A)= tr (A)\)。
7.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上秩为\(r\)的\(n\)阶方阵，
- 证明：\(A^2=A\)的充分必要条件是存在\(r\times n\)行满秩矩阵\(B\)及\(n\times r\)列满秩矩阵 \(C\)，使得\(A=CB\)且\(E_r=BC\)；
- 当\(A^2=A\)时，证明：\(\det (2E-A)=2^{n-r},\ \det (A+E)=2^r\)。
8.
若实矩阵\(A\)满足\(A^2-A+2E=0\)，证明：\(A\)在实数域上不可对角化。
9.
设数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵\(A,\ B\)满足\(AB=BA\)，且\(A\)有\(n\)个不同的特征值，证明：\(B\)可对角化。
10.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，证明下列命题是等价的：
- \(\varphi\)可对角化；
- \(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_t}\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值；
- \(\sum\limits_{i=1}^t\dim V_{\lambda_i}=n\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值。
11.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，且满足\(\varphi^2+\varphi=2 id_V\)。
证明： (1)\(\varphi\)的特征值是\(1\)和\(-2\)；(2)\(V=V_{1}\oplus V_{-2}\)。
