定义 6.1.1.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵, 若存在\(\lambda\in\mathbb{F},{\color{blue}{0\neq}}X\in\mathbb{F}^n\)，使得
\begin{equation*}
AX=\lambda X,
\end{equation*}
则称\(\lambda\)是\(A\)的一个 特征值，\(X\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的一个 特征向量。节 6.1 特征值与特征向量
建设中！
子节 6.1.1 主要知识点
定义 6.1.2.
设\(\lambda_0\)是\(A\)的一个特征值，则
\begin{equation*}
V_{\lambda_0}=\{X \in\mathbb{F}^n|\ AX=\lambda_0 X\}
\end{equation*}
是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，称之为\(A\)的属于特征值\(\lambda_0\)的 特征子空间。定义 6.1.3.
\begin{equation*}
\det (\lambda E_n-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\
-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}
\end{array}\right|
\end{equation*}
称为\(A\)的 特征多项式，记为\(f_A(\lambda)\)。备注 6.1.4.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，则
- \(\lambda_0\)是\(A\)的特征值\(\Leftrightarrow\ \lambda_0\)是\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)中的根。
- \(\alpha\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda_0\)的特征向量\(\Leftrightarrow\ \alpha\)是齐次线性方程组\((\lambda_0E-A)X=0\)的一个非零解。
特征值、特征向量的求法步骤
- 计算\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)=\det (\lambda E-A)\)；
- 求出\(f_A(\lambda)\)的所有根，在\({\color{blue}{\mathbb{F}}}\)中的是特征值；
- 对每个特征值\(\lambda_0\)，求齐次线性方程组\((\lambda_0E-A)X=0\) 的一个基础解系\(X_1, X_2, \cdots , X_s\)， 则\begin{equation*} c_1 X_1 + c_2X_2 + \cdots + c_sX_s \end{equation*}即是对应于特征值\(\lambda_0\)的全部特征向量, 其中\(c_i\)为\(\mathbb{F}\)上不全为零的常数。
定理 6.1.5.
设\(A\)是\(n\)阶方阵, 则
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=f_{A^T}(\lambda).
\end{equation*}
因而\(A\)与\(A\)的转置\(A^T\)有相同的特征值。
定理 6.1.6.
设\(A,\ B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵, 若\(A\)相似于\(B\)， 则
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=f_{B}(\lambda).
\end{equation*}
因而相似矩阵有相同的特征值。
定理 6.1.7.
设\(A\)是\(n\)阶方阵, 记
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=\det (\lambda E-A)=\lambda^n-a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +(-1)^na_0,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
a_{n-1}=tr (A),\ a_0=\det A.
\end{equation*}
推论 6.1.8.
若\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(n\)阶方阵\(A\)的全部特征值, 则
\begin{equation*}
\det A=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n,\ tr (A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n.
\end{equation*}
推论 6.1.9.
设\(A\)是\(n\)阶方阵， 则\(A\)是可逆的充分必要条件是\(A\)的特征值全不为零。
例 6.1.10.
设\(A,\ B\)为\(n\)阶方阵，证明：\(f_{AB}(\lambda)=f_{BA}(\lambda)\)。
例 6.1.11.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times m}\)且\(m\geq n\)。证明：
- \(\det (\lambda E_m-AB)=\lambda^{m-n}\det (\lambda E_n-BA)\)；
- \(tr (AB)=tr (BA)\)。
定理 6.1.12.
数域\(\mathbb{F}\)上属于不同特征值的特征向量线性无关。
推论 6.1.13.
设\(n\)阶方阵\(A\)的不同特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)， 齐次线性方程组\((\lambda_iE-A)X=0\)的基础解系为\(X_{i1},X_{i2},\cdots,X_{is_i},(i=1,2,\cdots ,t)\)，则向量组
\begin{equation*}
X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t}
\end{equation*}
线性无关。即\(V_{\lambda_1}+V_{\lambda_2}+\cdots +V_{\lambda_t}\)是直和。
定理 6.1.14.
在复数域上任一\(n\)阶方阵必复相似于一个上三角阵。这时主对角线上元素就是它的所有特征值。
备注 6.1.15.
- 一般数域\(\mathbb{F}\)上的矩阵未必相似于\(\mathbb{F}\)上的上三角矩阵。
- 若数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵的特征值全在\(\mathbb{F}\)中， 则存在\(\mathbb{F}\)上可逆阵\(P\)，使\(P^{-1}AP\)是上三角矩阵。
例 6.1.16.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(g(x)\in\mathbb{F} [x]\)，证明：
- 若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(g(\lambda)\)是矩阵\(g(A)\)的特征值；
- 若\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(A\)的全部特征值, 则\(g(\lambda_1),g(\lambda_2),\cdots ,g(\lambda_n)\)是\(g(A)\)的全部特征值。
定义 6.1.17.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，若存在\(\lambda_0\in\mathbb{F}\)，\({\color{blue}{0\neq }}\alpha\in V\)， 使得
\begin{equation*}
\varphi (\alpha)=\lambda_0\alpha ,
\end{equation*}
则称\(\lambda_0\)是线性变换\(\varphi\)的一个特征值，\(\alpha\)为\(\varphi\) 的属于特征值\(\lambda_0\)的特征向量。 将
\begin{equation*}
V_{\lambda_0}=\{\alpha\in V|\ \varphi (\alpha)=\lambda_0\alpha\}
\end{equation*}
称为\(\varphi\)的属于特征值\(\lambda_0\)的特征子空间。备注 6.1.18.
\(V_{\lambda_0}\)是\(\varphi\)-子空间，且\(\varphi\)在\(V_{\lambda_0}\)上的限制\(\varphi|_{V_{\lambda_0}}\)是一个数量变换，即是一个伸缩变换。
定义 6.1.19.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\varphi\)在\(V\)的基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵为\(A\)，\(f_A(\lambda)\)是\(A\)的特征多项式。我们称\(f_A(\lambda)\)为\(\varphi\)的特征多项式，记为\(f_{\varphi}(\lambda)\)。练习 6.1.2 练习
1.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂等矩阵，即\(A^2=A\)。证明：\(A\)的特征值是\(0\)或\(1\)。
2.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{N}\)使得\(A^k=0\)。证明：\(A\)的特征值都是\(0\)。
3.
设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上\(m\times n\)矩阵，\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的一个特征值，证明：\(\lambda\)是非负实数。
4.
证明：如果任意非零向量都是方阵\(A\)的特征向量，则\(A\)是数量矩阵。
5.
求数域\(\mathbb{F}\)上矩阵\(A\)的全部特征值和特征向量：
(1)\(A=\begin{pmatrix}
6&2&4\\2&3&2\\4&2&6
\end{pmatrix}\)；(2)\(A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&a&b\\0&0&c
\end{pmatrix}\)，其中\(b\neq 0\)。
6.
设矩阵\(A=\begin{pmatrix}
-2&0&0\\2&a&2\\3&1&1
\end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\0&2&0\\0&0&b
\end{pmatrix}\)相似，求\(a,b\)和\(A\)的特征值。
7.
设\(3\)阶方阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-4\)，求\(tr (A)\)和\(\det A\)。
8.
设\(X=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)且\(XX^T=1\)，求\(E_n-2X^TX\)的特征值。
9.
设\(X,Y\)是矩阵\(A\)对应于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量，证明：\(X+Y\)不是\(A\)的特征向量。
10.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶可逆矩阵，特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)，证明：
- \(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值；
- \((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\(A^{*}\)的全部特征值。
11.
已知线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=1\\
2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\
x_1+2x_2+ax_3=3
\end{array}\right.
\end{equation*}
有无穷多解，\(A\)是\(3\)阶方阵，\(X_1=(1,a,0)^T,X_2=(-a,1,0)^T,X_3=(0,0,a)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。
- 求\(A\)；
- 求\(\det (A^*+2E)\)。
12.
设\(V\)是\(\mathbb{C}\)上的\(n\)维线性空间，\(\varphi ,\psi\)是\(V\)上的线性变换，且\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，证明：
- 如果\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，那么\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间；
- \(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。
13.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：\(A,B\)至少有一个公共的特征向量。
14.
设\(\mathbb{C}\)上\(m\)个\(n\)阶方阵\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)满足\(A_iA_j=A_jA_i(i,j=1,2,\cdots ,m)\)，证明：\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)至少有一个公共的特征向量。
15.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)同时为上三角矩阵。
16.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(V\)有一个子空间直和分解\(V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,\)其中\(V_i\)是\(\varphi\)-不变子空间。设\(\varphi\)限制在\(V_i\)上的特征多项式为\(f_i(\lambda)\)，证明：\(\varphi\)的特征多项式\(f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_m(\lambda)\)。
17.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，\(n_0\)是\(\lambda_0\)在特征多项式\(f_\varphi (\lambda)\)中的重数，证明：\(\dim V_{\lambda_0}\leq n_0\)。
18.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(W\)是\(\varphi\)-子空间。如果\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_k\)是\(\varphi\)的分别属于\(k\)个不同特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_k\)的特征向量，且\(\alpha_1+ \alpha_2 +\cdots +\alpha_k\in W\)，证明：\(\dim W\geq k\)。
