主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 7.1 \(\lambda\)-矩阵的法式
子节 7.1.1 主要知识点
定义 7.1.1.
设\(\mathbb{F}\)是一个数域，形如
\begin{equation*}
A(\lambda )=\begin{pmatrix}
a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\
a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mn}(\lambda)\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的\(m\times n\)矩阵，其中\(a_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F} [\lambda]\)，称为数域\(\mathbb{F}\)上的多项式矩阵 或\(\lambda\)-矩阵。
定义 7.1.3.
若\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)都是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且\(A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E_n\)， 则称\(A(\lambda)\)是可逆\(\lambda\)-矩阵，\(B(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的逆\(\lambda\)-矩阵。
命题 7.1.4.
若\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的逆矩阵存在，则必唯一，记为\(A^{-1}(\lambda)\)。
命题 7.1.5.
若\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda),B(\lambda)\)均可逆，则\(A(\lambda)B(\lambda)\)可逆且
\begin{equation*}
(A(\lambda)B(\lambda))^{-1}=B^{-1}(\lambda)A^{-1}(\lambda).
\end{equation*}
定理 7.1.6.
\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)可逆的充分必要条件是\(\det A(\lambda)\)为一非零常数。
定义 7.1.7.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda )\)实行下列变换称为 行初等变换
互换变换：将\(A(\lambda)\)两行对换；
倍法变换：将\(A(\lambda )\)的第\(i \)行乘以 非零常数 \(c\)；
消法变换：将\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)后加到第\(i\)行上去。
相应地，列初等变换可以类似定义。
定义 7.1.8.
对单位矩阵作一次\(\lambda\)-矩阵实行变换所得到的矩阵称初等矩阵。
互换矩阵：将\(E_n\) 的第\(i\)行与第\(j\)行互换，记为\(E(i,j)\)；
倍法矩阵：将\(E_n\)的第\(i\)行乘非零常数\(c\) ，记为\(E(i(c))\)；
消法矩阵：将\(E_n\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行，记为\(E(i,j(f(\lambda)))\)。
定理 7.1.9.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)的\(\lambda\)-矩阵，则对\(A(\lambda)\)施行行（列）的初等变换相当于左（右）乘一个相应的初等\(\lambda\)-矩阵。
定理 7.1.10.
对\(\lambda\)-矩阵作初等变换不改变\(\lambda\)-矩阵的秩。
定义 7.1.11.
设\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)是\(\lambda\)-矩阵。若\(A(\lambda)\)经过有限次\(\lambda\)-矩阵初等变换后变为\(B(\lambda)\)，则称\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\) 相抵 ，记为\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)。
定理 7.1.13.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵且\(r (A(\lambda))=r\)，则
\begin{equation*}
A(\lambda)\simeq \begin{pmatrix}
d_1(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&d_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是首一多项式\((i=1,\cdots ,r)\)，且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ i=1,2,\cdots,r-1\)。
上面的矩阵称为\(A(\lambda)\)的 相抵标准形 或 法式。
定理 7.1.14.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵，则\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)相抵。
推论 7.1.16.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ，则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\cdots ,1,d_1(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式，\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,2,\cdots ,k)\)，且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,2,\cdots ,k-1)\)。
推论 7.1.17.
设\(A(\lambda)\)是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，则以下几点等价：
\(A(\lambda)\)可逆；
\(A(\lambda)\)的法式为\(E_n\)；
\(A(\lambda)\)相抵于\(E_n\)；
\(A(\lambda)\)可表示为有限个初等\(\lambda\)-矩阵的乘积。
练习 7.1.2 练习
1.
下列矩阵是否满秩？是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1
\end{pmatrix}\)；
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1
\end{pmatrix}\)。
2.
设\(A(\lambda)=A_s\lambda^s+A_{s-1}\lambda^{s-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0\)且\(\deg A(\lambda)=s>0\)。证明：若\(A(\lambda)\)可逆，则\(\det A_s=0\)且\(\det A_0\neq 0\)。
3.
若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，证明：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A(\lambda)&0\\0&C(\lambda)
\end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix}
B(\lambda)&0\\0&D(\lambda)
\end{pmatrix}\mbox{。}
\end{equation*}
4.
用初等变换的方法求下列矩阵的法式。
(1)\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\)； (2)\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
5.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\)，证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
