定义 5.1.1.
设\(\mathbb{F}\)是一个数域，\(x\)为\(\mathbb{F}\)上的未定元，\(a_i\in\mathbb{F},\ i=0,1,\ldots,n\)，\(n\in \mathbb{Z}^+\)，称
\begin{equation*}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
\end{equation*}
为\(\mathbb{F}\)上关于\(x\)的一元多项式。
节 5.1 一元多项式和运算
建设中！
本节主要内容 - 一元多项式的定义、运算及性质。
子节 5.1.1 主要知识点
- \(a_ix^i\)：第\(i\)次项，\(a_i\)：第\(i\) 次项系数；
- 当\(a_n\ne 0\)时，称\(f(x)\)为\(n\)次多项式；多项式\(f(x)\)的次数记为\(\deg f(x)\)；
- \(a_nx^n\)：首项；\(a_n\)：首项系数；\(a_0\)：常数项；
- 当\(a_n=1\)时，\(f(x)\)称为首一多项式 。
- \(\mathbb{F}\)上一元多项式全体记为\(\mathbb{F}[x]\)。
- 常数项多项式：\(f(x)=a_0\)，\(a_0\in \mathbb{F}\)
- 零多项式：\(f(x)=0\)，
- 约定\(\deg(0)=-\infty\)；
- 零次多项式：\(f(x)=a_0\ne 0\)；
- \(f(x)\ne 0\Leftrightarrow f(x)\)首项系数非零 \(\Leftrightarrow\deg f(x)\ge 0\)。
定义 5.1.2.
两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等 即若
\begin{align*}
f(x) & = & a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0;\\
g(x) & = & b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0,
\end{align*}
则\(f (x) = g(x)\)当且仅当\(m = n\)， \(a_i = b_i\)， \(i = 0, 1, \ldots, n\)。定义 5.1.3.
设
\begin{align*}
f(x) & = & a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0;\\
g(x) & = & b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0.
\end{align*}
定义多项式加法
\begin{equation*}
f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(a_0+b_0).
\end{equation*}
加法运算性质
- 结合律： \((f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\)；
- 交换律：\(f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\)；
- 存在零元：\(f(x)+0=f(x)\)；
- 存在负元：\(f(x)+(-f(x))=0\)，其中\begin{equation*} -f(x)=\sum_{i=0}^n -a_ix^i. \end{equation*}
多项式的数乘
定义 5.1.4.
设\(c\in \mathbb{F}\)，\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，
\begin{equation*}
f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0.
\end{equation*}
定义\(c\)与\(f(x)\)的 数乘 为
\begin{equation*}
cf(x) = ca_nx^n+ca_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ca_0,
\end{equation*}
则\(cf (x)\in \mathbb{F}[x]\)。数乘运算的性质
- \(c(f(x)+g(x))=cf(x)+cg(x) \)；
- \((c+d)f(x)=cf(x)+df(x) \)；
- \((cd)f(x)=c(df(x))\)；
- \(1\cdot f(x)=f(x)\)。
定理 5.1.5.
\(\mathbb{F}[x]\)关于多项式的加法与数乘构成\(\mathbb{F}\)上的线性空间。
- \(\mathbb{F}[x]\)是无限维线性空间。对任意正整数\(n\)，\(1,x,x^2,\ldots,x^n\)线性无关。
多项式乘法
定义 5.1.6.
\begin{align*}
f(x) & = & a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in \mathbb{F}[x];\\
g(x) & = & b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0\in \mathbb{F}[x],
\end{align*}
定义\(f (x)\) 与\(g(x)\)的 乘积：\(f (x) g(x) = h(x)\)，其中
\begin{align*}
h(x) & = & c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\cdots+c_0\\
c_{n+m}& = &a_nb_m\\
c_{n+m-1}& = &a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m\\
& & \cdots \\
c_k & = & \sum_{i+j=k}a_ib_j=a_kb_0+a_{k-1}b_1+\cdots+a_1b_{k-1}+a_0b_k\\
& & \cdots\\
c_0 & = & a_0b_0
\end{align*}
多项式乘法性质
- \(( f (x) g(x))h(x) = f (x) (g(x) h(x))\)；
- \(f (x) g(x) = g(x) f (x)\)；
- \((f (x)+g(x)) h(x) = f (x) h(x)+ g(x) h(x)\)；
- \(c ( f (x) g(x))=(c f (x)) g(x) = f (x)(c g(x))\)；
- \(\displaystyle 1\cdot f (x) = f (x) \)
定理 5.1.7.
\(\mathbb{F}[x]\)关于多项式的加法，数乘和乘法构成\(\mathbb{F}\)上的有单位元的交换代数。
多项式的次数
设\(f (x)\)、\(g(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，则
\begin{gather*}
\deg ( f (x) + g(x)) \le \max\{\deg f (x) ,\ \deg g(x)\} \\
\deg (cf (x)) = \deg f (x) ,\quad 0 \ne c\in \mathbb{F}\\
\deg (f (x)g(x)) = \deg f (x) + \deg g(x)
\end{gather*}
- 特殊情况：\begin{align*} & & \deg(f(x)g(x))=0\\ &\Leftrightarrow & \deg f(x)=0,\deg g(x)=0\\ &\Leftrightarrow & f(x)=a_0\ne 0,g(x)=b_0\ne 0 \end{align*}
多项式的消去律
若 \(f(x)\ne 0\)， \(f (x) g(x) = f (x) h(x)\)，则
\begin{equation*}
g(x) = h(x).
\end{equation*}
引理 5.1.8.
\(f (x)\)、 \(g(x)\in \mathbb{F}[x]\)。 \(f (x)\ne0\)，\(g(x)\ne0\)， 则
\begin{equation*}
f (x)g(x)\ne0.
\end{equation*}
练习 5.1.2 练习
1.
设
\begin{equation*}
f(x)=2x^4+2x^3-x^2+5x-5,g(x)=-4x^2+3x-2,
\end{equation*}
求\(f(x)+g(x),f(x)g(x)\)。
解答.
\begin{gather*}
f(x)+g(x)=2x^4+2x^3-5x^2+8x-7,\\
f(x)g(x)=-8x^6-2x^5+6x^4-27x^3+37x^2-25x+10.
\end{gather*}
2.
设\(f(x)=x^2-x+2\)，
- 求\(f(A)\)，其中\(A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}\)；
- 求\(f(\varphi)\)，其中\(\varphi:\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^2,\ (a,b)^T\mapsto (b,a)^T\)；
- 求\(f(i)\)，其中\(i^2=-1\)；
- 求\(f(f(x))\)。
解答.
- \(f(A)=A^2-A+2E=\begin{pmatrix} 2&1\\0&2 \end{pmatrix}\)。
- \(\because f(\varphi)=\varphi^2-\varphi+2id_V\)，\(\therefore f(\varphi):\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^2,\ (a,b)^T\mapsto (3a-b,3b-a)^T\)。
- \(f(i)=i^2-i+2=1-i\)。
- \(f(f(x))=f(x)^2-f(x)+2=x^4-2x^3+4x^2-3x+4\)。
3.
对任意非零多项式\(f(x)\)，证明：\(\deg f\left(f(x)\right)=\left(\deg f(x)\right)^2\)。
解答.
设
\begin{equation*}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,
\end{equation*}
其中\(a_n\neq 0\)，则\(\deg f(x)=n\)且
\begin{equation*}
f\left(f(x)\right)=a_nf(x)^n+a_{n-1}f(x)^{n-1}+\cdots+a_1f(x)+a_0=a_n^{n+1}x^{n^2}+\cdots,
\end{equation*}
这里\(a_n^{n+1}\neq 0\)，故\(\deg f\left(f(x)\right)=n^2=\left(\deg f(x)\right)^2\)。
4.
- 设\(f(x)=\begin{vmatrix} 2x&3&1&2\\ x&x&0&5\\ 2&-2&x&1\\ x&2&-1&4x \end{vmatrix}\)，求\(x^4\)项的系数、\(x^3\)项的系数和常数项。
- 设\(A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\)为数域\(\mathbb{F}\)上三阶方阵，\begin{equation*} f(x)=\det \left(xE_3-A\right), \end{equation*}求\(f(x)\)中\(x^3\)项的系数、\(x^2\)项的系数和常数项。
解答.
-
多项式\(f(x)\)等于四阶行列式取自不同行且不同列元素乘积的代数和，而行列式的元素是次数不超过1的多项式，因此要得到\(f(x)\)的4次项，要求每个元素都含\(x\)，故\(x^4\)项的系数为\(8\)。同理，求\(f(x)\)的3次项，只要求三个元素含\(x\)即可，计算得\(x^3\)项的系数为\(-14\)。常数项为\(f(0)=\begin{vmatrix} 0&3&1&2\\ 0&0&0&5\\ 2&-2&0&1\\ 0&2&-1&0 \end{vmatrix}=50\)。
-
多项式\begin{equation*} f(x)=\begin{vmatrix} x-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\ -a_{21}&x-a_{22}&-a_{23}\\ -a_{31}&-a_{32}&x-a_{33} \end{vmatrix} \end{equation*}等于三阶行列式取自不同行且不同列元素乘积的代数和，而行列式的元素是次数不超过1的多项式，因此要得到\(f(x)\)的3次项，要求每个元素都含一次项，即\(x^3\)只出现在\((x-a_{11})(x-a_{22})(x-a_{33})\)中，故\(x^3\)项的系数为\(1\)。同理，\(f(x)\)的2次项只出现在\((x-a_{11})(x-a_{22})(x-a_{33})\)中，计算得\(x^2\)项的系数为\(-a_{11}-a_{22}-a_{33}\)，即\(-{\rm tr}(A)\)。常数项为\(f(0)=(-1)^3\det A\)。
5.
设\(f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{R}[x]\)，满足\(xf^2(x)+xg^2(x)=h^2(x)\)。证明：
\begin{equation*}
f(x)=g(x)=h(x)=0.
\end{equation*}
问这个结论在复数域上成立否?若成立，请证明；若不成立，请举例说明。
解答.
假设\(h(x)\neq 0\)，由\(xf^2(x)+xg^2(x)=h^2(x)\)知\(f(x),g(x)\)不全为0。不妨设\(\deg f(x)\geq\deg g(x)\)，且\(a_nx^n,b_mx^m,c_lx^l\)分别是多项式\(f(x),g(x),h(x)\)的最高次项，其中\(a_n\neq 0, c_l\neq 0\)，则\(xf^2(x)+xg^2(x)\)的最高次项为
\begin{equation*}
a_n^2x^{2n+1}\mbox{或}(a_n^2+b_n^2)x^{2n+1}.
\end{equation*}
注意到\(f(x),g(x)\in\mathbb{R} [x]\)，因此\(a_n^2\)及\(a_n^2+b_n^2\)均非0，从而\(\deg \left(xf^2(x)+xg^2(x)\right)=2n+1\)是奇数。但\(\deg h^2(x)=2l\)是偶数，这与题设\(xf^2(x)+xg^2(x)=h^2(x)\)相矛盾。因此\(h(x)=0\)。
由\(xf^2(x)+xg^2(x)=0\)及消去律得\(f^2(x)+g^2(x)=0\)。注意到\(f(x),g(x)\in\mathbb{R} [x]\)，故\(f(x)=g(x)=0\)。
上述命题在复数域上是不成立的。例如取 \(f(x)=1,g(x)=i,h(x)=0\)。
6.
在线性空间\(\mathbb{F}[x]\)中，记
\begin{equation*}
\mathbb{F}[x]_n=\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\ |\ a_i\in\mathbb{F},i=0,1,\cdots ,n\}.
\end{equation*}
- 证明：\(\mathbb{F}[x]_n\)是\(\mathbb{F}[x]\)的子空间；
- 求\(\mathbb{F}[x]_n\)的基和维数；
- 证明：\(\mathbb{F}[x]_n\cong\mathbb{F}^{n+1}\)，并写出一个同构映射。
解答.
-
因为\(0\in\mathbb{F} [x]_n\)，所以\(\mathbb{F} [x]_n\)是\(\mathbb{F} [x]\)的非空子集。对任意\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]_n,a,b\in\mathbb{F}\)，有\begin{equation*} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0,g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_0, \end{equation*}其中\(a_i,b_i\in \mathbb{F},i=0,1,\cdots ,n\)，则\begin{equation*} af(x)+bg(x)=(aa_n+bb_n)x^n+(aa_{n-1}+bb_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(aa_0+bb_0) \end{equation*}且\(aa_i+bb_i\in\mathbb{F} ,i=0,1,\cdots ,n\)，即\(af(x)+bg(x)\in\mathbb{F} [x]_n\)。因此\(\mathbb{F}[x]_n\)是\(\mathbb{F}[x]\)的子空间。
-
我们断言，\(1,x,\cdots ,x^n\)是\(\mathbb{F}[x]_n\)的一个基。事实上，设\(k_0\cdot 1+k_1x+\cdots +k_nx^n=0\)，由于右边是零多项式，利用多项式相等的定义，得\(k_0=k_1=\cdots =k_n=0\)，故\(1,x,\cdots ,x^n\)线性无关。 对任意\(f(x)\in\mathbb{F}[x]_n\)，存在\(a_0,a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{F}\)，使得\begin{equation*} f(x)=a_0\cdot 1+a_1x+\cdots +a_nx^n. \end{equation*}因此，\(1,x,\cdots ,x^n\)是\(\mathbb{F}[x]_n\)的一个基，\(\dim\mathbb{F}[x]_n=n+1\)。
- \(\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{F}[x]_n=\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{F}^{n+1}=n+1\)，故\(\mathbb{F}[x]_n\cong\mathbb{F}^{n+1}\)。\begin{equation*} \varphi:\mathbb{F}[x]_n\rightarrow\mathbb{F}^{n+1},a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\mapsto (a_n,a_{n-1},\cdots ,a_0)^T \end{equation*}是同构映射。
7.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的一个线性变换。证明：存在\(\mathbb{F} [x]\)中一个次数不超过\(n^2\)的非零多项式\(f(x)\)，使得\(f(\varphi)=0\)。
解答.
因为\(\dim\mathcal{L} (V)=n^2\)，所以\(\mathcal{L}(V)\)中\(n^2+1\)个元素\(id_V,\varphi,\varphi^2,\cdots ,\varphi^{n^2}\)必线性相关，即存在不全为0的数\(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_{n^2}\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
a_0 id_V+a_1\varphi+a_2\varphi^2+\cdots +a_{n^2}\varphi^{n^2}=0.
\end{equation*}
令\(f(x)=a_{n^2}x^{n^2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\)，则\(0\neq f(x)\in\mathbb{F} [x]\)满足\(\deg f(x)\leq n^2\)，且
\begin{equation*}
f(\varphi)=a_{n^2}\varphi^{n^2}+\cdots +a_2\varphi^2+a_1\varphi+a_0 id_V=0.
\end{equation*}
