定义 5.3.1.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，若\(d(x)\in \mathbb{F}[x]\)使得- \(d(x) | f (x)\)且\(d(x) | g(x)\)；
- 若\(h(x) | f (x)\)且 \(h(x) | g(x)\)，则\(h(x) | d(x)\)；
节 5.3 最大公因式
建设中！
子节 5.3.1 知识点
- \(d(x)\)是\(f (x)\)、\(g (x)\)的次数 最高 的公因式。
- 最大公因式 不是 唯一的。
- \(f (x)\) 和 \(g(x)\)的最大公因式最多差一个非零常数（在相伴意义下是唯一的）。
- \(f (x), g(x)\)首项系数为1(简称首一)的最大公因式是 唯一 确定的，记为\(d(x) = g.c.f( f (x), g(x))\)，或简记为\(d(x)=(f(x),g(x))\)。
引理 5.3.2.
设\(f (x), g(x)\in\mathbb{F}[x]\)。
- 若\(g(x)|f(x)\text{,}\) 则\(\left(f (x), g(x)\right)= cg(x)\) ；
- 对任意\(l(x) \in \mathbb{F}[x]\)，成立\begin{equation*} (f (x), g(x)) = (f (x) + l(x)g(x), g(x)) \end{equation*}
- 若\(f (x)=g(x)q(x)+r(x)\)， 则\((f (x), g(x)) = (g(x), r(x))\)。
定理 5.3.3. 裴蜀定理.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，则存在\(d(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\((f (x), g(x)) = d(x)\)，且存在\(u(x), v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使
\begin{equation*}
d(x) = f (x) u(x) + g(x) v(x)
\end{equation*}
- 最大公因式相伴于Euclidean辗转相除中最后一个非零的余式。
定理 5.3.4.
\(d(x)\)是\(f(x),g(x)\)的最大公因子等价于
- \(d(x)|f(x)\)，\(d(x)|g(x)\)；
- \(\exists u(x),v(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得\begin{equation*} d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). \end{equation*}
- 思考：最大公因式与数域扩大有关吗？
定义 5.3.5.
对\(m\)个多项式 \(f_i(x)\in\mathbb{F}[x](i =1, 2, \ldots , m)\)，若存在\(d(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得- \(d(x) | f_i(x) (i =1, 2, \ldots , m) \)；
- 若\(h(x) | f_i(x) (i =1, 2, \ldots , m)\)，则\(h(x) | d(x) \)；
\begin{equation*}
(f_1(x) , f_2(x) , \ldots , f_m(x) )
\end{equation*}
命题 5.3.6.
设\(f (x), g (x), h(x) \in \mathbb{F}[x]\)，则
\begin{align*}
\left(\ f (x), g (x), h(x)\ \right) & = &\left(\ \left(f (x), g (x)\right), h(x)\ \right)\\
& = & \left(\ f (x), \left(g (x), h(x)\right)\ \right)
\end{align*}
- 求多个多项式的最大公因式可先求任意两个多项式的最大公因式，再用同样方法继续，而不必顾及先后顺序。
定义 5.3.7.
设 \(f (x), g (x)\in\mathbb{F}[x]\)，若\(\left(\ f (x) , g(x)\ \right) = 1\)，则称 \(f (x)\) 与 \(g(x)\) 互素或互质。
定理 5.3.8.
设 \(f (x), g (x) \in \mathbb{F}[x]\)， 则 \(f (x), g(x)\) 互素的充要条件是存在 \(u(x), v(x) \in \mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f (x) u(x) + g(x) v(x) = 1.
\end{equation*}
- 一般的若仅有\(d(x) = f (x) u(x) + g(x) v(x)\)，并不能保证 \(d(x) = \left(\ f (x), g(x)\ \right)\)。 但若\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)，就确保\(\left(\ f(x), g(x)\ \right)=1\)。
- 互素与数域扩大无关。
推论 5.3.9.
设 \(f_1(x) | g(x)\)，\(f_2(x) | g(x)\)，且 \(\left(\ f_1(x) , f_2(x)\ \right) = 1\)，则\(f_1(x) f_2(x) | g(x)\)。
推论 5.3.10.
设\(f (x) | g(x)h(x)\)，且\(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = 1\)，则
\begin{equation*}
f(x)|h(x).
\end{equation*}
推论 5.3.11.
设\(\left(\ f_1(x), g(x)\ \right) = 1\)，\(\left(\ f_2(x), g(x)\ \right) = 1\)，则
\begin{equation*}
\left(\ f_1(x) f_2(x), g(x)\ \right) = 1.
\end{equation*}
推论 5.3.12.
设\(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = d(x)\ne 0\)， 且\(f (x) = f_1(x) d(x)\)，\(g(x) = g_1(x)d(x)\)， 则\(\left(\ f_1(x), g_1(x)\ \right) = 1\)。
推论 5.3.13.
设\(t(x)\)是首一多项式， \(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = d(x)\)，则
\begin{equation*}
\left(\ f (x) t(x), g(x) t(x)\ \right) = d(x) t(x).
\end{equation*}
定义 5.3.14.
设 \(f (x), g (x)\in\mathbb{F}[x]\)，若\(m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得- \(f (x) | m(x)\) 且 \(g(x) | m(x)\)；
- 若\(f(x) | l(x)\)且 \(g(x) | l(x)\)，则\(m(x) | l(x)\)
\begin{equation*}
[f_1(x) , f_2(x) , \ldots , f_m(x)].
\end{equation*}
引理 5.3.15.
设\(p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_m(x)\in\mathbb{F}[x](m\geq 2)\)两两互素，则存在\(f_i(x)\in\mathbb{F}[x](i=1,2,\cdots ,m)\)， 使得对任意\(i,j=1,2,\cdots ,m\)且\(i\neq j\)，都有
\begin{equation*}
f_i(x)=l_i(x)p_i(x)+1,\quad f_i(x)=h_{ij}(x)p_j(x).
\end{equation*}
定理 5.3.16. 中国剩余定理.
设\(p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_m(x)\in\mathbb{F}[x](m\geq 2)\)两两互素，\(g_1(x),g_2(x),\cdots ,g_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)且 \(\deg g_i(x)< \deg p_i(x)\)，则存在唯一多项式\(g(x)\)，使得对任意\(i=1,2,\cdots ,m\)，有
\begin{equation*}
g(x)=p_i(x)q_i(x)+g_i(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)<\sum\limits_{i=1}^m\deg p_i(x)\)。
例 5.3.17.
设\(f(x)\)除以\(x^2+1,x^2+2\)的余式分别为\(4x+4,4x+8\)。求\(f(x)\)以及\(f(x)\)除以\((x^2+1)(x^2+2)\)的余式。
练习 5.3.2 练习
1.
设\(f(x)=2x^4+x^3-2x^2+x+1,g(x)=4x^2+8x+3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
2.
设\(f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3,g(x)=3x^3+10x^2+2x-3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
3.
设\(f(x)=x^3+(1+a)x^2+2x+2b,g(x)=x^3+ax^2+b\)的最大公因式是一个二次多项式，求\(a,b\)的值。
4.
设\(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：存在\(u_1(x),u_2(x),\cdots ,u_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)=u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+\cdots +u_m(x)f_m(x)\mbox{。}
\end{equation*}
5.
设\(f_1(x)=af(x)+bg(x),g_1(x)=cf(x)+dg(x)\)，且\(ad-bc\neq 0\)，证明：
\begin{equation*}
(f(x),g(x))=(f_1(x),g_1(x))\mbox{。}
\end{equation*}
6.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明下面几点等价：
- \(\left(f(x),g(x)\right)=1\)；
- \(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
- \(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
- \(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
7.
设\(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x),g_1(x),g_2(x),\cdots ,g_n(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)\right)=1
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i=1,2,\cdots ,m,\ j=1,2,\cdots ,n\mbox{。}
\end{equation*}
8.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=1\)。
9.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m\)。
10.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么存在唯一的\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,
\end{equation*}
且\(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
11.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n},f_1(x),f_2(x)\in\mathbb{F} [x],d(x)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)。记\(W\)是\(d(A)X=0\)的解空间，\(V_i\)是\(f_i(A)X=0\)的解空间,\(i=1,2\)。证明：\(W=V_1\bigcap V_2\)。
12.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n},f_1(x),f_2(x)\in\mathbb{F} [x]\)。记\(f(x)=f_1(x)f_2(x)\)，\(V\)是\(f(A)X=0\)的解空间，\(V_i\)是\(f_i(A)X=0\)的解空间，\(i=1,2\)。证明：若\((f_1(x),f_2(x))=1\)，则\(V=V_1\oplus V_2\)。
13.
求一个次数最低的多项式\(f(x)\)，使\(f(x)\)除以\(x^2+1,x^3+x^2+1\)的余式分别为\(x+1,x^2-1\)。
