主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 3.2 基和维数
子节 3.2.1 主要知识点
定义 3.2.1.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间， \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\in V\)， 若存在\(\mathbb{F}\)中\(s\)个数\(a_1,a_2,\cdots,a_s\)， 使
\begin{equation*}
\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s,
\end{equation*}
则称\(\beta\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的线性组合， 或称向量\(\beta\)可用\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出。
定义 3.2.2.
设\(\mathbb{F}\)上线性空间\(V\)中有向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 和 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)。
若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出， 则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出。
若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)和向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)可相互线性表出， 则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)和向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价。
定义 3.2.3.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\)，
称\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关， 若在\({\color{blue}\mathbb{F}}\)中存在不全为零的数\(a_1, a_2,\cdots, a_s\)， 使得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s=0;
\end{equation*}
称\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关， 若有\({\color{blue}\mathbb{F}}\)中的数\(a_1, a_2,\cdots, a_s\)， 使得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s=0,
\end{equation*}
则必有 \(a_1= 0, a_2= 0, \cdots, a_s= 0\)。
例 3.2.4.
若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^{m-1}\neq 0,A^m=0\)。证明：线性空间\(\mathbb{F}^{n\times n}\)中向量组\(E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}\)线性无关。
命题 3.2.5.
线性空间\(V\)中向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示， 则表示法唯一的充分必要条件是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关。
命题 3.2.6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s>1)\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间\(V\)中的向量， 则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
命题 3.2.7.
若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间\(V\)的线性相关向量组， 则任一包含该组向量的向量组必线性相关。(部分相关， 整体相关)}
命题 3.2.8.
在线性空间\(V\)中， 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关， 但向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\)线性相关， 则\(\beta\)必可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出， 且表示法唯一。
命题 3.2.9.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出， 且\(s>t\)， 则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关。 如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出， 且\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关， 则\(s\leq t\)。
命题 3.2.10.
等价的向量组满足
反身性：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)等价。
对称性：若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价， 则\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)等价。
传递性：若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价，\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)与\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_r\)等价， 则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_r\)等价。
定义 3.2.11.
向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的部分组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)适合如下条件:
\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 线性无关；
将向量组中任意向量添加到 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)得到的\(r+1\)个向量线性相关，即任意的\(\alpha_i\)可由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性表出；
则称\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组， 简称极大无关组。 \(r\)称为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩， 记为\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)。
命题 3.2.12.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出， 则
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\leq r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t).
\end{equation*}
命题 3.2.13.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价， 则
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t).
\end{equation*}
定义 3.2.14.
如果在线性空间\(V\)中存在\(n\)个向量\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)满足
\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性无关；
\(V\)中任一向量均可表示为\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)的线性组合，
则称\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)为\(V\)的一个基。
定义 3.2.16.
若线性空间的基含由\(n\)个向量组成， 则称\(V\)为\(n\)维线性空间， \(n\)称为\(V\)的维数， 记作\(\dim_\mathbb{F} V=n\)或\(\dim V=n\)。
若\(V=0\)，则记 \(\dim V=0\)。
\(n\)维线性空间\(V\)中任意\(n+1\)个向量必线性相关。
线性空间的维数与其数域\(\mathbb{F}\)的选取有关。
例 3.2.17.
分别求\(_\mathbb{R}\mathbb{R}\)、\(_\mathbb{C}\mathbb{C}\)和\(_\mathbb{R}\mathbb{C}\)的一个基和维数。
求\(\mathbb{F}^n\) 的一个基和维数。
求\(\mathbb{F}^{m\times n}\)的一个基和维数。
分别求
\begin{equation*}
V_1=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=A\}, V_2=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=-A\}
\end{equation*}
的一个基和维数。
求\(V=\{X\in \mathbb{F}^n|AX=0\}\)的一个基和维数，其中\(A\)是\(m\times n\)矩阵且\(r(A)=r<n\)。
定理 3.2.18.
设\({\color{red}\dim_\mathbb{F} V=n},\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\in V\)，以下几点是等价的：
\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)是\(V\)的一个基；
\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性表出；
\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量添加到\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)所得的新向量组线性相关；
\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性无关；
\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性表出；
\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性表出，且表示法唯一。
定理 3.2.19.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)是\(V\)中\(r(r<n)\)个线性无关向量， 又\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)是\(V\)的一个基， 则必可在\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)中选出\(n-r\)个向量， 使其和\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)一起凑成\(V\)的一个基。
例 3.2.20.
在\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)中，
证明：\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
1&1
\end{array}} \right)\)、\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
1&2
\end{array}} \right)\)线性无关；
将其扩为\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的一个基。
练习 3.2.2 练习
1.
\(\mathbb{R}^+\)按如下定义的加法与数乘
\begin{equation*}
a \oplus b = ab,\ k \circ a = a^k,\ \forall a,b\in\mathbb{R}^+, k\in\mathbb{R},
\end{equation*}
构成\(\mathbb{R}\)上线性空间。试问：\(\mathbb{R}^+\)中向量\(2\)能否由\(1\)线性表出？说明理由。
2.
判断实数域\(\mathbb{R}\)上的线性空间\(C(-\infty ,+\infty)\)中下列向量组是否线性无关？
\(1,\sin x,\cos x\)；
\(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\cdots,e^{nx}\)。
3.
\(V=\{(a,b)\ |\ a,b\in\mathbb{R}\}\)按如下定义的加法与数乘
\begin{equation*}
(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d+ac),
k\circ (a,b)=(ka,kb+\frac{1}{2}k(k-1)a^2),
\end{equation*}
构成\(\mathbb{R}\)上的线性空间，判断该空间中向量组\((1,1),(2,2)\)是否线性相关，并说明理由。
4.
在线性空间\(V\)中，设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，在\(\mathbb{F}\)中任取给定的数\(a_1,a_2,\cdots ,a_{s-1}\)，证明：
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+a_1\alpha_s,\beta_2=\alpha_2+a_2\alpha_s,\cdots ,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+a_{s-1}\alpha_{s},\beta_s=\alpha_s
\end{equation*}
线性无关。
5.
证明：数域\(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶上三角矩阵组成的集合\(V\)，对于矩阵的加法与数乘，形成\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间。并求\(V\)的维数和一个基。
6.
设\(V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
x_1&x_2+ix_3\\x_2-ix_3&-x_1 \end{array}\right)\right|x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}
\right\}\) 。
证明：\(V\)对于矩阵的加法和数乘是实数域\(\mathbb{R}\)上的一个线性空间；
求\(V\)的维数和一个基。
7.
设\(V=\{A\in\mathbb{F}^{3\times 3}\ |\ tr(A)=0\}\)，则\(V\)对于矩阵的加法和数乘是数域\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间。试求\(V\)的维数和一个基。
8.
求\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)作为\(\mathbb{Q}\)上线性空间的维数和一个基。
9.
设\(V=\left\{(a+bi,c+di)\ |\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}\)，按通常的加法与数乘，
求\(V\)作为复数域\(\mathbb{C}\)上线性空间的维数和一个基；
求\(V\)作为实数域\(\mathbb{R}\)上线性空间的维数和一个基。
10.
所有正实数组成的集合\(\mathbb{R}^+\)，加法与数乘分别定义为
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
a\oplus b=ab,\ \forall a,b\in\mathbb{R}^+\\k\odot a=a^k,\ \forall a\in\mathbb{R}^+,k\in\mathbb{R}
\end{array}
\end{equation*}
构成实数域\(\mathbb{R}\)的线性空间。求\(\mathbb{R}^+\)的维数和一个基。
11.
将\(\alpha_1=(2,1,2,1)^T,\alpha_2=(1,1,2,1)^T\)扩充为\(\mathbb{R}^4\)的一个基。
