节 2.3 向量组的秩
建设中！
子节 2.3.1 主要知识点
命题 2.3.2. 线性表出的矩阵表示.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s)\)，\(B=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t)\)，则
- \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)可由\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\) 线性表出 \(\Leftrightarrow\exists C_{t\times s}\)使得 \(A=BC\)；
- \(C\)可逆\(\Rightarrow\) \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)等价。
- 例：\({\alpha _1} = {(1,0,\cdots,0)^T},{\alpha _2} = {(1,1,0,\cdots,0)^T},\cdots,{\alpha _n} = {(1,1,\cdots,1)^T}\)与\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)
向量组等价关系满足：
- 反身性：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)等价；
- 对称性：若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)等价，则\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)等价；
- 传递性： 若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)等价，\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)与\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots ,\gamma_r\)等价，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)与\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots ,\gamma_r\)等价。
定理 2.3.3.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)线性表出，且\(s>t\)，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)必线性相关。 即如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)线性表出， 且向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关， 则\(s\leq t\)。
推论 2.3.4.
两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等。
推论 2.3.5.
\(\mathbb{F}^n\)中任意\(n+1\)个向量必线性相关。
定义 2.3.6.
若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)的部分组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_r}\)满足：- \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_r}\)线性无关；
- 将向量组中任意向量添加到\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_r}\)得到的\(r +1\)个向量线性相关，
- 等价定义：若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)中任意向量可以由部分组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_r}\)线性表出， 且表示法唯一，则称\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_r}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
例 2.3.7.
- 零向量组成的向量组没有极大线性无关组。
- 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的极大无关组就是其自身。
-
\(\mathbb{R}^2\)中，\(\alpha_1=(1,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1)^T\)，\(\alpha_3=(1,1)^T\)， 则
- \(\alpha_1,\alpha_2\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组；
- \(\alpha_1,\alpha_3\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组；
- \(\alpha_2,\alpha_3\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组。
备注 2.3.8.
- 任意一个非零向量组必存在极大线性无关组。
- 一个向量组的极大线性无关组未必唯一。
- 问题：同一向量组的不同极大无关组有哪些共同点？
定理 2.3.9.
向量组和其极大线性无关组等价。
推论 2.3.10.
向量组的任意两个极大线性无关组等价。
推论 2.3.11.
一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等。
定义 2.3.12.
向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的极大无关组所含向量个数称为该向量组的秩，记为\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)。- 约定零向量组成的向量组的秩为零。
- 设\(P\)可逆， 则列向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)和\(P\alpha_1,P\alpha_2,\cdots,P\alpha_s\)有相同的线性关系。
- 设\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)经行初等变换化为\(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)\)，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的极大线性无关组的充要条件是\(\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}\)是向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)的极大线性无关组；
- \(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)\)。
求列向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)的秩与极大无关组的一般步骤：
- 第一步：作矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)；
- 第二步：用初等行变换化矩阵\(A\)为阶梯阵\(J\)。
- 若\(J\)中有\(r\)个非零行，则\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r\)。
- 设\(J\)中第\(i\)个非零行第一个非零元所在列标号为\(j_i,i=1,2,\cdots,r\)，则\(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\cdots,\alpha_{j_r}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
例 2.3.13.
设 \({\alpha _1} = {\left( {2,1,3,0,4} \right)^T},{\alpha _2} = {\left( { - 1,2,3,1,0} \right)^T},{\alpha _3} = {\left( {3, - 1,0, - 1,4} \right)^T}\)。
- 求\({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}\)的一个极大线性无关组；
- 求\(r({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3})\)；
- 将其余的向量表为该极大无关组的线性组合。
定理 2.3.14.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可以由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)线性表出， 则
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\leq r(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t).
\end{equation*}
推论 2.3.15.
等价的向量组的秩相等。
- 问题：推论的逆命题成立吗？即若\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= r(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t)\) ，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)是否等价？
备注 2.3.16.
- 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} r(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t). \end{equation*}
- 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t\)等价的充要条件是\begin{equation*} r(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s). \end{equation*}
例 2.3.17.
已知向量组
\begin{equation*}
I:{\alpha _1} = {\left( {0,1,1} \right)^T},{\alpha _2} = {\left( {1,1,0} \right)^T};
\end{equation*}
\begin{equation*}
II:{\beta _1} = {\left( { - 1,0,1} \right)^T},{\beta _2} = {\left( {1,2,1} \right)^T},{\beta _3} = {\left( {3,2, - 1} \right)^T}.
\end{equation*}
求证：向量组I和II等价。
定义 2.3.18.
\(m\times n\)矩阵\(A\)的行向量组的秩称为\(A\)的行秩，\(A\)的列向量组的秩称为\(A\)的列秩。定理 2.3.19.
初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。
定理 2.3.20.
任一\(m\times n\)矩阵\(A\)的行秩等于列秩， 等于\(r(A)\)。
推论 2.3.21.
设\(A\)是\(n\)阶方阵， 则下列命题等价:
- \(r(A)=n\)；
- \(\det A\neq 0\)；
- \(A\)的行（列）向量组线性无关；
- \(A\)的行（列）向量组的秩为\(n\)。
例 2.3.22.
设\(A\in \mathbb{F}^{m\times n}\)，证明：\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)。
例 2.3.23.
证明：\(\max\{r(A),r(B)\}\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B)\)。
- 矩阵增加一列（行）， 则秩不变或加一； 若矩阵减去一列（行）， 则秩不变或减一。
例 2.3.24.
证明：\(r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\0&B
\end{array}\right)=r(A)+r(B);\quad r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\ C &B
\end{array}\right) \geq r(A)+r(B)\)。
例 2.3.25.
证明：\(r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\}\)。
例 2.3.26.
证明：\(r(A+B)\leq r(A)+r(B)\)。
例 2.3.27.
设\(A\)为\(n\)阶方阵，证明：\(r(A)+r(E_n-A)\geq n\)。
- 注：\(r(A)+r(E_n-A)=n\)的充要条件是\(A^2=A\)。
练习 2.3.2 练习
1.
设向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，但不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示。证明：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价。
解答.
因为\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，所以存在\(a_1,a_2,\cdots ,a_s\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_s+\cdots +a_s\alpha_s.
\end{equation*}
若\(a_s=0\)，则\(\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_s+\cdots +a_{s-1}\alpha_{s-1}\)，与条件\(\beta\)不能由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出相矛盾。故\(a_s\neq 0\)。于是
\begin{equation*}
\alpha_s=-\frac{a_1}{a_s}\alpha_1-\frac{a_2}{a_s}\alpha_2-\cdots -\frac{a_{s-1}}{a_{s}}\alpha_{s-1}+\frac{1}{a_{s-1}}\beta,
\end{equation*}
则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)线性表出。又\(\beta\)可以由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出，故\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出。从而，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价。
2.
设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)与向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)等价，且\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关，试问\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)是否一定线性无关？如果结论成立，证明；如果不成立，举出反例。
解答.
不一定成立。比如，向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T
\end{equation*}
与向量组
\begin{equation*}
\beta_1=(1,0)^T,\beta_2=(0,1)^T,\beta_3=(1,1)^T
\end{equation*}
等价，\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，但\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关。
3.
证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大无关组，即若\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中一个线性无关向量组，那么向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)一定可以扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+1}},\cdots ,\alpha_{i_r}\)。
解答.
- 若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)线性表出，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)已是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
-
若存在\(1\leq i_{p+1}\leq s\)使得\(\alpha_{i_{p+1}}\)不能由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)线性表出，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+1}}\)线性无关。
- 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)线性表出，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
- 否则，存在\(1\leq i_{p+2}\leq s\)使得\(\alpha_{i_{p+2}}\)不能由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)线性表出，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+2}}\)线性无关。
4.
设
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,0,2,-1)^T,\alpha_2=(-2,1,-4,6)^T,\alpha_3=(3,2,7,5)^T,\alpha_4=(1,-2,6,-9)^T,
\end{equation*}
- 证明：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关；
- 求\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)；
- 把\(\alpha_1,\alpha_2\) 扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大无关组，并将其余向量表示 为这个极大无关组的线性组合。
解答.
- 因为\(\alpha_1,\alpha_2\)不成比例，所以\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关。
- 令\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，对\(A\)作行初等变换\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&-2&3&1\\ 0&1&2&-2\\ 2&-4&7&6\\ -1&6&5&-9 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&0&0&-31\\ 0&1&0&-10\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=B, \end{equation*}所以\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=3\)。
- 设\(B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4)\)。因为行初等变换不改变列向量组的线性关系，\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)（或\(\beta_1,\beta_2,\beta_4\)）是\(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4\)的一个极大线性无关组，所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)（或\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)）是\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大线性无关组。因此\(\alpha_1,\alpha_2\) 扩充为向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大无关组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)（或\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)）。
5.
设向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，但不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示。证明：\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta)\)。
解答.
由作业 练习 2.3.2.1 知：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价，因此
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta).
\end{equation*}
6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维向量，已知单位向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可被它们线性表示，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
解答.
因为\(n\)维列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)必可由\(n\)维标准单位列向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)线性表出，而由题设\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出，因而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)与\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)等价。由此得
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)=r(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n).
\end{equation*}
注意到\(r(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)=n\)，故 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)=n\)。从而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维向量，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关的充要条件是任一\(n\)维向量都可被它们线性表示。
解答.
充分性：由题设，\(n\)维标准单位列向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出，由上题知，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
必要性：设\(\beta\)为任一\(n\)维列向量，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s,\beta\)是\(n+1\)个\(n\)维列向量，必线性相关。而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关，故\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出。
8.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)个线性无关的向量都构成它的一极大无关组。
解答.
设\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)个线性无关向量，则\(\forall 1\leq j\leq s\)，向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},\alpha_j\)必线性相关（否则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩不小于\(r+1\)。）因此，\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
9.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中\(r\)个向量，使得\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可被它们线性表示，证明：\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
解答.
由于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性表出，而显然\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出，所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)等价。从而\(r(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r})=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r \)，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性无关。 故\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
10.
已知两个向量组\(\alpha_1=(1,0,2)^T,\alpha_2=(1,1,3)^T,\alpha_3=(1,-1,a+2)^T\)和\(\beta_1=(1,2,a+3)^T,\beta_2=(2,1,a+6)^T,\beta_3=(2,1,a+4)^T\)，问\(a\)为何值时，两个向量组等价；当\(a\)为何值时，两向量组不等价。
解答.
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}
1&1&1&1&2&2\\0&1&-1&2&1&1\\0&0&a+1&a-1&a+1&a-1
\end{array}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&2\\2&1&1\\a+3&a+6&a+4
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1&2&2\\0&1&1\\0&0&-2
\end{array}\right)
\end{equation*}
则\(r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\)。故两个向量组等价\(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\Leftrightarrow a\neq -1\)；两个向量组不等价\(\Leftrightarrow a=-1\)。
11.
证明：数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)个方程的\(n\)元线性方程组
\begin{equation*}
x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n=\beta
\end{equation*}
对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)都有解的充分必要条件是\(\det (\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\neq 0\)。
解答.
线性方程组\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n=\beta\)对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)都有解当且仅当任一\(n\)维向量\(\beta\)都可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出。由作业 练习 2.3.2.7 可知，其充分必要条件为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关，即\(\det (\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\neq 0\)。
12.
设\(A\)是秩为\(r\)的\(m\times n\)矩阵，从\(A\)中任意取\(s\)行作一个\(s\times n\)矩阵\(B\)。证明：\(r(B)\geq r+s-m\)。
解答.
设\(A\)的行向量组为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)，\(B\)的行向量组为\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)。若\(r(B)=t\)，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的秩为\(t\)。因为\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的极大无关组为向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)的线性无关组，故可将\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的一个极大无关组（含\(t\)个向量）扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)的一个极大线性无关组（扩充了\(r-t\)个向量）。注意到上述扩充过程中，扩充的向量均取自\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)以外的向量，而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)中除\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)外的向量个数为\(m-s\)，故\(r-t\leq m-s\)。因此\(r(B)=t\geq r+s-m\)。
13.
设\(A\)是秩为\(r\)的\(m\times n\)矩阵，从\(A\)中任意划去\(m-s\)行与\(n-t\)列，其余元素按原来位置排成一个\(s\times t\)矩阵\(C\)。证明：\(r(C)\geq r+s+t-m-n\)。
解答.
设\(A\)划去\(m-s\)行后的矩阵为\(B\)，则\(B\)划去\(n-t\)列后得到矩阵\(C\)。由上题知，\(r(B)\geq r+s-m\)。同理，\(r(C)\geq r(B)+t-n\)。因此
\begin{equation*}
r(C)\geq r+s+t-m-n.
\end{equation*}
14.
设\(n\)维实列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关，其中\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})^T,i=1,2,\cdots ,r\)。已知\(\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)是齐次线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0,\\
\vdots\\
a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+\cdots +a_{rn}x_n=0
\end{array}\right.
\end{equation*}
的一个非零实解向量。试判断向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r,\beta\)的线性相关性。
解答.
令\(A=\begin{pmatrix}
\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_r^T
\end{pmatrix}\)，由题设\(\beta\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的解，即\(A\beta=0\)，得对任意\(1\leq i\leq r\)，有\(\alpha_i^T\beta=0\)。
假设
\begin{equation}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_r\alpha_r+a_{r+1}\beta=0,\tag{2.5}
\end{equation}
则
\begin{equation*}
a_1\alpha_1^T+a_2\alpha_2^T+\cdots +a_r\alpha_r^T+a_{r+1}\beta^T=0,
\end{equation*}
两边同时右乘\(\beta\)得
\begin{equation*}
a_1(\alpha_1^T\beta)+a_2(\alpha_2^T\beta)+\cdots +a_r(\alpha_r^T\beta)+a_{r+1}(\beta^T\beta)=0,
\end{equation*}
即\(a_{r+1}(\beta^T\beta)=0\)。注意到\(\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)为非零向量，
\begin{equation*}
\beta^T\beta=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\neq 0,
\end{equation*}
故\(a_{r+1}=0\)。代入 (2.5) ，得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_r\alpha_r=0,
\end{equation*}
由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关知\(a_1=a_2=\cdots =a_r=0\)。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r,\beta\)线性无关。
15.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，证明：\(A^2=E\)的充要条件是\(r(A+E)+r(A-E)=n\)。
解答.
作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A+E_n&0\\0&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A+E_n&A-E_n\\0&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
2E_n&A-E_n\\E_n-A&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
2E_n&0\\0&\frac{1}{2}(A^2-E_n)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
r(A+E_n)+r(A-E_n)=n+r(A^2-E).
\end{equation*}
因此\(A^2=E\)的充要条件是\(r(A+E)+r(A-E)=n\)。
16.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times s\)矩阵。证明：\(r(AB)\geq r(A)+r(B)-n\)。
解答.
证法一：作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_n&0\\0&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
E_n&0\\A&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
E_n&-B\\A&0
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A&0\\E_n&-B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(E_n)+r(AB)=r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix}),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
r(AB)=r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix})-n.
\end{equation*}
注意到\(r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix})\geq r(A)+r(B)\)，故
\begin{equation*}
r(AB)\geq r(A)+r(B)-n.
\end{equation*}
证法二：设\(r(A)=r\)，则存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)与\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)使得
\begin{equation*}
A=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(AB)=r(P\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB)=r(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB).
\end{equation*}
设\(QB=\begin{pmatrix}
B_1\\B_2{}
\end{pmatrix}\)，其中\(B_1\in\mathbb{F}^{r\times s},B_2\in\mathbb{F}^{(n-r)\times s}\)，则\(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB= \begin{pmatrix}
B_1\\0
\end{pmatrix}\)。从而
\begin{equation*}
r(AB)=r(\begin{pmatrix}
B_1\\0
\end{pmatrix})=r(B_1).
\end{equation*}
证法三： 记\(S = \{X|ABX = 0\}\)，则\(r(S) = s - r(AB) \)。
记\(S_1 =\{X|BX= 0 \}\)，取\(S_1\)的一个极大无关组为\(\eta_1,\ldots,\eta_k\)，其中\(k = s - r(B)\)。
注意到\(S\)也可以表示为\(S = \{X| BX=Y,\ AY=0\}\)。记 \(T = \{Y|AY = 0, \mbox{ 且}BX=Y\mbox{有解}\} \)，取\(T\)的一个极大无关组为\(Y_1,\ldots, Y_t\)。因为 \(T\subseteq \{Y|AY=0\}\)，所以\(t = r(T)\leq n - r(A)\)。
取\(\gamma_i\)为非齐次方程组\(BX = Y_i\)的一个特解，\(i=1,\ldots,t\)。下证向量组\(S\)可以由向量组\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。任取\(X\in S\)。若\(BX=0\)，根据齐次线性方程组解的结构定理，\(X\)可以由\(\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出；若\(BX=Y_0\ne 0\)，记\(Y_0 = \sum_{j=1}^t c_jY_j\)，则\(B(\sum_{j=1}^t c_j \gamma_j) = Y_0\)，即\(\sum_{j=1}^t c_j \gamma_j\)是\(BX=Y_0\)的一个特解，根据非齐次线性方程组解的结构定理，\(X\)可以由\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。综上，\(T\)可以由向量组\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。
于是，我们有
\begin{equation*}
s- r(AB) = r(S)\le r(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k)\le t+k\le s-r(B)+n-r(A),
\end{equation*}
整理可得\(r(AB)\geq r(A)+r(B)-n\)。
17.
证明Frobenius不等式：\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)。
解答.
证法一：作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
ABC&0\\0&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
ABC&AB\\0&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
0&AB\\-BC&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
-BC&B\\0&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(ABC)+r(B)=r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix}),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
r(ABC)=r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix})-r(B).
\end{equation*}
注意到\(r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix})\geq r(AB)+r(BC)\)，故
\begin{equation*}
r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B).
\end{equation*}
证法二：设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times s},C\in\mathbb{F}^{s\times t}\)且\(r(B)=r\)，则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)与\(s\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得\(B=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q\)。所以
\begin{equation*}
r(ABC)=r(AP\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r([AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix}]\cdot [\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC]),
\end{equation*}
这里\(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix}\)是\(m\times r\)矩阵，\(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC\)是\(r\times t\)矩阵。根据上题结论，
\begin{equation*}
r(ABC)\geq r(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix})+r(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC)-r.
\end{equation*}
注意到
\begin{equation*}
r(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix})=r(AP \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix})=r(AP \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q)=r(AB),
\end{equation*}
\begin{equation*}
r(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC)=r(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r(P\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r(BC),
\end{equation*}
故\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)。
