特征值与特征向量

节 6.1 特征值与特征向量

建设中！

子节 6.1.1 主要知识点

定义 6.1.1.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵, 若存在\(\lambda\in\mathbb{F},{\color{blue}{0\neq}}X\in\mathbb{F}^n\)，使得

\begin{equation*} AX=\lambda X, \end{equation*}

则称\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(X\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的一个特征向量。

定义 6.1.2.

设\(\lambda_0\)是\(A\)的一个特征值，则

\begin{equation*} V_{\lambda_0}=\{X \in\mathbb{F}^n|\ AX=\lambda_0 X\} \end{equation*}

是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，称之为\(A\)的属于特征值\(\lambda_0\)的特征子空间。

定义 6.1.3.

\begin{equation*} \det (\lambda E_n-A)=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array}\right| \end{equation*}

称为\(A\)的特征多项式，记为\(f_A(\lambda)\)。

备注 6.1.4.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，则

\(\lambda_0\)是\(A\)的特征值\(\Leftrightarrow\ \lambda_0\)是\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)中的根。
\(\alpha\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda_0\)的特征向量\(\Leftrightarrow\ \alpha\)是齐次线性方程组\((\lambda_0E-A)X=0\)的一个非零解。

特征值、特征向量的求法步骤

计算\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)=\det (\lambda E-A)\)；
求出\(f_A(\lambda)\)的所有根，在\({\color{blue}{\mathbb{F}}}\)中的是特征值；
对每个特征值\(\lambda_0\)，求齐次线性方程组\((\lambda_0E-A)X=0\) 的一个基础解系\(X_1, X_2, \cdots , X_s\)，则

\begin{equation*} c_1 X_1 + c_2X_2 + \cdots + c_sX_s \end{equation*}

即是对应于特征值\(\lambda_0\)的全部特征向量, 其中\(c_i\)为\(\mathbb{F}\)上不全为零的常数。

定理 6.1.5.

设\(A\)是\(n\)阶方阵, 则

\begin{equation*} f_A(\lambda)=f_{A^T}(\lambda). \end{equation*}

因而\(A\)与\(A\)的转置\(A^T\)有相同的特征值。

定理 6.1.6.

设\(A,\ B\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵, 若\(A\)相似于\(B\)，则

\begin{equation*} f_A(\lambda)=f_{B}(\lambda). \end{equation*}

因而相似矩阵有相同的特征值。

定理 6.1.7.

设\(A\)是\(n\)阶方阵, 记

\begin{equation*} f_A(\lambda)=\det (\lambda E-A)=\lambda^n-a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +(-1)^na_0, \end{equation*}

则

\begin{equation*} a_{n-1}=tr (A),\ a_0=\det A. \end{equation*}

推论 6.1.8.

若\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(n\)阶方阵\(A\)的全部特征值, 则

\begin{equation*} \det A=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n,\ tr (A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n. \end{equation*}

推论 6.1.9.

设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(A\)是可逆的充分必要条件是\(A\)的特征值全不为零。

例 6.1.10.

设\(A,\ B\)为\(n\)阶方阵，证明：\(f_{AB}(\lambda)=f_{BA}(\lambda)\)。

例 6.1.11.

设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times m}\)且\(m\geq n\)。证明：

\(\det (\lambda E_m-AB)=\lambda^{m-n}\det (\lambda E_n-BA)\)；
\(tr (AB)=tr (BA)\)。

定理 6.1.12.

数域\(\mathbb{F}\)上属于不同特征值的特征向量线性无关。

推论 6.1.13.

设\(n\)阶方阵\(A\)的不同特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)，齐次线性方程组\((\lambda_iE-A)X=0\)的基础解系为\(X_{i1},X_{i2},\cdots,X_{is_i},(i=1,2,\cdots ,t)\)，则向量组

\begin{equation*} X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t} \end{equation*}

线性无关。即\(V_{\lambda_1}+V_{\lambda_2}+\cdots +V_{\lambda_t}\)是直和。

定理 6.1.14.

在复数域上任一\(n\)阶方阵必复相似于一个上三角阵。这时主对角线上元素就是它的所有特征值。

备注 6.1.15.

一般数域\(\mathbb{F}\)上的矩阵未必相似于\(\mathbb{F}\)上的上三角矩阵。
若数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵的特征值全在\(\mathbb{F}\)中，则存在\(\mathbb{F}\)上可逆阵\(P\)，使\(P^{-1}AP\)是上三角矩阵。

例 6.1.16.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(g(x)\in\mathbb{F} [x]\)，证明：

若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(g(\lambda)\)是矩阵\(g(A)\)的特征值；
若\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(A\)的全部特征值, 则\(g(\lambda_1),g(\lambda_2),\cdots ,g(\lambda_n)\)是\(g(A)\)的全部特征值。

定义 6.1.17.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，若存在\(\lambda_0\in\mathbb{F}\)，\({\color{blue}{0\neq }}\alpha\in V\)，使得

\begin{equation*} \varphi (\alpha)=\lambda_0\alpha , \end{equation*}

则称\(\lambda_0\)是线性变换\(\varphi\)的一个特征值，\(\alpha\)为\(\varphi\) 的属于特征值\(\lambda_0\)的特征向量。将

\begin{equation*} V_{\lambda_0}=\{\alpha\in V|\ \varphi (\alpha)=\lambda_0\alpha\} \end{equation*}

称为\(\varphi\)的属于特征值\(\lambda_0\)的特征子空间。

备注 6.1.18.

\(V_{\lambda_0}\)是\(\varphi\)-子空间，且\(\varphi\)在\(V_{\lambda_0}\)上的限制\(\varphi|_{V_{\lambda_0}}\)是一个数量变换，即是一个伸缩变换。

定义 6.1.19.

设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\varphi\)在\(V\)的基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵为\(A\)，\(f_A(\lambda)\)是\(A\)的特征多项式。我们称\(f_A(\lambda)\)为\(\varphi\)的特征多项式，记为\(f_{\varphi}(\lambda)\)。

练习 6.1.2 练习

1.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂等矩阵，即\(A^2=A\)。证明：\(A\)的特征值是\(0\)或\(1\)。

解答.

设\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(X\)为相应于\(\lambda\)的一个特征向量。则

\begin{equation*} \lambda^2X=A^2X=AX=\lambda X. \end{equation*}

因为\(X\ne 0\)，所以\(\lambda^2=\lambda\)，于是\(\lambda=0\)或\(\lambda=1\)。

2.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{N}\)使得\(A^k=0\)。证明：\(A\)的特征值都是\(0\)。

解答.

设\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(X\)为相应于\(\lambda\)的一个特征向量。则

\begin{equation*} \lambda^kX=A^k X=0. \end{equation*}

因为\(X\ne 0\)，所以\(\lambda^k=0\)，于是\(\lambda=0\)。

3.

设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上\(m\times n\)矩阵，\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的一个特征值，证明：\(\lambda\)是非负实数。

解答.

设\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的特征值，则存在\(0\neq X\in\mathbb{C}^n\)，使得\(\overline{A}^TAX=\lambda X\)。两边同时左乘\(\overline{X}^T\)，得

\begin{equation*} \overline{X}^T\overline{A}^TAX=\overline{X}^T(\lambda X), \end{equation*}

即

\begin{equation*} (\overline{AX})^T(AX)=\lambda (\overline{X}^TX). \end{equation*}

设\(X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)^T\in\mathbb{C}^n, AX=(y_1,y_2,\cdots ,y_m)^T\in\mathbb{C}^m\)，由\(X\neq 0\)可知

\begin{equation*} \overline{X}^TX=\overline{x_1}x_1+\overline{x_2}x_2+\cdots +\overline{x_n}x_n\in\mathbb{R}^+, \end{equation*}

\begin{equation*} (\overline{AX})^T(AX)=\overline{y_1}y_1+\overline{y_2}y_2+\cdots +\overline{y_m}y_m\in\mathbb{R}^{\geq 0}. \end{equation*}

故\(\lambda=\frac{(\overline{AX})^T(AX)}{\overline{X}^TX}=\frac{\overline{y_1}y_1+\overline{y_2}y_2+\cdots +\overline{y_m}y_m}{\overline{x_1}x_1+\overline{x_2}x_2+\cdots +\overline{x_n}x_n}\)是非负实数。

4.

证明：如果任意非零向量都是方阵\(A\)的特征向量，则\(A\)是数量矩阵。

解答.

设\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)是\(n\)维标准单位列向量，由题设它们都是\(A\)的特征向量，即存在特征值\(\lambda_i\)使得\(A \varepsilon_i=\lambda_i \varepsilon_i\)，故

\begin{equation*} A(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)=(\lambda_1\varepsilon_1,\lambda_2\varepsilon_2,\cdots ,\lambda_n\varepsilon_n), \end{equation*}

即\(A={\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)\)。又\(X=(1,1,\cdots ,1)^T\)也是\(A\)的特征向量，故存在\(\mu\in\mathbb{F}\)使得\(AX=\mu X\)，即\((\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)^T=(\mu,\mu,\cdots ,\mu)^T\)。因此，\(A=\mu E_n\)是数量矩阵。

5.

求数域\(\mathbb{F}\)上矩阵\(A\)的全部特征值和特征向量：

(1)\(A=\begin{pmatrix} 6&2&4\\2&3&2\\4&2&6 \end{pmatrix}\)；(2)\(A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&a&b\\0&0&c \end{pmatrix}\)，其中\(b\neq 0\)。

解答.

矩阵\(A\)的特征多项式为

\begin{equation*} f_A(\lambda)=\det (\lambda E_3-A)=\begin{vmatrix} \lambda-6&-2&-4\\-2&\lambda-3&-2\\-4&-2&\lambda-6 \end{vmatrix}= (\lambda-11)(\lambda-2)^2, \end{equation*}

解得\(A\)的特征值为\(\lambda_1=11, \lambda_2=\lambda_3=2\)。对于特征值\(\lambda_1=11\)，解齐次线性方程组\((11E_3-A)X=0\)，即

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5&-2&-4\\-2&8&-2\\-4&-2&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}

得基础解系\(X_1=(2,1,2)^T\)。故属于\(\lambda_1=11\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中任意非零常数。

对于特征值\(\lambda_2=\lambda_3=2\)，解齐次线性方程组\((2E_3-A)X=0\)，即

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -4&-2&-4\\-2&-1&-2\\-4&-2&-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}

得基础解系\(X_2=(-1,2,0)^T,X_3=(-1,0,1)^T\)。故属于\(\lambda_2=\lambda_3=2\)的特征向量为\(c_2X_2+c_3X_3\)，其中\(c_2,c_3\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。
矩阵\(A\)的特征多项式为

\begin{equation*} f_A(\lambda)=\det (\lambda E_3-A)=\begin{vmatrix} \lambda-1&0&0\\0&\lambda-a&-b\\0&0&\lambda-c \end{vmatrix}= (\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda-c). \end{equation*}

以下分5种情况考虑特征值、特征向量。
1. 当\(a=c=1\)时，\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)^3\)，\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=\)\(\lambda_3=1\) 对于\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。
2. 当\(a=c\neq 1\)时，\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-a)^2\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=1,\lambda_2=\lambda_3=a. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&1-a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=1\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。对于\(\lambda_2=\lambda_3=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_2=\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_2X_2\)，其中\(c_2\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
3. 当\(a=1,c\neq 1\)时，\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-c)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=c. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-b\\0&0&1-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。对于\(\lambda_3=c\)，解齐次线性方程组\((cE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} c-1&0&0\\0&c-1&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,b,c-1)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=c\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
4. 当\(a\neq 1,c=1\)时，\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-a)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=a. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,b,1-a)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。对于\(\lambda_3=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&a-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
5. 当\(a,c,1\)两两不同时，\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda-c)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=1,\lambda_2=a,\lambda_3=c. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&1-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=1\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中非零常数。对于\(\lambda_2=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&a-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_2X_2\)，其中\(c_2\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
  对于\(\lambda_3=c\)，解齐次线性方程组\((cE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} c-1&0&0\\0&c-a&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,b,c-a)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=c\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。

6.

设矩阵\(A=\begin{pmatrix} -2&0&0\\2&a&2\\3&1&1 \end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&2&0\\0&0&b \end{pmatrix}\)相似，求\(a,b\)和\(A\)的特征值。

解答.

因为\(A\)、\(B\)相似，所以\(A\)、\(B\)有相同的特征值。注意到\(-2\)是\(A\)的一个特征值，所以\(-2\)也是\(B\)的一个特征值。而\(B\)的全部特征值为\(-1,2,b\)，故\(b=-2\)，\(A\)的特征值有\(-1\)，\(-2\)，\(2\)。

由\(A\)、\(B\)相似可知\({{\rm{tr}}}(A)={{\rm{tr}}(B)}\)，即\(a-1=b+1\)，因此\(a=0\)。

7.

设\(3\)阶方阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-4\)，求\(tr (A)\)和\(\det A\)。

解答.

\({\rm tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-2\)，\(\det A =\lambda_1\lambda_2\lambda_3= -4\)。

8.

设\(X=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)且\(XX^T=1\)，求\(E_n-2X^TX\)的特征值。

解答.

记\(M=E_n-2X^TX\)，则

\begin{equation*} f_M(\lambda)=\det(\lambda E_n-M)=\det ((\lambda-1)E_n+2X^TX). \end{equation*}

注意到\(\forall A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times m}\)，

\begin{equation*} \det (\lambda E_m-AB)=\lambda^{m-n} \det (\lambda E_n-BA)\mbox{,} \end{equation*}

则

\begin{equation*} f_M(\lambda)=(\lambda-1)^{n-1}\det((\lambda-1)E_1+2XX^T)\mbox{。} \end{equation*}

又\(XX^T=1\)，故

\begin{equation*} f_M(\lambda)=(\lambda-1)^{n-1}(\lambda+1)\mbox{。} \end{equation*}

因此，\(M=E_n-2X^TX\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_{n-1}=1,\lambda_n=-1\)。

9.

设\(X,Y\)是矩阵\(A\)对应于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量，证明：\(X+Y\)不是\(A\)的特征向量。

解答.

假设\(X+Y\)是\(A\)的特征向量，则存在\(a\in\mathbb{F}\)，使得

\begin{equation*} A(X+Y)=a(X+Y), \end{equation*}

即\(AX+AY=aX+aY\)。由已知，\(AX=\lambda X,AY=\mu Y\)，所以

\begin{equation*} (\lambda-a)X+(\mu-a)Y=0\mbox{。} \end{equation*}

注意到属于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量\(X,Y\)线性无关，所以

\begin{equation*} \lambda-a=\mu-a=0\mbox{。} \end{equation*}

则\(\lambda=\mu=a\)，这与\(\lambda\neq \mu\)相矛盾。因此，\(X+Y\)不是\(A\)的特征向量。

10.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶可逆矩阵，特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)，证明：

\(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值；
\((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\(A^{*}\)的全部特征值。

解答.

因为\(A\)可逆，所以\(\lambda_i\neq 0(i=1,2,\cdots ,n)\)。由题意知，\(n\)阶矩阵\(A\)有\(n\)个特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)，所以\(A\)相似于上三角阵，即存在可逆矩阵\(P\)，使得

\begin{equation*} P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&*&\cdots&*\\ 0&\lambda_2&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

两边同时取逆，得

\begin{equation*} P^{-1}A^{-1}P= \begin{pmatrix} \lambda_1^{-1}&*&\cdots&*\\ 0&\lambda_2^{-1}&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n^{-1} \end{pmatrix}. \end{equation*}

故\(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值。
因\(A\)可逆，所以\(A^*=(\det A)A^{-1}\)，则

\begin{align*} P^{-1}A^*P & = & (\det A)P^{-1}A^{-1}P\\ & = &\begin{pmatrix} (\det A)\lambda_1^{-1}&*&\cdots&*\\ 0&(\det A)\lambda_2^{-1}&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&(\det A)\lambda_n^{-1} \end{pmatrix}. \end{align*}

故\((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\(A^{*}\)的全部特征值。

11.

已知线性方程组

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\ x_1+2x_2+ax_3=3 \end{array}\right. \end{equation*}

有无穷多解，\(A\)是\(3\)阶方阵，\(X_1=(1,a,0)^T,X_2=(-a,1,0)^T,X_3=(0,0,a)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。

求\(A\)；
求\(\det (A^*+2E)\)。

解答.

因为该线性方程组有无穷多解，所以\(\begin{vmatrix} 1&1&1\\2&a+2&a+1\\1&2&a \end{vmatrix}=0\)，解得\(a=1\)。因此，\(X_1=(1,1,0)^T,X_2=(-1,1,0)^T,X_3=(0,0,1)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。令\(P=(X_1,X_2,X_3)\)，则\(AP=P{\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\)。因此

\begin{equation*} A=P{\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)P^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&0\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&0\\0&0&-1 \end{pmatrix} \end{equation*}
因为\(A\)的特征值为\(1,-2,-1\)，所以\(\det A=2\)。根据上题结论， \(A^*+2E=2A^{-1}+2E\)的特征值为\(4,1,0\) 。因此，\(\det (A^*+2E)=0\)。

12.

设\(V\)是\(\mathbb{C}\)上的\(n\)维线性空间，\(\varphi ,\psi\)是\(V\)上的线性变换，且\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，证明：

如果\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，那么\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间；
\(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。

解答.

对任意\(\alpha\in V_{\lambda_0}\)，因\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，所以

\begin{equation*} \varphi(\psi(\alpha))=\psi(\varphi(\alpha))=\psi (\lambda_0 \alpha)=\lambda_0\psi(\alpha), \end{equation*}

即\(\psi(\alpha)\in V_{\lambda_0}\)。故\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间。
由项 6.1.2.12.a 知，\(\psi|_{V_{\lambda_0}}\)是\(V_{\lambda_0}\)上线性变换。由于\(V_{\lambda_0}\)是复数域上的线性空间，所以\(\psi|_{V_{\lambda_0}}\)至少存在一个复特征值\(c\)和相应特征向量\(X\)，故\(\psi|_{V_{\lambda_0}}(X)=cX\)，即\(\psi(X)=cX\)。因此，\(X\)是\(\psi\)的特征向量。又\(X\in V_{\lambda_0}\)，所以\(X\)也是\(\varphi\)的特征向量。从而，\(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。

13.

设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：\(A,B\)至少有一个公共的特征向量。

解答.

分别定义\(\mathbb{C}^n\)上的线性变换\(\varphi,\psi\)如下：

\begin{equation*} \varphi:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n,\alpha\mapsto A \alpha,\quad \psi:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n,\alpha\mapsto B \alpha. \end{equation*}

由\(AB=BA\)可知\(\varphi\psi=\psi\varphi\)。根据上题结论，\(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。故存在\(\lambda,\mu\in\mathbb{C}\)，\(0\neq X\in\mathbb{C}^n\)使得

\begin{equation*} \varphi(X)=\lambda X,\psi(X)=\mu X, \end{equation*}

即

\begin{equation*} AX=\lambda X,BX=\mu X\mbox{。} \end{equation*}

因此，\(A,B\)至少有一个公共的特征向量。

14.

设\(\mathbb{C}\)上\(m\)个\(n\)阶方阵\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)满足\(A_iA_j=A_jA_i(i,j=1,2,\cdots ,m)\)，证明：\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)至少有一个公共的特征向量。

解答.

对\(m\)归纳证明。

当\(m=2\)时，根据上题知结论成立。

假设对于\(m-1\)个矩阵时结论成立，以下考虑\(m\)个矩阵的情形。因\(A_m\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵，\(A_m\)至少存在一个特征值\(\lambda_m\)，相应的特征子空间为\(V_{\lambda_m}\)。由于\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)两两可交换，类似12题的证明知\(V_{\lambda_m}\)是\(A_i(i=1,2,\cdots ,m-1)\)的不变子空间。令\(A_i|_{V_{\lambda_m}}\)是\(A_i\)在\(V_{\lambda_m}\)上的限制，则

\begin{equation*} A_i|_{V_{\lambda_m}}A_j|_{V_{\lambda_m}}=A_j|_{V_{\lambda_m}}A_i|_{V_{\lambda_m}},(i,j=1,2,\cdots ,m-1)\mbox{。} \end{equation*}

由归纳假设，存在\(Y\in V_{\lambda_m}\)，使得

\begin{equation*} A_i|_{V_{\lambda_m}}Y=\lambda_i Y,\ i=1,2,\cdots,m-1\mbox{，} \end{equation*}

即\(A_iY=\lambda_iY,i=1,2,\cdots ,m-1\)。又\(Y\in V_{\lambda_m}\)，故\(A_mY=\lambda_m Y\)。从而，\(A_1,A_2,\cdots ,A_m\)至少有一个公共的特征向量\(Y\)。

15.

设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)同时为上三角矩阵。

解答.

对\(n\)归纳证明。

当\(n=1\)时，结论显然成立。

假设对于\(n-1\)阶矩阵结论成立，以下考虑\(n\)阶矩阵的情形。

由于\(AB=BA\)，根据练习 6.1.2.13 结论，\(A\)、\(B\)至少存在一个公共的特征向量\(X\)，即存在\(\lambda,\mu\in\mathbb{C}\)使得\(AX=\lambda X,BX=\mu X\)。

将\(X\)扩充为\(\mathbb{C}^n\)的一个基\(X,X_2,\cdots ,X_n\)。令\(P_1=(X,X_2,\cdots ,X_n)\)，则\(P_1\)可逆且

\begin{equation*} P_1^{-1}AP_1=\begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix},P_1^{-1}BP_1=\begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A_1,B_1\)是\(\mathbb{C}\)上\(n-1\)阶方阵。因为\(AB=BA\)，所以

\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

则\(A_1B_1=B_1A_1\)。由归纳假设，存在\(n-1\)阶可逆复矩阵\(P_2\)，使得\(P_2^{-1}A_1P_2,P_2^{-1}B_1P_2\)均为上三角矩阵。

令\(P=P_1 \begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}\)，则\(P\)可逆且

\begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}^{-1}P_1^{-1}AP_1\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda&\alpha P_2\\ 0&P_2^{-1}A_1P_2 \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}^{-1}P_1^{-1}BP_1\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu&\beta P_2\\ 0&P_2^{-1}B_1P_2 \end{pmatrix} \end{equation*}

均为上三角矩阵。

16.

设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(V\)有一个子空间直和分解\(V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,\)其中\(V_i\)是\(\varphi\)-不变子空间。设\(\varphi\)限制在\(V_i\)上的特征多项式为\(f_i(\lambda)\)，证明：\(\varphi\)的特征多项式\(f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_m(\lambda)\)。

解答.

设\(\xi_{i1},\xi_{i2},\cdots ,\xi_{in_i}\)是\(V_i\)的基，\(i=1,2,\cdots ,m\)。由于\(V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m\)，所以 \(\xi_{11},\cdots ,\xi_{1n_1},\xi_{21},\cdots ,\xi_{2n_2},\cdots ,\xi_{m1},\cdots ,\xi_{mn_m}\)是\(V\)的一个基。注意到\(V_i\)是\(\varphi\)-不变子空间，所以\(\varphi\)在基

\begin{equation*} \xi_{11},\cdots ,\xi_{1n_1},\xi_{21},\cdots ,\xi_{2n_2},\cdots ,\xi_{m1},\cdots ,\xi_{mn_m} \end{equation*}

下的矩阵\(A=\begin{pmatrix} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_m \end{pmatrix},\)其中\(A_i\)是\(\varphi|_{V_i}\)在基\(\xi_{i1},\xi_{i2},\cdots ,\xi_{in_i}\)下的矩阵。因此，\(\varphi\)的特征多项式

\begin{equation*} f(\lambda)=f_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda E-A_1&&&\\ &\lambda E-A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda E-A_m \end{vmatrix}=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_m(\lambda)\mbox{。} \end{equation*}

17.

设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，\(n_0\)是\(\lambda_0\)在特征多项式\(f_\varphi (\lambda)\)中的重数，证明：\(\dim V_{\lambda_0}\leq n_0\)。

解答.

设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{s_0}\)是\(V_{\lambda_0}\)的一个基，将其扩充为\(V\)的一个基

\begin{equation*} \xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{s_0},\xi_{s_0+1},\cdots ,\xi_n, \end{equation*}

则\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{s_0},\xi_{s_0+1},\cdots ,\xi_n\)下的矩阵为\(A=\begin{pmatrix} \lambda_0 E_{s_0}&B\\ 0&C \end{pmatrix}\)。于是，

\begin{equation*} f_{\varphi}(\lambda)=f_A(\lambda)=\begin{vmatrix} (\lambda -\lambda_0) E_{s_0}&-B\\ 0&\lambda E-C \end{vmatrix}=(\lambda- \lambda_0)^{s_0}\det(\lambda E-C)\mbox{。} \end{equation*}

因此\(n_0\geq s_0\)，即\(n_0\geq\dim V_{\lambda_0}\)。

18.

设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(W\)是\(\varphi\)-子空间。如果\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_k\)是\(\varphi\)的分别属于\(k\)个不同特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_k\)的特征向量，且\(\alpha_1+ \alpha_2 +\cdots +\alpha_k\in W\)，证明：\(\dim W\geq k\)。

解答.

记\(\beta_0=\alpha_1+ \alpha_2 +\cdots +\alpha_k\)。因\(W\)是\(\varphi\)-子空间且\(\beta_0\in W\)，所以

\begin{equation*} \begin{array}{c}\varphi(\beta_0) =\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots +\lambda_k \alpha_k\in W,\\ \varphi^2(\beta_0)=\lambda_1^2 \alpha_1+\lambda_2^2 \alpha_2+\cdots +\lambda_k^2 \alpha_k\in W,\\\vdots \\\varphi^{k-1}(\beta_0)=\lambda_1^{k-1} \alpha_1+\lambda_2^{k-1} \alpha_2+\cdots +\lambda_k^{k-1} \alpha_k\in W.\end{array} \end{equation*}

记\(\beta_i=\varphi^i(\beta_0),i=0,1,\cdots ,k-1\)。我们断言，\(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_{k-1}\)线性无关。事实上，若\(x_0\beta_0+x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_{k-1}\beta_{k-1}=0\)，则

\begin{equation*} \begin{array}{rl} & (x_0+\lambda_1x_1+\lambda_1^2x_2+\cdots +\lambda_1^{k-1}x_{k-1})\alpha_1\\ + & (x_0+\lambda_2x_1+\lambda_2^2x_2+\cdots +\lambda_2^{k-1}x_{k-1})\alpha_2\\ + \cdots + &(x_0+\lambda_kx_1+\lambda_k^2x_2+\cdots +\lambda_k^{k-1}x_{k-1})\alpha_k=0\mbox{。}\end{array} \end{equation*}

因为属于不同特征值的特征向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_k\)线性无关，所以

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} x_0+\lambda_1x_1+\lambda_1^2x_2+\cdots +\lambda_1^{k-1}x_{k-1}=0,\\ x_0+\lambda_2x_1+\lambda_2^2x_2+\cdots +\lambda_2^{k-1}x_{k-1}=0,\\ \vdots\\ x_0+\lambda_kx_1+\lambda_k^2x_2+\cdots +\lambda_k^{k-1}x_{k-1}=0. \end{array}\right. \end{equation*}

注意到系数行列式

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccccc} 1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots&\lambda_1^{k-1}\\ 1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots&\lambda_2^{k-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\lambda_k&\lambda_k^2&\cdots&\lambda_k^{k-1} \end{array}\right|=\prod\limits_{1\leq i<j\leq k}(\lambda_j- \lambda_i)\neq 0, \end{equation*}

所以\(x_0=x_1=\cdots=x_{k-1}=0\)。因此，\(W\)中存在\(k\)个线性无关的向量\(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_{k-1}\)。故\(\dim W\geq k\)。

向前 Top 向后