主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 7.5 Jordan标准形

建设中！

子节 7.5.1 主要知识点

定义 7.5.2.

称\(J((\lambda-\lambda_0)^e)\)为属于\(\lambda_0\)的\(e\)阶Jordan块，简记为\(J(\lambda_0,e)\)。
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，且\(A\)的初等因子组为\((\lambda-\lambda_1)^{e_1},(\lambda-\lambda_2)^{e_2},\cdots ,\) \((\lambda-\lambda_k)^{e_k},\) 则\(A\)相似于分块对角矩阵
\begin{equation*} J=\begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)&&&\\ &J(\lambda_2,e_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\lambda_k,e_k) \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
于是，\(r(A)=r\left(J(\lambda_1,e_1)\right)+r\left(J(\lambda_2,e_2)\right)+\cdots +r\left(J(\lambda_k,e_k)\right)\)。而
\begin{equation*} r\left(J(\lambda,e)\right)=\left\{\begin{array}{cl} e,&\mbox{当}\lambda\neq 0\mbox{时，}\\ e-1,&\mbox{当}\lambda= 0\mbox{时。}\\ \end{array}\right. \end{equation*}

练习 7.5.2 练习

1.

设\(A\)的初等因子组为\(\lambda^2,\lambda+1,(\lambda+1)^3\)，求\(A\)的Jordan标准形。
解答.
\(A\)的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&&&&\\ 1&0&&&&\\ &&-1&&&\\ &&&-1&&\\ &&&1&-1&\\ &&&&1&-1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

2.

设\(A=\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)，求\(A\)的Jordan标准形\(J\)，并求可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=J\)。
解答.
\(A\)的初等因子组为\(\lambda-2,(\lambda-2)^2\)，所以\(A\)的Jordan标准形
\begin{equation*} J=\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&1&2 \end{pmatrix}. \end{equation*}
设\(P=\begin{pmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \end{pmatrix}\)，则\((2E-A)\alpha_1=0,(2E-A)\alpha_2=-\alpha_3,(2E-A)\alpha_3=0\)。
解齐次线性方程组\((2E-A)X=0\)得基础解系\(X_1=(-2,1,0)^T,X_2=(5,0,1)^T\)。
取\(\alpha_1=(-2,1,0)^T\)。为了使\((2E-A)\alpha_2=-\alpha_3\)有解，适当挑选\(\alpha_3\)，设
\begin{equation*} \alpha_3=k_1X_1+k_2X_2=(-2k_1+5k_2,k_1,k_2)^T \end{equation*}
使\(2E-A=\begin{pmatrix} -1&-2&5\\-2&-4&10\\-1&-2&5 \end{pmatrix}\)与\(\begin{pmatrix} -1&-2&5&2k_1-5k_2\\-2&-4&10&-k_1\\-1&-2&5&-k_2 \end{pmatrix}\)秩相等。
取\(k_1=2,k_2=1\)即可，即
\begin{equation*} \alpha_3=(1,2,1)^T. \end{equation*}
解线性方程组\((2E-A)X=-\alpha_3\)，得
\begin{equation*} \alpha_2=(1,0,0)^T. \end{equation*}
于是，所求可逆矩阵
\begin{equation*} P=\begin{pmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1&1\\ 1&0&2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

3.

设\(\mathbb{C}\)上三阶方阵\(A=\begin{pmatrix} 2&0&0\\a&2&0\\b&c&1 \end{pmatrix}\)。
  1. 求出\(A\)所有可能的Jordan标准形；
  2. 给出\(A\)可对角化的充分必要条件。
解答.
  1. \(f_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)\)，所以\(m_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)\)或\((\lambda-2)^2(\lambda-1)\)。
    • 当\(m_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)\)时，\(A\)的不变因子为\(1,\lambda-2,(\lambda-2)(\lambda-1)\)，则\(A\)的初等因子组为\(\lambda-2,\lambda-2,\lambda-1\)。此时，\(A\)的Jordan标准形为
      \begin{equation*} \begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    • 当\(m_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)\)时，\(A\)的不变因子为\(1,1,(\lambda-2)^2(\lambda-1)\)，则\(A\)的初等因子组为\((\lambda-2)^2,\lambda-1\)。此时，\(A\)的Jordan标准形为
      \begin{equation*} \begin{pmatrix} 2&0&0\\1&2&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
  2. 由(a)知，\(A\)可对角化的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)\)，即
    \begin{equation*} (A-2E)(A-E)=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0&0&0\\a&0&0\\ac&0&0 \end{pmatrix}=0\Leftrightarrow a=0, \end{equation*}
    因此，\(A\)可对角化的充分必要条件是\(a=0\)。

4.

设\(A\)是\(3\)阶幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{Z}^+\)使得\(A^k=0\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
解答.
由已知条件，\(\lambda^k\)是\(A\)的一个零化多项式，所以\(m_A(\lambda)=\lambda^i\)。
  1. 若\(m_A(\lambda)=\lambda\)，则\(A=0\)，其Jordan标准形为\(0\)；
  2. 若\(m_A(\lambda)=\lambda^2\)，则\(g_3(\lambda)=m_A(\lambda)=\lambda^2\)。注意到\(g_i(\lambda)|g_{i+1}(\lambda)\)且\(\deg g_1(\lambda)g_2(\lambda)g_3(\lambda)=3\)，所以\(A\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\lambda,g_3(\lambda)=\lambda^2, \end{equation*}
    \(A\)的初等因子组为\(\lambda,\lambda^2\)。此时，\(A\)的Jordan标准形为\(\begin{pmatrix} 0&&\\&0&0\\ &1&0 \end{pmatrix}\)；
  3. 若\(m_A(\lambda)=\lambda^3\)，则\(A\)的不变因子为\(1,1,\lambda^3\)，初等因子组为\(\lambda^3\)。此时\(A\)的Jordan标准形为\(\begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}\)。
综上，\(A\)的所有可能的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

5.

设\(A\)是\(3\)阶幂等矩阵，即\(A^2=A\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
解答.
（方法一）由已知条件，\(\lambda^2- \lambda\)是\(A\)的一个零化多项式，所以
\begin{equation*} m_A(\lambda)=\lambda\mbox{或}\lambda-1\mbox{或}\lambda(\lambda-1). \end{equation*}
  1. 当\(m_A(\lambda)=\lambda\)时，\(A=0\)，其Jordan标准形为\(0\)；
  2. 当\(m_A(\lambda)=\lambda-1\)时，\(A=E_3\)，其Jordan标准形为\(E_3\)；
  3. 当\(m_A(\lambda)=\lambda(\lambda-1)\)时，\(A\)的不变因子为
    \begin{equation*} 1,\lambda,\lambda(\lambda-1)\mbox{或}1,\lambda-1,\lambda(\lambda-1), \end{equation*}
    初等因子组为
    \begin{equation*} \lambda-1,\lambda,\lambda\mbox{或}\lambda-1,\lambda-1,\lambda. \end{equation*}
    此时，\(A\)的Jordan标准形为\(\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\)或\(\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\)。
综上，\(A\)的所有可能的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
（方法二）由已知条件，\(\lambda^2- \lambda\)是\(A\)的一个零化多项式，所以\(m_A(\lambda)\)无重根，\(A\)可对角化。因此，\(A\)的Jordan标准形为对角阵，对角元是\(A\)的全部特征值。由\(A^2=A\)不难验证\(A\)的特征值为\(0\)或\(1\)。故\(A\)的所有可能的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

6.

设\(A\)是\(n\)阶幂等矩阵，且秩等于\(r\)，试求\(A\)的Jordan标准形。
解答.
（方法一）由已知条件，\(\lambda^2- \lambda\)是\(A\)的一个零化多项式，所以
\begin{equation*} m_A(\lambda)=\lambda\mbox{或}\lambda-1\mbox{或}\lambda(\lambda-1). \end{equation*}
设\(A\)的初等因子组为\(\lambda-1,\cdots,\lambda-1,\lambda,\cdots, \lambda\)，其中 \(\lambda-1\) 有\(k\)个。于是，\(A\)的Jordan标准形
\begin{equation*} \begin{pmatrix} E_k&0\\0&0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
注意到\(r(A)=r\)，所以\(A\)的Jordan标准形为\(\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}\)。
（方法二）由已知条件，\(\lambda^2- \lambda\)是\(A\)的一个零化多项式，所以\(m_A(\lambda)\)无重根，\(A\)可对角化。因此，\(A\)的Jordan标准形为对角阵，对角元是\(A\)的全部特征值。由\(A^2=A\)不难验证\(A\)的特征值为\(0\)或\(1\)。故\(A\)的所有可能的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} E_k&0\\0&0 \end{pmatrix},\ \forall 0\leq k\leq n. \end{equation*}
于是，由\(r(A)=r\)可知\(A\)的Jordan标准形为\(\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}\)。

7.

设\(A\)是\(3\)阶方阵，满足\(A^2=E\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
解答.
由已知条件，\(\lambda^2- 1\)是\(A\)的一个零化多项式，所以\(m_A(\lambda)\)无重根，\(A\)可对角化。因此，\(A\)的Jordan标准形为对角阵，对角元是\(A\)的全部特征值。由\(A^2=E\)不难验证\(A\)的特征值为\(-1\)或\(1\)。故\(A\)的所有可能的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

8.

设\(A\)是\(3\)阶复方阵，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
解答.
按\(A\)的不同特征值个数进行分类讨论。
  1. 若\(A\)只有一个特征值，设\(f_A(\lambda)=(\lambda-a)^3\)，则\(A\)的初等因子组可能为
    \begin{equation*} \lambda-a,\lambda-a,\lambda-a\mbox{或}\lambda-a,(\lambda-a)^2\mbox{或}(\lambda-a)^3. \end{equation*}
    于是，\(A\)的Jordan标准形可能是\(\begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&0&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&1&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\1&a&0\\0&1&a \end{pmatrix}\)。
  2. 若\(A\)有2个特征值不同特征值，设\(f_A(\lambda)=(\lambda-a)^2(\lambda-b)\)，其中\(a,b\)互异，则\(A\)的初等因子组可能为
    \begin{equation*} \lambda-a,\lambda-a,\lambda-b\mbox{或}\lambda-b,(\lambda-a)^2. \end{equation*}
    于是，\(A\)的Jordan标准形可能是\(\begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&0&b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b&0&0\\0&a&0\\0&1&a \end{pmatrix}\)。
  3. 若\(A\)有3个特征值不同特征值，设\(f_A(\lambda)=(\lambda-a)(\lambda-b)(\lambda-c)\)，其中\(a,b,c\)互异，则\(A\)的初等因子组为
    \begin{equation*} \lambda-a,\lambda-b,\lambda-c. \end{equation*}
于是，\(A\)的Jordan标准形是\(\begin{pmatrix} a&0&0\\0&b&0\\0&0&c \end{pmatrix}\)。
综上，\(A\)的所有可能Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&0&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&1&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\1&a&0\\0&1&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&0&b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b&0&0\\0&a&0\\0&1&a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a&0&0\\0&b&0\\0&0&c \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(a,b,c\)互不相同。

9.

  1. 设\(a\)是数域\(\mathbb{F}\)中的非零数，求\(J(a,n)^2\)的Jordan标准形；
  2. 设\(A\)是\(n\)阶可逆复方阵，证明：存在\(n\)阶复矩阵\(B\)，使得\(A=B^2\)。
解答.
  1. 令\(J=J(0,n)\)，因
    \begin{equation*} J(a,n)^2=(aE_n+J)^2=a^2E_n+2aJ+J^2= \begin{pmatrix} a^2&&&&\\ 2a&a^2&&&\\ 1&\ddots&\ddots&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&1&2a&a^2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    所以\(J(a,n)^2\)的特征值全为\(a^2\)。注意到当\(a\neq 0\)时，
    \begin{equation*} r\left(a^2E_n-J(a,n)^2\right)=n-1, \end{equation*}
    故特征值为\(a^2\)的Jordan块个数为
    \begin{equation*} n-r\left(a^2E_n-J(a,n)^2\right)=1. \end{equation*}
    从而\(J(a,n)^2\)的Jordan标准形为\(J(a^2,n)\)。
  2. 因为\(A\)是\(n\)阶可逆复矩阵，所以存在\(n\) 阶可逆矩阵\(P\)，使得
    \begin{equation*} A=P^{-1}\begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)&&&\\ &J(\lambda_2,e_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\lambda_k,e_k) \end{pmatrix}P, \end{equation*}
    其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_k\in\mathbb{C}\)均非零。\(\forall 1\leq i\leq k\)，取定\(\lambda_i\)的某个\(2\)次方根\(\mu_i\)，即\(\mu_i^2=\lambda_i\)，则\(\mu_i\neq 0\)。由\((1)\)知\(J(\mu_i,e_i)^2\)相似于\(J(\mu_i^2,e_i)\)，即\(J(\mu_i,e_i)^2\)相似于\(J(\lambda_i,e_i)\)，所以存在\(e_i\)阶可逆矩阵\(Q_i\)，使得\(J(\lambda_i,e_i)=Q_i^{-1}J(\mu_i,e_i)^2Q_i\)，则
    \begin{equation*} \begin{array}{cl} A&=P^{-1}\begin{pmatrix} Q_1^{-1}J(\mu_1,e_1)^2Q_1&&&\\ &Q_2^{-1}J(\mu_2,e_2)^2Q_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&Q_k^{-1}J(\mu_k,e_k)^2Q_k \end{pmatrix}P\\ &=R^{-1}\begin{pmatrix} J(\mu_1,e_1)^2&&&\\ &J(\mu_2,e_2)^2&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\mu_k,e_k)^2 \end{pmatrix}R, \end{array} \end{equation*}
    其中\(R=\begin{pmatrix} Q_1&&&\\ &Q_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&Q_k \end{pmatrix}P\)为\(n\)阶可逆矩阵。
    令
    \begin{equation*} B=R^{-1}\begin{pmatrix} J(\mu_1,e_1)&&&\\ &J(\mu_2,e_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\mu_k,e_k) \end{pmatrix}R, \end{equation*}
    则\(B\)为\(n\)阶复方阵，且\(A=B^2\)。

10.

设\(A\)是\(10\)阶方阵，满足\(A^2(A-2E)^2(A-E)=0\)，且\(r(A)=6\)，\(r(A-2E)=9\)，\(r(A-E)=8\)，求\(A\)的Jordan标准形。
解答.
因为\(A^2(A-2E)^2(A-E)=0\)，所以\(A\)的特征值满足
\begin{equation*} \lambda^2(\lambda-2)^2(\lambda-1)=0, \end{equation*}
故\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(2\)或\(1\)。因为属于特征值\(\lambda_i\)的Jordan块个数等于\(\lambda_i\)的几何重数，所以属于\(0\)的Jordan块个数为
\begin{equation*} 10-r(A)=4, \end{equation*}
属于\(2\)的Jordan块个数为
\begin{equation*} 10-r(A-2E)=1, \end{equation*}
属于\(1\)的Jordan块个数为
\begin{equation*} 10-r(A-E)=2. \end{equation*}
注意到\(m_A(\lambda)|\lambda^2(\lambda-2)^2(\lambda-1)\)，所以属于\(1\)的Jordan块最大阶为\(1\)，属于\(0\)的Jordan块最大阶不超过\(2\)，属于\(2\)的Jordan块最大阶不超过\(2\)。
  • 若属于\(2\)的Jordan块阶数为\(1\)，则\(A\)的Jordan标准形为
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&&&&&&&&&\\ &0&&&&&&&&\\ &1&0&&&&&&&\\ &&&0&&&&&&\\ &&&1&0&&&&&\\ &&&&&0&&&&\\ &&&&&1&0&&&\\ &&&&&&&2&&\\ &&&&&&&&1&\\ &&&&&&&&&1 \end{pmatrix}; \end{equation*}
  • 若属于\(2\)的Jordan块阶数为\(2\)，则\(A\)的Jordan标准形为
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&&&&&&&&&\\ &0&&&&&&&&\\ &&0&&&&&&&\\ &&1&0&&&&&&\\ &&&&0&&&&&\\ &&&&1&0&&&&\\ &&&&&&2&&&\\ &&&&&&1&2&&\\ &&&&&&&&1&\\ &&&&&&&&&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

11.

设\(n\)阶复方阵\(A\)不可逆且不是幂零矩阵，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(B\)是幂零矩阵，\(C\)是可逆矩阵。
解答.
设\(A\)的Jordan标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)&&&\\ &J(\lambda_2,e_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\lambda_k,e_k) \end{pmatrix}. \end{equation*}
因为\(A\)不可逆，所以存在若干个\(\lambda_i\)等于\(0\)。又因为\(A\)不是幂零矩阵，所以存在若干个\(\lambda_j\)不等于\(0\)。不妨设\(\lambda_1=\cdots=\lambda_s=0\)，但\(\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_k\neq 0\)，则\(J(\lambda_i,e_i)\)为幂零矩阵\((1\leq i\leq s)\)，\(J(\lambda_j,e_j)\)为可逆矩阵\((s+1\leq j\leq k)\)。令
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)&&\\ &\ddots&\\ &&J(\lambda_s,e_s) \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} J(\lambda_{s+1},e_{s+1})&&\\ &\ddots&\\ &&J(\lambda_k,e_k) \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(B\)是幂零矩阵，\(C\)是可逆矩阵，且\(A\)相似于矩阵\(\begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix}\)。

12.

设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上非零且不可逆的\(n\)阶复方阵，若\(r(A)=r(A^2)\)，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(C\)是\(r(A)\)阶可逆矩阵。
解答.
由上题知，\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} J=\begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(B=diag(J(0,e_1),\cdots ,J(0,e_s))\)为幂零矩阵，\(C\)为可逆矩阵，则
\begin{equation*} r(A)=r(J)=\sum\limits_{i=1}^s r\left(J(0,e_i)\right)+r(C), \end{equation*}
\begin{equation*} r(A^2)=r(J^2)=r(B^2)+r(C^2)=\sum\limits_{i=1}^s r\left(J(0,e_i)^2\right)+r(C^2). \end{equation*}
因为\(C\)可逆，\(C^2\)也可逆，所以\(r(C)=r(C^2)\)。于是，由\(r(A)=r(A^2)\)可知
\begin{gather} \sum\limits_{i=1}^s r\left(J(0,e_i)\right)=\sum\limits_{i=1}^s r\left(J(0,e_i)^2\right).\tag{7.3} \end{gather}
注意到
\begin{equation*} r\left(J(0,e_i)\right)=e_i-1, \end{equation*}
而
\begin{equation*} r\left(J(0,e_i)^2\right)=\left\{\begin{array}{cl} e_i-2,&\mbox{当}e_i\geq 2,\\ 0,&\mbox{当}e_i=1, \end{array}\right. \end{equation*}
所以 (7.3)成立当且仅当\(e_1=\cdots=e_s=1\)，即\(B=0\)。因此，\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(C\)是\(r(A)\)阶可逆矩阵。

13.

设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，证明：存在\(n\)阶可逆复对称矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=A^T\)。
解答.
因为\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，所以存在\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*} A=Q\begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)&&&\\ &J(\lambda_2,e_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\lambda_k,e_k) \end{pmatrix}Q^{-1}, \end{equation*}
则
\begin{equation*} A^T=\left(Q^{-1}\right)^T\begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1)^T&&&\\ &J(\lambda_2,e_2)^T&&\\ &&\ddots&\\ &&&J(\lambda_k,e_k)^T \end{pmatrix}Q^T. \end{equation*}
记
\begin{equation*} R_i=\begin{pmatrix} &&&1\\ &&1&\\ & \dots &&\\ 1&&& \end{pmatrix}_{e_i\times e_i}, \end{equation*}
由
\begin{equation*} J(\lambda_i,e_i)^T=R_i^{-1}J(\lambda_i,e_i)R_i \end{equation*}
可知
\begin{equation*} A^T=\left(Q^{-1}\right)^T\begin{pmatrix} R_1^{-1}J(\lambda_1,e_1)R_1&&&\\ &R_2^{-1}J(\lambda_2,e_2)R_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&R_k^{-1}J(\lambda_k,e_k)R_k \end{pmatrix}Q^T. \end{equation*}
取\(P=Q\cdot diag(R_1,R_2,\cdots ,R_k)\cdot Q^T\)，则\(P\)是\(n\)阶可逆复对称阵，且
\begin{equation*} A^T=P^{-1}AP. \end{equation*}

14.

证明：与\(J(\lambda_0,n)\)可交换的矩阵一定可表示为\(J(\lambda_0,n)\)的多项式。
解答.
设\(A\)与\(J(\lambda_0,n)\)可交换，即
\begin{equation*} A\cdot\left(\lambda_0E_n+J(0,n)\right)=\left(\lambda_0E_n+J(0,n)\right)\cdot A, \end{equation*}
则
\begin{equation*} AJ(0,n)=J(0,n)A. \end{equation*}
由于
\begin{equation*} AJ(0,n)=\begin{pmatrix} a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}&0\\ a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\cdots&a_{n-1,n}&0\\ a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} J(0,n)A=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}
比较系数得\(a_{ij}=0,\forall 1\leq i<j\leq n\)，且
\begin{equation*} \begin{array}{c} a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{44}=\cdots=a_{nn},\\ a_{21}=a_{32}=a_{43}=\cdots=a_{n,n-1},\\ a_{31}=a_{42}=\cdots=a_{n,n-2},\\ \vdots \\ a_{n-1,1}=a_{n2} \end{array} \end{equation*}
即
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_{1}&0&0&\cdots&0&0&0\\ a_2&a_1&0&\cdots&0&0&0\\ a_3&a_2&a_1&\cdots&0&0&0\\ a_4&a_3&a_2&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_5&a_4&\ddots&\ddots&a_1&0&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_3&a_2&a_1&0\\ a_n&\cdots&a_5&a_4&a_3&a_2&a_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以
\begin{equation*} \begin{array}{ccl} A&=&a_1E_n+a_2J(0,n)+a_3J(0,n)^2+\cdots+a_nJ(0,n)^{n-1}\\ &=&a_1E_n+a_2\left(J(\lambda_0,n)-\lambda_0E_n\right)+a_3\left(J(\lambda_0,n)-\lambda_0E_n\right)^2\\ &&+\cdots+a_n\left(J(\lambda_0,n)-\lambda_0E_n\right)^{n-1}. \end{array} \end{equation*}
令
\begin{equation*} f(\lambda)=a_1+a_2(\lambda-\lambda_0)+a_3(\lambda-\lambda_0)^2+\cdots+a_n(\lambda-\lambda_0)^{n-1}, \end{equation*}
则\(A\)可表示为\(J(\lambda_0,n)\)的多项式\(f\left(J(\lambda_0,n)\right)\)。
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