主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 7.5 Jordan标准形
子节 7.5.1 主要知识点
引理 7.5.1.
\(e\)阶矩阵
\begin{equation*}
J((\lambda-\lambda_0)^e)=\begin{pmatrix}
\lambda_0&&&\\1&\lambda_0&&\\&\ddots&\ddots&\\&&1&\lambda_0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的行列式因子与不变因子均为\(1,\cdots ，1,(\lambda-\lambda_0)^e\)，初等因子组为\((\lambda-\lambda_0)^e\)。
定义 7.5.2.
称\(J((\lambda-\lambda_0)^e)\)为属于\(\lambda_0\)的\(e\)阶Jordan块，简记为\(J(\lambda_0,e)\)。
引理 7.5.3.
设
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,e_1)&&&\\
&J(\lambda_2,e_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_k,e_k)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(J\)的初等因子组为
\begin{equation*}
(\lambda-\lambda_1)^{e_1},(\lambda-\lambda_2)^{e_2},\cdots ,(\lambda-\lambda_k)^{e_k}.
\end{equation*}
定理 7.5.4.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，且\(A\)的初等因子组为\((\lambda-\lambda_1)^{e_1},(\lambda-\lambda_2)^{e_2},\cdots ,\) \((\lambda-\lambda_k)^{e_k},\) 则\(A\)相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,e_1)&&&\\
&J(\lambda_2,e_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_k,e_k)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
称\(J\)为Jordan矩阵，并称为\(A\)的Jordan标准形。
定理 7.5.5.
设\(\varphi\)是复数域上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，则必存在\(V\)的一个基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是Jordan矩阵。
定理 7.5.6.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A\)的所有不同特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)，则
\(f_A(\lambda)=D_n(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_k(\lambda)\)，且等于\(A\)的所有初等因子的乘积。记
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{n_t},
\end{equation*}
则\(n_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块阶数之和，也等于初等因子组中\(\lambda-\lambda_i\)的次幂之和；
\(A\)的极小多项式就是\(A\)的最后一个不变因子，即
\begin{equation*}
m_A(\lambda)=g_k(\lambda),
\end{equation*}
且等于\(A\)的初等因子组中含不同的\(\lambda-\lambda_i\)方幂中次幂最高项之积。记
\begin{equation*}
m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{s_1}(\lambda-\lambda_2)^{s_2}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{s_t},
\end{equation*}
则\(s_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块的最大阶数，也等于初等因子组\(\lambda-\lambda_i\)的最高次幂项的次数。
推论 7.5.7.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
\(A\)相似于对角矩阵；
\(A\)的初等因子全是一次的；
\(A\)的每个Jordan块全是一阶的；
\(A\)的不变因子无重根；
\(A\)的极小多项式无重根。
推论 7.5.8.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
\(A\)相似于数量矩阵，即\(A=cE_n\)；
\(A\)的极小多项式是一次多项式；
\(A\)的初等因子全是一次的，且完全相同；
\(A\)的不变因子完全相同（或者全是一次的）；
\(A\)的Frobenius标准形为对角矩阵。
推论 7.5.9.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
\(A\)的特征多项式等于极小多项式；
\(A\)的Frobenius标准形只含一个Frobenius块；
\(A\)的不同特征值只含一个Jordan块；
\(A\)的不同Jordan块对角元必互异。
定理 7.5.10.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A\)的所有不同特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)，则
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=D_n(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_n(\lambda),
\end{equation*}
且等于\(A\)的所有初等因子的乘积。记
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{n_t},
\end{equation*}
则\(n_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块阶数之和，也等于初等因子组中\(\lambda-\lambda_i\)的次幂之和。
定理 7.5.11.
\(A\)的极小多项式就是\(A\)的最后一个不变因子，即
\begin{equation*}
m_A(\lambda)=g_n(\lambda),
\end{equation*}
且等于\(A\)的初等因子组中含不同的\(\lambda-\lambda_i\)方幂中次幂最高项之积。记
\begin{equation*}
m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{s_1}(\lambda-\lambda_2)^{s_2}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{s_t},
\end{equation*}
则\(s_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块的最大阶数，也等于初等因子组\(\lambda-\lambda_i\)的最高次幂项的次数。
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，且\(A\)的初等因子组为\((\lambda-\lambda_1)^{e_1},(\lambda-\lambda_2)^{e_2},\cdots ,\) \((\lambda-\lambda_k)^{e_k},\) 则\(A\)相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,e_1)&&&\\
&J(\lambda_2,e_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_k,e_k)
\end{pmatrix}\mbox{。}
\end{equation*}
于是，\(r(A)=r\left(J(\lambda_1,e_1)\right)+r\left(J(\lambda_2,e_2)\right)+\cdots +r\left(J(\lambda_k,e_k)\right)\)。而
\begin{equation*}
r\left(J(\lambda,e)\right)=\left\{\begin{array}{cl}
e,&\mbox{当}\lambda\neq 0\mbox{时，}\\
e-1,&\mbox{当}\lambda= 0\mbox{时。}\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
定理 7.5.12.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，则\(r(A)=r\)当且仅当\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于特征值\(0\)的Jordan块有\(n-r\)块。
定理 7.5.13.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) ，\(\lambda_0\)是\(A\)的一个特征值，则\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于\(\lambda_0\)的Jordan块有\(n-r(\lambda_0E-A)\)块，即\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于\(\lambda_0\)的Jordan块的个数等于\(\lambda_0\)的几何重数。
练习 7.5.2 练习
1.
设\(A\)的初等因子组为\(\lambda^2,\lambda+1,(\lambda+1)^3\)，求\(A\)的Jordan标准形。
2.
设\(A=\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)，求\(A\)的Jordan标准形\(J\)，并求可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=J\)。
3.
设\(\mathbb{C}\)上三阶方阵\(A=\begin{pmatrix}
2&0&0\\a&2&0\\b&c&1
\end{pmatrix}\)。
求出\(A\)所有可能的Jordan标准形；
给出\(A\)可对角化的充分必要条件。
4.
设\(A\)是\(3\)阶幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{Z}^+\)使得\(A^k=0\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
5.
设\(A\)是\(3\)阶幂等矩阵，即\(A^2=A\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
6.
设\(A\)是\(n\)阶幂等矩阵，且秩等于\(r\)，试求\(A\)的Jordan标准形。
7.
设\(A\)是\(3\)阶方阵，满足\(A^2=E\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
8.
设\(A\)是\(3\)阶复方阵，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
9.
设\(a\)是数域\(\mathbb{F}\)中的非零数，求\(J(a,n)^2\)的Jordan标准形；
设\(A\)是\(n\)阶可逆复方阵，证明：存在\(n\)阶复矩阵\(B\)，使得\(A=B^2\)。
10.
设\(A\)是\(10\)阶方阵，满足\(A^2(A-2E)^2(A-E)=0\)，且\(r(A)=6\)，\(r(A-2E)=9\)，\(r(A-E)=8\)，求\(A\)的Jordan标准形。
11.
设\(n\)阶复方阵\(A\)不可逆且不是幂零矩阵，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
B&0\\
0&C
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(B\)是幂零矩阵，\(C\)是可逆矩阵。
12.
设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上非零且不可逆的\(n\)阶复方阵，若\(r(A)=r(A^2)\)，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&C
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(C\)是\(r(A)\)阶可逆矩阵。
13.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，证明：存在\(n\)阶可逆复对称矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=A^T\)。
14.
证明：与\(J(\lambda_0,n)\)可交换的矩阵一定可表示为\(J(\lambda_0,n)\)的多项式。
