线性空间

节 3.1 线性空间

建设中！

例 3.1.1.

齐线性方程组\(AX=0\)的通解\(\eta= c_{r+1}\eta_1+\cdots+c_{n}\eta_{n-r} \)

加法：若\(AX_1=0\)，\(AX_2=0\)，则\(A(X_1+X_2)=0\)；
数乘：若\(AX=0\)，则对\(\forall c\in \mathbb{F}\)，\(A(cX)=0\)。

例 3.1.2.

三维空间\(\mathbb{R}^3\)中作用在同一点的力

加法：力的合成---平行四边形法则；
数乘：力的增加。

例 3.1.3.

闭区间\([a,b]\)上连续函数的全体\(C[a,b]\)

加法：\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)；
数乘：\(cf(x)\)。

子节 3.1.1 线性空间的定义

定义 3.1.4.

设\(V\)是一个非空集合。对\(\forall \alpha\)、\(\beta\in V\)都存在唯一的\(V\)中元素与之相对应，记此元素为\(\alpha+\beta\)。若对应法则\(+\)还满足：

\(\forall \alpha,\beta\in V\)，\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)；(加法交换律)
\(\forall \alpha,\beta,\gamma\in V\)，\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)；(加法结合律)
存在\(V\)的一个元素，记作\(0\)，使得\(\forall \alpha\in V\)，\(0+\alpha=\alpha+0=\alpha\)；
对\(\forall \alpha\in V\)，\(\exists \beta\in V\)，使得\(\alpha+\beta=0\)；

则称对应法则\(+\)为\(V\)上的加法；c中的\(0\)称为零元；d 中的\(\beta\)称为\(\alpha\)的负元，也记作\(\beta=-\alpha\)。

求\((\mathbb{F}^n,+)\)中的零元和负元。

定义 3.1.5.

设\(V\)是一个非空集合、\(\mathbb{F}\)是一个数域。对\(\forall \alpha\in V\)、\(\forall c\in \mathbb{F}\)，存在\(V\)中的唯一一个元素（记作\(c \alpha\)）与之相对应，则此对应法则为数乘。

\(V\)

\(\displaystyle 1\alpha=\alpha\)
\(\displaystyle c(\alpha+\beta)=c\alpha+c\beta\)
\(\displaystyle (c+d)\alpha=c\alpha+d\alpha\)
\(\displaystyle (cd)\alpha=c(d\alpha)\)

定义 3.1.6.

设\(V\)是一个非空集合，\(\mathbb{F}\)是一个数域。在\(V\)上定义了两种运算：加法和数乘。若加法和数乘对于任意\(\alpha,\beta,\gamma\in V,c,d\in \mathbb{F}\)满足八条运算规则：

加法交换律\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
加法结合律\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
存在\(0\in V\)，使得对任意\(\alpha\in V\)，有\(\alpha+0=\alpha\)
\(\forall\alpha\in V\)，\(\exists\beta\in V\)，使得\(\alpha+\beta=0\)（称\(\beta\)是\(\alpha\)的负元素）
\(\displaystyle 1\alpha=\alpha\)
\(\displaystyle c(\alpha+\beta)=c\alpha+c\beta\)
\(\displaystyle (c+d)\alpha=c\alpha+d\alpha\)
\(\displaystyle (cd)\alpha=c(d\alpha)\)

则称\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。

备注 3.1.7.

线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭。
满足以上八条规则的加法及数乘运算称为线性运算。
线性空间中元素又称向量。相应地，零元素称为零向量，记为\(0\)。有时，线性空间也称为向量空间。
线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的其中一条，则此集合就不能构成线性空间。

例 3.1.8.

判断下述集合按照定义的运算能否构成相应数域上的线性空间。

\(\mathbb{F}^n\)和\(\mathbb{F}_n\)按向量的加法与数乘是\(\mathbb{F}\)上的线性空间；
\(\mathbb{F}^{m\times n}\)按矩阵的加法与数乘是\(\mathbb{F}\)上的线性空间；
\(_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\)按数的加法与乘法是\(\mathbb{R}\)上的线性空间；\(_{\mathbb{C}}\mathbb{R}\)按照数的加法与乘法不是\(\mathbb{C}\)上的线性空间；
\(C[a,b]\)按照函数的加法与数乘是\(\mathbb{R}\)上的线性空间
\(D[a,b]\)按照函数的加法与数乘是\(\mathbb{R}\)上的线性空间

例 3.1.9.

记\(V=\{\alpha\}\)，定义加法\(\alpha+\alpha=\alpha\)，数乘\(c\alpha=\alpha\)，则\(V\)是一个线性空间，称为零空间，记为\(0\)。

例 3.1.10.

齐次线性方程组\(AX=0\)的解的全体对于向量的加法和数乘构成\(\mathbb{F}\)上的线性空间，称为\(AX=0\)的解空间。
非齐次线性方程组\(AX=\beta\)解的全体对于向量的加法和数乘不能构成\(\mathbb{F}\)上的线性空间。

例 3.1.11.

取\(V=\mathbb{R}^+=\{a|a\in\mathbb{R},a>0\}\)，\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\)。按如下定义的加法与数乘能否构成\(\mathbb{R}\)上的线性空间？

\(\displaystyle a \oplus b = ab,\ k \circ a = a^k\)

子节 3.1.2 线性空间的性质

命题 3.1.12.

零向量是唯一的。

命题 3.1.13.

负向量也是唯一的。从而可以定义减法\(\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)\)。

命题 3.1.14.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，\(\alpha,\beta,\gamma\in V, c\in \mathbb{F}\)，

由\(\alpha+\beta=\alpha+\gamma\)可推出\(\beta=\gamma\)，即加法消去律成立；
\(\displaystyle 0_{\mathbb{F}}\alpha=0_{V};\)
\(\displaystyle c0_V=0_V;\)
\(\displaystyle (-1)\alpha=-\alpha;\)
若\(c\alpha=0_{V}\)，则\(c=0_{\mathbb{F}}\)或\(\alpha=0_{V}\)。

练习 3.1.3 练习

1.

判断下列集合是否是实数域上的线性空间。

设\(V\)是以\(0\)为极限的实数数列全体：\(V=\{\{a_n\}|\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0\}\)。定义两个数列的加法及数乘为

\begin{equation*} \{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\},\ k\{a_n\}=\{ka_n\}; \end{equation*}
区间\([0,1]\)上单调递增的实连续函数全体对于函数的加法与数乘；
\(V=\{f(x)\ |\ f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+\}\)定义加法和数乘如下：

\begin{equation*} f(x)\oplus g(x)=f(x)g(x),\ k\odot f(x)=[f(x)]^k; \end{equation*}
实数域上所有行列式为1的\(n\)阶方阵全体，对于矩阵的加法和数乘；
给定\(n\)阶实矩阵\(A\)，\(V=\{B\in \mathbb{R}^{n\times n}|AB=BA\}\)关于矩阵的加法和数乘；
实数域上\(n\)阶方阵全体按照通常矩阵的数乘和如下定义的加法：

\begin{equation*} A\oplus B=AB-BA. \end{equation*}

解答.

对任意\(\{a_n\},\{b_n\}\in V,\ k\in\mathbb{F}\)，有

\begin{equation*} \begin{array}{c}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=0\\\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(ka_n)=k\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\right)=0.\end{array} \end{equation*}

所以，\(\{a_n+b_n\},\ k\{a_n\}\in V\)，即\(V\)对于加法与数乘封闭。

又\(\{0\}\)为\(V\)的零元；当\(k=-1\)时，\(\{-a_n\}\in V\)，为\(\{a_n\}\)的负元，即\(V\)中每一个元都有负元。数列加法与数乘运算满足其它各条，故\(V\)是实数域上的线性空间。
因为\(f(x)=x\)是\([0,1]\)上单调递增的实连续函数，但\((-1)\cdot f(x)=-x\)不是\([0,1]\)上单调递增函数，即数乘不封闭。因此区间\([0,1]\)上单调递增的实连续函数全体对于函数的加法与数乘不构成\(\mathbb{R}\)上线性空间。
对任意\(f,g\in V\)，\(k\in\mathbb{R}\)，因为

\begin{equation*} f\oplus g=f\cdot g,\ k\odot f=f^k \end{equation*}

仍是闭区间\([a,b]\)到\(\mathbb{R}^+\)的映射，所以\(V\)对于上述定义的加法与数乘运算封闭。
对任意\(f,g,h\in V\)，\(k,l\in\mathbb{R}\)，有
1. \(f\oplus g=f\cdot g=g\cdot f=g\oplus f\)；
2. \(\left(f\oplus g\right)\oplus h=\left(f\cdot g\right)\oplus h=\left(f\cdot g\right)\cdot h=f\cdot\left(g\cdot h\right)=f\cdot\left(g\oplus h\right)=f\oplus \left(g\oplus h\right)\text{;}\)
3. 存在常数函数\(1:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,\ x\mapsto 1\)，使得\(f\oplus 1=f\cdot 1=f\)；
4. 对于\(f\in V\)，存在\(g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^+,\ x\mapsto \frac{1}{f(x)}\)，使得\(f\oplus g=f\cdot g=1\)；
5. \(k\odot (f\oplus g)=(f\oplus g)^k=(f\cdot g)^k=f^k\cdot g^k=f^k\oplus g^k=(k\odot f)\oplus (k\odot g)\)；
6. \((k+l)\odot f=f^{k+l}=f^k\cdot f^l=f^k\oplus f^l=(k\odot f)\oplus (l\odot f)\)；
7. \((kl)\odot f=f^{kl}=\left(f^l\right)^k=k\odot f^l=k\odot\left(l\odot f\right)\)；
8. \(1\odot f=f^1=f\)。
因此\(V\)按上述定义的加法与数乘运算构成\(\mathbb{R}\)上线性空间。
取\(A=B=E_n\)，则\(\det A=\det B=1\)，但\(\det (A+B)=2^n\neq 1\)，即实数域上所有行列式为1的\(n\)阶方阵全体对于矩阵的加法不封闭。故\(V\)不是实数域上的线性空间。
对任意\(B,\ C\in V,\ k\in\mathbb{F}\)，有\(AB=BA,\ AC=CA\)，则

\begin{equation*} \begin{array}{c}A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A,\\A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A.\end{array} \end{equation*}

所以，\(B+C,\ kB\in V\)，即\(V\)对于加法与数乘封闭。

又\(A0_{n\times n}=0_{n\times n}A\)，即\(V\)存在零元\(0_{n\times n}\)；当\(k=-1\)时，\(-B\in V\)，为\(B\)的负元，即\(V\)中每一个元都有负元。矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故\(V\)是实数域上的线性空间。
因为\(A\oplus B=AB-BA\neq BA-AB=B\oplus A\)，所以\(\mathbb{R}^{n\times n}\)按上述定义的加法与数乘不能构成实数域上线性空间。

2.

在\(V=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}\)中，

定义加法和数乘为：

\begin{equation*} (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),k\odot (a,b)=(a,b), \end{equation*}

问\(V\)是不是\(\mathbb{R}\)上的线性空间？说明理由。
定义加法和数乘为：

\begin{equation*} (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d+ac)),\ k\odot (a,b)=(ka,kb+\frac{1}{2}k(k-1)a^2). \end{equation*}

问\(V\)是不是\(\mathbb{R}\)上的线性空间？说明理由。

解答.

因为\((k+l)\odot (a,b)=(a,b)\)，而

\begin{equation*} k\odot (a,b)+l\odot (a,b)=(a,b)+(a,b)=(2a,2b), \end{equation*}

所以\((k+l)\odot (a,b)\neq k\odot (a,b)+l\odot (a,b)\)。此时\(V\)不是\(\mathbb{R}\)上的线性空间。
\(V\)对于加法与数乘封闭。对任意\((a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in V,\ k,l\in\mathbb{R}\)，
1. 由于
  
  \begin{equation*} \begin{array}{cl}&\left((a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)\right)\oplus (a_3,b_3)\\=&(a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2)\oplus (a_3,b_3)\\ =&\left(a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+a_1a_2+b_3+(a_1+a_2)a_3\right)\\=&\left(a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+b_3+a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3\right),\end{array} \end{equation*}
  
  \begin{equation*} \begin{array}{cl}&(a_1,b_1)\oplus\left( (a_2,b_2)\oplus (a_3,b_3)\right)\\=&(a_1,b_1)\oplus (a_2+a_3,b_2+b_3+a_2a_3)\\ =&\left(a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+b_3+a_2a_3+a_1(a_2+a_3)\right)\\=&\left(a_1+a_2+a_3,b_1+b_2+b_3+a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3\right),\end{array} \end{equation*}
  
  所以，\(\left((a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)\right)=(a_1,b_1)\oplus\left( (a_2,b_2)\oplus (a_3,b_3)\right)\)。
2. 由于
  
  \begin{equation*} (a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2), \end{equation*}
  
  \begin{equation*} (a_2,b_2)\oplus (a_1,b_1)=(a_2+a_1,b_2+b_1+a_2a_1), \end{equation*}
  
  所以\((a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)=(a_2,b_2)\oplus (a_1,b_1)\)。
3. \begin{equation*} (a_1,b_1)\oplus (0,0)=(a_1+0,b_1+0+a_10)=(a_1,b_1), \end{equation*}
  
  故\(V\)中存在零元\((0,0)\)。
4. 由于
  
  \begin{equation*} (a_1,b_1)\oplus (-a_1,a_1^2-b_1)=(a_1-a_1,b_1+(a_1^2-b_1)+a_1\cdot (-a_1))=(0,0), \end{equation*}
  
  所以\((a_1,b_1)\)存在负元\((-a_1,a_1^2-b_1)\)。
5. 由于
  
  \begin{equation*} \begin{array}{cl}&k\odot \left[(a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)\right]\\=&k\odot (a_1+a_2,b_1+b_2+a_1a_2)\\ =&\left(k(a_1+a_2),k(b_1+b_2+a_1a_2)+\frac{1}{2}k(k-1)(a_1+a_2)^2\right)\\=&\left(ka_1+ka_2,kb_1+kb_2+\frac{1}{2}k(k-1)a_1^2+\frac{1}{2}k(k-1)a_2^2+k^2a_1a_2\right), \end{array} \end{equation*}
  
  \begin{equation*} \begin{array}{cl}&\left[k\odot (a_1,b_1)\right]\oplus \left[k\odot (a_2,b_2)\right]\\ =&\left(ka_1,kb_1+\frac{1}{2}k(k-1)a_1^2\right)\oplus \left(ka_2,kb_2+\frac{1}{2}k(k-1)a_2^2\right)\\ =&\left(ka_1+ka_2,kb_1+kb_2+\frac{1}{2}k(k-1)a_1^2+\frac{1}{2}k(k-1)a_2^2+(ka_1)\cdot (ka_2)\right), \end{array} \end{equation*}
  
  所以，\(k\odot \left[(a_1,b_1)\oplus (a_2,b_2)\right]=\left[k\odot (a_1,b_1)\right]\oplus \left[k\odot (a_2,b_2)\right]\)。
6. 由于 \((k+l)\odot (a_1,b_1)=\left((k+l)a_1,(k+l)b_1+\frac{1}{2}(k+l)(k+l-1)a_1^2\right)\)且
  
  \begin{equation*} \begin{array}{cl}&\left[k\odot (a_1,b_1)\right]\oplus\left[l\odot (a_1,b_1)\right]\\=&\left(ka_1,kb_1+\frac{1}{2}k(k-1)a_1^2\right)\oplus \left(la_1,lb_1+\frac{1}{2}l(l-1)a_1^2\right)\\=&\left(ka_1+la_1,kb_1+\frac{1}{2}k(k-1)a_1^2+lb_1+\frac{1}{2}l(l-1)a_1^2+(ka_1)\cdot (la_1)\right)\\=&\left((k+l)a_1,(k+l)b_1+\frac{1}{2}(k+l)(k+l-1)a_1^2\right),\end{array} \end{equation*}
  
  所以，\((k+l)\odot (a_1,b_1)=\left[k\odot (a_1,b_1)\right]\oplus\left[k\odot (a_1,b_1)\right]\)。
7. 由于
  
  \begin{equation*} (kl)\odot (a_1,b_1)=\left((kl)a_1,(kl)b_1+\frac{1}{2}(kl)(kl-1)a_1^2\right), \end{equation*}
  
  且
  
  \begin{equation*} \begin{array}{ccl}k\odot \left[l\odot (a_1,b_1)\right]&=&k\odot \left(la_1,lb_1+\frac{1}{2}l(l-1)a_1^2\right)\\&=&\left(k(la_1),k(lb_1+\frac{1}{2}l(l-1)a_1^2)+\frac{1}{2}k(k-1)(la_1)^2\right)\\&=&\left(kla_1,(kl)b_1+\frac{1}{2}(kl)(kl-1)a_1^2\right), \end{array} \end{equation*}
  
  所以，\((kl)\odot (a_1,b_1)=k\odot \left[l\odot (a_1,b_1)\right]\)。
8. \(1\odot (a_1,b_1)=(1\cdot a_1,1\cdot b_1+\frac{1}{2}1(1-1)a_1^2)=(a_1,b_1)\)。
因此，\(V\)是实数域上线性空间。

3.

实数集\(\mathbb{R}\)的下列子集对于通常的加法和数乘，是否构成\(\mathbb{Q}\)上的线性空间？说明理由。

\(\mathbb{R}^+\)；
\(\mathbb{R}^-\)；
\(\{a+b\pi\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)。

解答.

因为\(1\in\mathbb{R}^+\)，\(-1\in\mathbb{Q}\)，但\((-1)\cdot 1=-1\not\in\mathbb{R}^+\)，即数乘不封闭，所以\(\mathbb{R}^+\)不是\(\mathbb{Q}\)上线性空间。
因为\(-1\in\mathbb{R}^-\)，\(-1\in\mathbb{Q}\)，但\((-1)\cdot (-1)=1\not\in\mathbb{R}^-\)，即数乘不封闭，所以\(\mathbb{R}^-\)不是\(\mathbb{Q}\)上线性空间。
记\(V=\{a+b\pi\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)。对任意\(a+b\pi,c+d\pi\in V\)，\(k\in\mathbb{Q}\)，其中\(a,b,c,d\in\mathbb{Q}\)，有

\begin{equation*} \begin{array}{c}(a+b\pi)+(c+d\pi)=(a+c)+(b+d)\pi\in V,\\k(a+b\pi)=ka+(kb)\pi\in V,\end{array} \end{equation*}

即\(V\)对于通常的加法和数乘封闭。又\(0\)为\(V\)的零元；当\(k=-1\)时，\(-a-b\pi\in V\)为\(a+b\pi\)的负元，即\(V\)中每一个元都有负元。\(V\)上加法与数乘运算满足其它各条，故\(V\)是有理数域上的线性空间。

4.

设\(V\)是复数域\(\mathbb{C}\)上的一个线性空间，如果加法保持不变，而数乘改成

\begin{equation*} k\odot\alpha=\overline{k}\alpha, \end{equation*}

其中\(\overline{k}\)是\(k\)的共轭复数，问：集合\(V\)对于原来的加法和现在定义的数乘是否构成复数域\(\mathbb{C}\)上的线性空间？

解答.

\(V\)对于原来的加法和现在定义的数乘封闭，且前4条性质成立。

\(k\odot(\alpha+\beta)=\overline{k}(\alpha+\beta)=\overline{k}\alpha+\overline{k}\beta=k\odot\alpha+k\odot\beta\)；
\((k+l)\odot\alpha=(\overline{k}+\overline{l})\alpha=\overline{k}\alpha+\overline{l}\alpha=k\odot\alpha+l\odot\alpha\)；
\((kl)\odot\alpha=\overline{kl}\alpha=(\overline{k}\cdot\overline{l})\alpha=\overline{k}(\overline{l}\alpha)=k\odot (\overline{l}\alpha)=k\odot (l\odot\alpha)\)；
\(1\odot\alpha=\overline{1}\alpha=1\alpha=\alpha\)。

因此\(V\)对于原来的加法和现在定义的数乘构成复数域\(\mathbb{C}\)上的线性空间。

5.

证明在线性空间中下列等式成立：

\(-(c\alpha)=(-c)\alpha=c(-\alpha)\)；
\(c(\alpha-\beta)=c\alpha-c\beta\)；
\((c-d)\alpha=c\alpha-d\alpha\)。

解答.

由于

\begin{equation*} \begin{array}{c}c\alpha+[(-c)\alpha]=(c+(-c))\alpha=0_\mathbb{F}\alpha=0_V,\\ c\alpha+c(-\alpha)=c(\alpha+(-\alpha))=c0_V=0_V,\end{array} \end{equation*}

所以\((-c)\alpha=-(c\alpha)\)且\(c(-\alpha )=-(c\alpha)\)。
因为

\begin{equation*} c(\alpha-\beta)=c[\alpha+(-\beta)]=c\alpha+c(-\beta), \end{equation*}

由a知：\(c(-\beta)=-c\beta\)，所以\(c(\alpha-\beta)=c\alpha-c\beta\)。
\((c-d)\alpha=c\alpha+(-d)\alpha\)，由\((1)\)知:\((-d)\alpha=-(d\alpha)\)，故\((c-d)\alpha=c\alpha-d\alpha\)。

6.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间。证明：如果\(V\)中含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量。

解答.

设\(\alpha\)是线性空间\(V\)中的一个非零向量，则\(\alpha,2\alpha,3\alpha,\cdots\in V\)。注意到当\(i\neq j\)时，\(i\alpha\neq j\alpha\)（否则\((i-j)\alpha=0\)，则\(i-j=0\)或\(\alpha=0\)，矛盾。），故\(V\)中向量\(\alpha,2\alpha,3\alpha,\cdots\)互不相同。因此\(V\)中一定含有无限多个向量。

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