节 3.4 子空间
建设中！
子节 3.4.1 主要知识点
例 3.4.2.
任意非零线性空间\(V\)，只含零元素的子集\(0\)是\(V\)的子空间，称为零子空间； 线性空间\(V\)本身也是\(V\)的一个子空间。这两个子空间称为\(V\)的平凡子空间，其它子空间称为非平凡子空间。
备注 3.4.3.
线性子空间也是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，它也有维数与基的概念。
任一子空间的维数不能超过整个空间的维数。
设\(U\)是\(V\)的非平凡子空间，则\(0<\dim U<\dim V\)。
例 3.4.4.
任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间。
例 3.4.5.
判断下列集合是否是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间。
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶反对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵和反对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶上三角矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶下三角矩阵构成的集合。
例 3.4.6.
设\(U=\left\{\left(\begin{array}{cc}
a&b\\c&d
\end{array}\right)\Big{|}ad=0\right\}\)，判断\(U\)是否为\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间。
- 设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集， 包含\(S\)的子空间应该满足什么条件？
定义 3.4.7.
设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集，则\begin{equation*} \{a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_m\alpha_m|m\in\mathbb{Z}^+,a_i\in \mathbb{F},\alpha_i\in S,i=1,\cdots,m\} \end{equation*}是\(V\)的子空间， 称做由\(S\)生成的子空间， 记为\(\langle S\rangle\)。 - 特别地， 若\(S=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\)，则\begin{align*} \langle S\rangle & = & \{a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_m\alpha_m|a_i\in \mathbb{F},i=1,2,\cdots,m\}\\ & \triangleq &\blue{ \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\rangle} \end{align*}
备注 3.4.8.
- \(\alpha\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} \alpha\in \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle ; \end{equation*}
- \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle \subseteq \langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle \end{equation*}
- \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价的充要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle =\langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle \end{equation*}
定理 3.4.9.
设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集，则
- \(\langle S\rangle \)是包含\(S\)的\(V\)的最小子空间；
- \(S\)的极大无关组是\(\langle S\rangle \)的基；
- \(\dim \langle S\rangle =r(S)\)。
设\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)是线性空间\(V\)的一个基，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\)，若
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)A_{n\times s},
\end{equation*}
则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与矩阵\(A\)的列向量组具有相同的线性相关性。所以可对矩阵\(A\)作初等行变换化阶梯阵来求向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组，从而求出生成子空间\(\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle \)的基与维数。
例 3.4.10.
设\(V\)为数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)为\(V\)的一个基，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in V\text{,}\)且
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\alpha_1=\xi_1+2\xi_2+3\xi_3+4\xi_4\\\alpha_2=2\xi_1-\xi_2+3\xi_3+4\xi_4\\\alpha_3=\xi_1+3\xi_2-3\xi_4
\end{array}
\end{equation*}
求生成子空间\(\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rangle \)的一个基与维数。
定义 3.4.11.
设\(V_1,V_2\)是线性空间\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1\bigcap V_2=\{\alpha |\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}
\end{equation*}
是\(V\)的子空间，称为\(V_1\)与\(V_2\)的交空间。
例 3.4.12.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵， \(B\)是\(s\times n\)矩阵， \(V\)是\(AX=0\)的解空间， \(U\)是\(BX=0\)的解空间， 则\(V\bigcap U\)是
\begin{equation*}
\left(\begin{array}{c}
A\\B
\end{array}\right)X=0
\end{equation*}
的解空间。
定义 3.4.13.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1+V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}
\end{equation*}
是\(V\)的子空间，称为\(V_1\)与\(V_2\)的和空间。设\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是线性空间\(V\)的子空间，则
- \begin{equation*} V_1\bigcap V_2\bigcap\cdots\bigcap V_s=\{\alpha|\alpha\in V_i,i=1,2,\cdots,s\} \end{equation*}是\(V\)的子空间，称为\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)的交空间。
- \begin{equation*} V_1+V_2+\cdots+V_s=\{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s|\alpha_i\in V_i,i=1,2,\cdots,s\} \end{equation*}是\(V\)的子空间，称为\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)的和空间。
例 3.4.14.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\in V\)，则
\begin{equation*}
\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle +\langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle =\langle \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots,\beta_t\rangle
\end{equation*}
例 3.4.15.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则\(\langle V_1\bigcup V_2\rangle =V_1+V_2\)。
- 即和空间\(V_1+V_2\)是包含\(V_1\bigcup V_2\)的最小的子空间。
例 3.4.16.
设\(V_1,V_2\)是\(\mathbb{R}^3\)中两个过原点的平面，求\(V_1\bigcap V_2,V_1+V_2\)。
解答.
当\(V_1,V_2\)重合时，则\({V_1} \cap {V_2} = {V_1}=V_1+V_2\)。
当\(V_1,V_2\)不重合时，则\({V_1} \cap {V_2}\)是过原点的直线，\(V_1+V_2=\mathbb{R}^3\)。
例 3.4.17.
设\(V_1=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=A\},V_2=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=-A\}\)，求\(V_1\bigcap V_2,V_1+V_2\)。
解答.
\(V_1\bigcap V_2=0,\ V_1+V_2=\mathbb{F}^{n\times n}\)。
定理 3.4.18.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
{\rm{dim}}({V_{\rm{1}}} + {V_{\rm{2}}}) = {\rm{dim}}{V_{\rm{1}}} + {\rm{dim}}{V_{\rm{2}}} - {\rm{dim(}}{V_{\rm{1}}} \cap {V_{\rm{2}}}{\rm{)}}
\end{equation*}
例 3.4.19.
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\alpha _1} = (1,2,1,0)^T,\alpha _2 = ( - 1,1,1,1)^T,\\\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,\end{array}
\end{equation*}
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle +\langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基；
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \bigcap \langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基。
例 3.4.20.
设\(V_1,V_2\)是线性空间\(V\)的非平凡子空间， 则必存在\(\alpha\in V\)， 使得
\begin{equation*}
\alpha\notin V_1\bigcup V_2
\end{equation*}
例 3.4.21.
设\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是线性空间\(V\)的非平凡子空间，则存在\(\alpha\in V\)，使得
\begin{equation*}
\alpha\notin V_1\bigcup V_2\bigcup\cdots\bigcup V_s
\end{equation*}
练习 3.4.2 练习
1.
判断下列数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)元方程的解集是否为\(\mathbb{F}^n\)的子空间：
- \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
- \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
- \(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。
2.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&1&0\\0&1&1\\0&0&1
\end{pmatrix},C(A)=\left\{B\in\mathbb{F}^{3\times 3}|AB=BA\right\}\)，求\(C(A)\)的一个基和维数。
3.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵，\(U=\{B\in\mathbb{F}^{n\times n}|AB=0\}\)。
- 证明：\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间；
- 设\(r(A)=r\)，求\(U\)的维数和一个基。
4.
设\(A\)是\(m\times n\)行满秩实矩阵，\(B=A^TA\)。令\(V=\left\{X\in\mathbb{R}^n\ |\ X^TBX=0\right\}\)，证明：\(V\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个子空间，并求\(\dim V\)。
5.
设\(V_1\)、\(V_2\)是线性空间\(V\)的子空间且\(V_1\subseteq V_2\)。证明：\(V_1=V_2\)的充分必要条件是\(\dim V_1=\dim V_2\)。
6.
在线性空间\(\mathbb{F}^n\)中，证明：
- 存在\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)，使得\(U\)中任一非零向量的分量均不为零；
- 若\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)中任一非零向量的分量均不为零，则\(\dim U=1\)。
7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是线性空间\(V\)中的向量，若它们两两线性无关但全体线性相关，证明：
\begin{equation*}
\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle.
\end{equation*}
8.
在\(\mathbb{F}^{2\times 3}\)中，\(U=\langle A_1,A_2,A_3\rangle\)，其中
\begin{equation*}
A_1=\begin{pmatrix}
1&3&-2\\2&1&1
\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}
1&4&-3\\4&2&1
\end{pmatrix},A_3=\begin{pmatrix}
2&3&-1\\-2&-1&2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求\(U\)的维数和一个基。
9.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\)，其中\(A_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*}
V=\{\ AX\ |\ X\in\mathbb{F}^n\ \}.
\end{equation*}
求证：
- \(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间；
- \(V=\langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle\)；
- \(\dim V=r(A)\)。
10.
求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数：
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} \alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\ \alpha_2=(-1,1,1,1)^T, \end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c} \beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\ \beta_2=(1,-1,3,7)^T; \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_1=\begin{pmatrix} 1&2\\-1&-2 \end{pmatrix},\\\alpha_2=\begin{pmatrix} 3&1\\1&1 \end{pmatrix},\\\alpha_3= \begin{pmatrix} -1&0\\1&-1 \end{pmatrix},\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l} \beta_1=\begin{pmatrix} 2&5\\-6&-5 \end{pmatrix},\\\beta_2=\begin{pmatrix} -1&2\\-7&3 \end{pmatrix}. \end{array}\right. \)
11.
证明：\(\mathbb{F}^n\)的任意一个子空间都是某一\(n\)元齐次线性方程组的解空间。
12.
证明：\(\mathbb{F}^n\)的任意一个真子空间都是若干个\(n-1\)维子空间的交。
13.
设\(V_1\)、\(V_2\)是线性空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间的充要条件是\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。
14.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，写出\(V\)的\(s(s\geq 2)\)个有限维子空间\(V_1,V_2,\cdots ,V_s\)的相应维数公式，并予以证明。
15.
设\(V_1,V_2,V_3\)是\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)
\end{equation*}
未必成立。
