定义 1.6.1.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在矩阵\(B\)，使得
\begin{equation*}
AB=BA = E_n,
\end{equation*}
则称\(A\)可逆，\(B\)称为\(A\)的逆矩阵。若\(B\)不存在，则称\(A\)不可逆。节 1.6 可逆矩阵
建设中！
子节 1.6.1 主要知识点
- 考虑一元一次方程\(ax=b\)；
- 当\(a\ne 0\)时：\(a^{-1} a x =a^{-1} b\Rightarrow x= a^{-1} b \)；
- 矩阵乘法中单位矩阵\(E\)具有和\(1\)相似的性质。
- 只有方阵才可能可逆。
- 非零矩阵未必可逆；如\(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)不可逆。
- 若\(A\)可逆, 则其逆阵唯一, 记做\(A^{-1}\) 。
- 若\(AB = AC\)， 且\(A\)可逆， 则\(B=C\)。
- 一般的 \(A^{-1}BA \ne B\)， 不可记\(A^{-1}\)为\(\frac{1}{A}\)或\(\frac{E}{A}\)。
- \(A\)与\(A^{-1}\)乘积可交换。
例 1.6.2.
设\(A= \begin{pmatrix}
d_1& & & \\
& d_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & d_n
\end{pmatrix}\)，其中\(d_1d_2\cdots d_n\ne 0\)，求\(A^{-1}\)。
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
d_1& & & \\
& d_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & d_n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
b_{11}& b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21}& b_{22} & \ddots & \vdots \\
\vdots& \ddots & \ddots & b_{n-1,n}\\
b_{n1}& \cdots & b_{n,n-1} & b_{nn}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \begin{pmatrix}
{\color{red}d_1}b_{11}& {\color{red}d_1}b_{12} & \cdots & {\color{red}d_1}b_{1n} \\
{\color{red}d_2}b_{21}& {\color{red}d_2}b_{22} & \ddots & \vdots \\
\vdots& \ddots & \ddots &{\color{red}d_{n-1}} b_{n-1,n}\\
{\color{red}d_n}b_{n1}& \cdots &{\color{red}d_n} b_{n,n-1} & {\color{red}d_n}b_{nn}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
矩阵逆的运算规则
- 若\(A\)可逆， 则\((A^{-1})^{-1} = A\)；
- 若\(A\)可逆，且\(c\)非零，则\(cA\)可逆， 且\((cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}\)；
- 若\(A\)、\(B\)均可逆， 则\(AB\)也可逆， 且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)；
- 若\(A\)可逆，则\(A^T\)可逆，且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)；
- 若\(A\)可逆, 则\(\det(A^{-1})= (\det A)^{-1}\)。
矩阵乘法的分块表示
- \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，\(B=(b_{ij})_{n\times n}\)，\(C=(c_{ij})_{n\times n}=AB\)。
- 对\(A\)进行行划分，\(B\)进行列划分：\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix}^T,\quad B= \begin{pmatrix} \beta_1& \beta_2& \cdots &\beta_n \end{pmatrix}, \end{equation*}其中\begin{equation*} \alpha_i= \begin{pmatrix} a_{i1}& a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{pmatrix},\quad \beta_j = \begin{pmatrix} b_{1j} & b_{2j} & \cdots & b_{nj} \end{pmatrix}^T, \end{equation*}则\begin{equation*} c_{ij} = \alpha_i\cdot \beta_j=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}. \end{equation*}
- 若\(C=E\)，则\begin{equation*} \alpha_i\cdot \beta_j=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\begin{cases} 1, &\text{ if }i=j\\ 0, &\text{ if } i\ne j \end{cases} \end{equation*}
逆矩阵和代数余子式
定理 1.6.3.
\begin{equation*}
a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots+ a_{kn}A_{in}=\begin{cases}
\det A, & k=i\\
0, & k\ne i
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots+ a_{nl}A_{nj}=\begin{cases}
\det A, &l=j\\
0, & l\ne j
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
{\color{red}a_{k1}} & {\color{red}a_{k2} } & {\color{red}\cdots} & {\color{red} a_{kn}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\blue{a_{i1}} &\blue{ a_{i2}} &\blue{ \cdots } &\blue{ a_{in}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}{\to \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
{\color{red}a_{k1}} & {\color{red}a_{k2} } & {\color{red}\cdots} & {\color{red} a_{kn}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
{\color{red}a_{k1}} & {\color{red}a_{k2} } & {\color{red}\cdots} & {\color{red} a_{kn}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}}
\end{equation*}
定义 1.6.4.
设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A_{ij}\)为\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列元素\(a_{ij}\)的代数余子式, 称矩阵\(A^*=(A_{\color{blue}ji})_{n\times n}\) 为\(A\)的伴随矩阵，即
\begin{equation*}
{\color{blue}
A^* = \begin{pmatrix}
A_{1{\color{red}1}} & A_{2{\color{red}1}} & \cdots & A_{n{\color{red}1}}\\
A_{1{\color{red}2}} & A_{2{\color{red}2}} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & A_{n,{\color{red}n-1}}\\
A_{1{\color{red}n}} & \cdots & A_{n-1,{\color{red}n}} & A_{n{\color{red}n}}
\end{pmatrix}
}
\end{equation*}
定理 1.6.5.
\begin{equation*}
{\color{red}A\cdot A^* = A^*\cdot A=(\det A) E}
\end{equation*}
定理 1.6.6.
\(A\)可逆的充分必要条件是\(\det A\ne 0\)。
推论 1.6.7.
当\(\det A\ne 0\)时，
\begin{equation*}
{\color{red}
A^{-1} = \frac{A^*}{\det A}}
\end{equation*}
推论 1.6.8.
\begin{equation*}
\det A^* = (\det A)^{n-1}.
\end{equation*}
例 1.6.9.
证明矩阵\(\begin{pmatrix}
2 & -1\\
3 & 0
\end{pmatrix}\)可逆并求其逆矩阵。
例 1.6.10.
设\(A\)、\(B\)是可逆矩阵，判断 \(\begin{pmatrix}
A & 0\\
0 & B
\end{pmatrix}\)是否可逆。若可逆，求其逆矩阵。
例 1.6.11.
- 若\(n\)阶方阵\(A\)满足方程\(A^3+A^2+A+E=0\)， 则\(A\)、 \(A-E\)必可逆。
- 已知\(n\)阶方阵\(A\ne E\)， 但\(A^2=E\)， 证明\(A+E\)必不可逆。
定理 1.6.12. Cramer法则.
设\(Ax=b\)是一个线性方程组，其中\(A =(a_{ij})_{n\times n} \)是\(n\)阶方阵、\(b=(b_j)_{n\times 1}\)。若该方程组的系数行列式\(\det A\)不为\(0\)，则方程组有唯一解：
\begin{equation*}
x_j=\frac{\det D_j}{\det A},\ j=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
其中\(\det D_j\)是一个\(n\)阶行列式， 它是将\(\det A\)第\(j\)列换成由方程组常数项\(b_1, b_2,\ldots, b_n\)组成的列得到的行列式，即
\begin{equation*}
\det D_{{\color{red}j}} = \begin{vmatrix}
\cdots & a_{1,j-1} & {\color{red}b_1} &a_{1,j+1}& \cdots\\
\cdots & a_{2,j-1} & {\color{red}b_2} &a_{2,j+1}& \cdots\\
\vdots &\vdots &{\color{red}\vdots} &\vdots &\vdots \\
\cdots & a_{n,j-1} & {\color{red}b_n} &a_{n,j+1}& \cdots
\end{vmatrix}
\end{equation*}
推论 1.6.13.
设 \(A\)是\(n\) 阶方阵， 且 \(Ax =b\)无解或解不唯一， 则 \(\det A =0\)。
推论 1.6.14.
设 \(A\)是 \(n\) 阶方阵， 且\(Ax=0\)有非零解， 则 \(\det A = 0\)。
例 1.6.15.
求解线性方程组
\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1+2x_2+x_3 = 3\\
-2x_1+x_2-x_3=-3\\
x_1-4x_2+2x_3 = -5
\end{cases}
\end{equation*}
例 1.6.16.
\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵， 且\(A\)的每一行元素之和等于常数\(c\)， 证明：\(A^{-1}\)的每一行元素之和等于\(c^{-1}\)。
例 1.6.17.
已知\(n\)阶方阵\(A\)、\(B\)、\(A+B\)均可逆，试证明\(A^{-1}+B^{-1} \)也可逆。
练习 1.6.2 练习
1.
证明：如果\(A^k=0\)，那么\(E-A\)、\(E+A+\cdots+A^{k-1}\)均可逆；并求\((E-A)^{-1}\)与\((E+A+\cdots+A^{k-1})^{-1}\)。
解答.
因为\(A^k=0\)，所以
\begin{equation*}
(E-A)(E+A+\cdots+A^{k-1})=E-A^k=E,
\end{equation*}
且
\begin{equation*}
(E+A+\cdots+A^{k-1})(E-A)=E-A^k=E.
\end{equation*}
故\(E-A\)、\(E+A+\cdots+A^{k-1}\)均可逆，且
\begin{equation*}
(E-A)^{-1}=E+A+\cdots+A^{k-1},
\end{equation*}
\begin{equation*}
(E+A+\cdots+A^{k-1})^{-1}=E-A.
\end{equation*}
2.
设\(B=\begin{pmatrix}
1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}&b^{n-1}\\
0&1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}\\
0&0&1&b&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&b^2\\
0&0&0&\cdots&1&b\\
0&0&0&\cdots&0&1
\end{pmatrix}\)，求\(B^{-1}\)。
解答.
令\(J=\begin{pmatrix}
0&E_{n-1}\\0&0
\end{pmatrix}\)，则
\begin{equation*}
B=E+bJ+(bJ)^2+\cdots +(bJ)^{n-1}.
\end{equation*}
由于\((bJ)^n=0\)，所以根据上题结论
\begin{equation*}
B^{-1}=E-bJ=\begin{pmatrix}
1&-b&&&\\
&1&-b&&\\
&&\ddots&\ddots&\\
&&&1&-b\\
&&&&1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
3.
设\(n\)维列向量\(X=(a,0,\cdots ,0,a)^T,a<0\)。若矩阵\(A=E-XX^T\)与\(B=E+2XX^T\)互逆，求\(a\)。
解答.
\(AB=(E-XX^T)(E+2XX^T)=E-XX^T+2XX^T-2X(X^TX)X^T=E+(1-4a^2)XX^T\)。因为\(A,B\)互逆，\(AB=E\)。因为\(a<0\)，\(XX^T\ne0\)，所以\(1-4a^2=0\)，推出\(a=-\frac{1}{2}\)。
4.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^3=2E,B=A^2-A+E\)。证明：\(B\)可逆，并求\(B^{-1}\)。
解答.
因为\(A^3=2E\)，所以
\begin{equation*}
(A^2-A+E)\left[\frac{1}{3}(A+E)\right]=E=\left[\frac{1}{3}(A+E)\right](A^2-A+E).
\end{equation*}
故\(B\)可逆，且\(B^{-1}=\frac{1}{3}(A+E)\)。
5.
证明：
- 若\(A\)是可逆（反）对称矩阵，则\(A^{-1}\)也是（反）对称矩阵；
- 若\(A\)是可逆上（下）三角矩阵，则\(A^{-1}\)也是上（下）三角矩阵。
解答.
-
证法一：对等式\(AA^{-1}=E\)两边取转置得\(E=(AA^{-1})^T=(A^{-1})^TA^T=(A^{-1})^TA\)。另一方面\(A^{-1}A=E=(A^{-1})^TA\)，所以\((A^{-1})^T=(A^{-1})\)。证法二：\((A^{-1})^T= (A^T)^{-1}=A^{-1}\)。
- 设\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\ & & \ddots&\vdots\\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}\)，\(B=(b_{ij})\)是\(A\)的逆矩阵，即有\(AB=E\)，比较\(E\)和\(AB\) 的第一列元素\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} 1 & = & a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots+a_{1n}b_{n1}\\ 0 & = & \phantom{a_{11}b_{11}+} a_{22}b_{21}+\cdots+a_{2n}b_{n1}\\ & \vdots &\\ 0 & = & \phantom{a_{11}b_{11}+}a_{n-1,n-1}b_{n-1,1}+a_{n-1,n}b_{n,1}\\ 0 & = & \phantom{a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots+}a_{nn}b_{n1} \end{array}\right. \end{equation*}\(A\)可逆，所以对角元全非\(0\)，从最后一个方程向前解，可得\(b_{n1}=b_{n-1,1}=\cdots=b_{21}=0 \)。类似的，可以证明当\(i>j\)时，\(b_{ij}=0\)，\(B=A^{-1}\)是上三角矩阵。同理可证下三角情形。
6.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(a\in\mathbb{F}\)，证明：\((aA)^*=a^{n-1}A^*\)。
解答.
记\(A_{ij}\)为矩阵\(A\)第\((i,j)\)元素的代数余子式。因为\(aA\)第\((i,j)\)元素的代数余子式
\begin{equation*}
(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}
aa_{11}&\cdots&aa_{1,j-1}&aa_{1,j+1}&\cdots&aa_{1n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
aa_{i-1,1}&\cdots&aa_{i-1,j-1}&aa_{i-1,j+1}&\cdots&aa_{i-1,n}\\
aa_{i+1,1}&\cdots&aa_{i+1,j-1}&aa_{i+1,j+1}&\cdots&aa_{i+1,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
aa_{n1}&\cdots&aa_{n,j-1}&aa_{n,j+1}&\cdots&aa_{nn}\\
\end{vmatrix}=a^{n-1}A_{ij},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
(aA)^*=\begin{pmatrix}
a^{n-1}A_{11}&a^{n-1}A_{21}&\cdots&a^{n-1}A_{n1}\\
a^{n-1}A_{12}&a^{n-1}A_{22}&\cdots&a^{n-1}A_{n2}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a^{n-1}A_{1n}&a^{n-1}A_{2n}&\cdots&a^{n-1}A_{nn}
\end{pmatrix}=a^{n-1}A^*.
\end{equation*}
7.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
-2&1&3\\
3&-1&2
\end{pmatrix}\)，计算\(A^{-1}\)，并求\(\sum\limits_{i,j=1}^3A_{ij}\)。
解答.
由于\(\det A = 6\)，\(A^*=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 1\\
13 & 5 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\)，故
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*=\begin{pmatrix}
\frac{5}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\
\frac{13}{6} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{6}\\
-\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
且
\begin{equation*}
\sum\limits_{i,j=1}^3A_{ij}=25.
\end{equation*}
8.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&2&0&0\\
1&1&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&3
\end{pmatrix}\)，计算\(A^{-1}\)。
解答.
\(A=\begin{pmatrix}
B&0\\0&C
\end{pmatrix}\)，其中\(B=\begin{pmatrix}
1&2\\1&1
\end{pmatrix}\)，\(C=\begin{pmatrix}
2&0\\0&3
\end{pmatrix}\)。因为\(\det B=-1\)且
\begin{equation*}
B^*=\begin{pmatrix}
1&-2\\-1&1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
B^{-1}=\frac{1}{\det B}B^*=\begin{pmatrix}
-1&2\\1&-1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
又\(C^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}
\end{pmatrix}\)，因此
\begin{equation*}
A^{-1}=\begin{pmatrix}
B^{-1}&0\\0&C^{-1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1&2&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&0\\0&0&0&\frac{1}{3}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
9.
设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，且\(\det A=2,\det B=3\)。求
- \(\det (-A^*B^{-1})\)；
- \(\det (A^{-1}-2A^*)\)。
解答.
- 因为\(\det A^*=(\det A)^{n-1}=2^{n-1},\det B^{-1}=\frac{1}{\det B}=\frac{1}{3}\)，所以\begin{equation*} \det (-A^*B^{-1})=(-1)^n\cdot\det A^*\cdot\det B^{-1}=\frac{(-1)^n\cdot 2^{n-1}}{3}. \end{equation*}
- 因为\(A^*=\det A\cdot A^{-1}=2A^{-1}\)，所以\begin{equation*} \det (A^{-1}-2A^*)=\det (-3A^{-1})=(-3)^n\cdot\det A^{-1}=\frac{(-3)^n}{2}. \end{equation*}
10.
证明：如果\(n\)阶方阵\(A\)可逆，那么\(A^*\)也可逆且\(\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*\)。
解答.
因\(A\)可逆，\(\det A\neq 0\)，故\(\det A^*=(\det A)^{n-1}\neq 0\)，即\(A^*\)可逆。
\begin{equation*}
\left(A^*\right)^{-1}=\left(\det A\cdot A^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{\det A}A=\det A^{-1}\cdot \left(A^{-1}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*.
\end{equation*}
11.
设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，且\(AB=A+B\)。证明：\(A-E\)、\(B-E\)均可逆且\(AB=BA\)。
解答.
因为\(AB=A+B\)，所以\((A-E)(B-E)=E\)。从而\(A-E\)、\(B-E\)均可逆且\((A-E)^{-1}=B-E\)。于是\((B-E)(A-E)=E\)，即\(BA=A+B\)。因此\(AB=BA\)。
12.
设\(A,B,C\)都是\(n\)阶方阵，满足\(B=E+AB,C=A+CA\)，证明\(B-C=E\)。
解答.
因\(B=E+AB\)，即\((E-A)B=E\)，所以\(E-A\)可逆且\((E-A)^{-1}=B\)。又\(C=A+CA\)，即\(C(E-A)=A\)，所以\(C=A(E-A)^{-1}=AB\)。因此
\begin{equation*}
B-C=B-AB=E.
\end{equation*}
13.
元素皆为整数的矩阵称为整矩阵。设\(n\)阶方阵\(A\)为整矩阵，证明以下两条等价：
- \(A\)可逆且\(A^{-1}\)仍为整矩阵；
- \(A\)的行列式绝对值为\(1\)。
解答.
“\((1)\Rightarrow (2)\)”因为\(A,A^{-1}\)为整矩阵，所以\(\det A,\det A^{-1}\)均为整数。由\(AA^{-1}=E\)知\(\det A\cdot\det A^{-1}=1\)，故\(\det A=\det A^{-1}=\pm 1\)，结论成立。
“\((2)\Rightarrow (1)\)”因\(\det A=\pm 1\neq 0\)，故\(A\)可逆且\(A^{-1}=\pm A^*\)。注意到\(A\)是整矩阵，所以\(A\)的所有元素的代数余子式均为整数，\(A^*\)是整矩阵。从而\(A^{-1}\)也为整矩阵。
14.
设\(A\)是\(n\)阶非零实方阵\((n\geq 3)\)，且\(A\)的每一个元素都等于它的代数余子式。
- 求\(\det A\)；
- 证明：\(A\)可逆，且\(AA^T=E\)。
解答.
- 由\(A\)的每一个元素都等于它的代数余子式可知\(A^*=A^T\)，则\begin{equation*} AA^{T}=AA^*=(\det A)E, \end{equation*}推出\((\det A)\cdot (\det A^T)=(\det A)^{n}\)，即\((\det A)^2\cdot[(\det A)^{n-2}-1]=0\)，则\(\det A=0\)或\(\det A=\pm 1\)。因\(A\neq 0\)，所以存在\(1\leq i\leq n,1\leq j\leq n\)使得\(a_{ij}\neq 0\)。由\(a_{ik}\in\mathbb{R}\)且\(a_{ik}=A_{ik},\forall 1\leq k\leq n\)，得\begin{equation*} \det A=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}^2> 0, \end{equation*}故\(\det A=1\)。
- 由a知，\(\det A=1\neq 0\)，所以\(A\)可逆且\(AA^*=E\)。注意到\(A^*=A^T\)，故\begin{equation*} AA^T=E. \end{equation*}
15.
设\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是数域\(\mathbb{F}\)上互不相同的数，求下列线性方程组的解
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
x_1+a_1x_2+a_1^2x_3+\cdots+a_1^{n-1}x_n=1,\\
x_1+a_2x_2+a_2^2x_3+\cdots+a_2^{n-1}x_n=1,\\
\cdots\cdots\\
x_1+a_nx_2+a_n^2x_3+\cdots+a_n^{n-1}x_n=1.
\end{array}\right.
\end{equation*}
解答.
该方程组的系数行列式为
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^{n-1}\\
1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&a_n&a_n^2&\cdots&a_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq j<i\leq n}(a_i-a_j),
\end{equation*}
由于\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)互不相同，所以\(\det A\neq 0\)。由Cramer法则，该方程组有唯一解
\begin{equation*}
x_i=\frac{\det A_i}{\det A},\ i=1,2,\cdots ,n,
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
\det A_1=\begin{vmatrix}
1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^{n-1}\\
1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&a_n&a_n^2&\cdots&a_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\det A,
\end{equation*}
而当\(2\leq i\leq n\)时，
\begin{equation*}
\det A_i=\begin{vmatrix}
1&a_1&\cdots&a_1^{i-2}&1&a_1^i&\cdots&a_1^{n-1}\\
1&a_2&\cdots&a_2^{i-2}&1&a_2^i&\cdots&a_2^{n-1}\\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&a_n&\cdots&a_n^{i-2}&1&a_n^i&\cdots&a_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
因此，线性方程组的解为
\begin{equation*}
x_1=1,x_2=x_3=\cdots =x_n=0.
\end{equation*}
16.
若线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
x_1+x_2+x_3+ax_4=0,\\
x_1+2x_2+x_3+x_4=0,\\
x_1+x_2-3x_3+x_4=0,\\
x_1+x_2+ax_3+bx_4=0\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
有非零解，则\(a,b\)应满足什么条件？
解答.
该方程组有非零解当且仅当
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
1&1&1&a\\
1&2&1&1\\
1&1&-3&1\\
1&1&a&b
\end{vmatrix}= 0,
\end{equation*}
即\(a^2+2a+1-4b=0\)。
