主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\myunit}{1 cm}
\newcommand{\alert}[1]{{\color{red}#1}}
\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue}#1}}
\tikzset{
node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white},
arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white},
}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
节 5.5 多项式函数
子节 5.5.1 主要知识点
定义 5.5.1.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)， 对任意\(b \in\mathbb{F}\)，将\(f(x)\)表示式里的\(x\)用\(b\)代替，得到 \(\mathbb{F}\)中的数
\begin{equation*}
a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_1b+a_0,
\end{equation*}
称为当\(x=b\)时\(f(x)\)的值，记作\(f(b)\)。
\begin{equation*}
f: b\mapsto f(b)
\end{equation*}
定义了数域\(\mathbb{F}\)上的函数\(f(x)\)，称\(f(x)\)为数域\(\mathbb{F}\)上的多项式函数。
定义 5.5.2.
设\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，\(b\in\mathbb{F}\)，且\(f(b)=0\)，则称\(b\)为\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内的一个根 或零点 。
定理 5.5.3. 余数定理.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，\(b\in\mathbb{F}\)，则存在唯一的\(g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=(x - b) g(x)+ f(b)\mbox{。}
\end{equation*}
推论 5.5.4.
\(b\)是\(f(x)\)的根当且仅当\((x - b)| f(x)\)。
定理 5.5.5.
设\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)=n>0\)，则\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内至多有\(n\)个不同的根。
推论 5.5.6.
设\(f(x), g(x)\in\mathbb{F} [x]\)，且\(\deg f(x) \le n\)，\(\deg g(x)\le n\)， 且存在\(n+1\)个不同的数 \(b_1, b_2,\ldots, b_{n+1}\in\mathbb{F}\)， 使得 \(f( b_i ) = g( b_i ), i =1, 2,\ldots, n+1\)， 则 \(f(x)\)，\(g(x)\)作为多项式相等。
定理 5.5.7.
设\(f(x), g(x)\in\mathbb{F} [x]\)， 则\(f(x), g(x)\)作为多项式相等当且仅当\(f(x), g(x)\)作为多项式函数相等。
定义 5.5.8.
\(b\in\mathbb{F}\)，若\((x - b)^k | f(x)\)，但\((x-b)^{k+1}\not| f(x)\)，则称\(b\)为\(f(x)\)的一个\(k\)重根 。若\(k = 1\)， 则称\(b\)为单根 。若\(k > 1\)， 则称\(b\)为重根。
定理 5.5.9.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)=n>0\)，则\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内至多有\(n\)个根（重根按重数计）。
练习 5.5.2 练习
1.
设\(x-a\left|f(x^n)\right.\)，证明：\(x^n-a^n\left|f(x^n)\right.\)。
2.
若\(x^2+x+1\left|f_1(x^3)+xf_2(x^3)\right.\)，则\(x-1\left|f_1(x)\right.\)且\(x-1\left|f_2(x)\right.\)。
3.
设\(a,b\in\mathbb{F}\)且\(a\neq b\)，证明：\(f(x)\)除以\((x-a)(x-b)\)的余式是
\begin{equation*}
\frac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}\mbox{。}
\end{equation*}
4.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)=n\)，且\(f(k)=\frac{k}{k+1},k=0,1,\cdots ,n\)，求\(f(n+1)\)。
5.
设\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)个不同的数，\(b_1,b_2,\cdots ,b_n\in\mathbb{F}\)，
\begin{equation*}
L(x)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{b_i(x-a_1)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots(x-a_n)}{(a_i-a_1)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)},
\end{equation*}
证明：\(\deg L(x)\leq n-1\)且\(L(a_i)=b_i,i=1,2,\cdots ,n\)；
证明：如果\(0\neq f(x)\in\mathbb{F}[x]\)使得\(\deg f(x)\leq n-1\)且\(f(a_i)=b_i,i=1,2,\cdots ,n\)，则\(f(x)=L(x)\)；
试求一个次数小于\(3\)次的多项式\(g(x)\)使得
\begin{equation*}
g(1)=2,g(2)=3,g(3)=6\mbox{。}
\end{equation*}
6.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)=n>0\)。证明：\(a\)是\(f(x)\)的\(k\)重根\((k\geq 1)\)的充分必要条件是\(f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0,f^{(k)}(a)\neq 0\)。
7.
设\(f(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)次多项式，且\(f(0)=0\)。令\(g(x)=xf(x)\)，证明：如果\(f'(x)\left|g'(x)\right.\)，那么\(g(x)\)有\(n+1\)重零根。
8.
设\(p(x)\in\mathbb{Q}[x]\)。证明：如果\(p(x)\)在\(\mathbb{Q}\)上不可约，那么\(p(x)\)在\(\mathbb{C}\)上没有重根。
9.
设\(f(x)\in\mathbb{Q}[x]\)，若\(1+\sqrt{2}\)是\(f(x)\)的根，证明：\(1-\sqrt{2}\)也是\(f(x)\)的根。
