定义 5.3.1.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，若\(d(x)\in \mathbb{F}[x]\)使得- \(d(x) | f (x)\)且\(d(x) | g(x)\)；
- 若\(h(x) | f (x)\)且 \(h(x) | g(x)\)，则\(h(x) | d(x)\)；
节 5.3 最大公因式
建设中！
子节 5.3.1 知识点
- \(d(x)\)是\(f (x)\)、\(g (x)\)的次数 最高 的公因式。
- 最大公因式 不是 唯一的。
- \(f (x)\) 和 \(g(x)\)的最大公因式最多差一个非零常数（在相伴意义下是唯一的）。
- \(f (x), g(x)\)首项系数为1(简称首一)的最大公因式是 唯一 确定的，记为\(d(x) = g.c.f( f (x), g(x))\)，或简记为\(d(x)=(f(x),g(x))\)。
引理 5.3.2.
设\(f (x), g(x)\in\mathbb{F}[x]\)。
- 若\(g(x)|f(x)\text{,}\) 则\(\left(f (x), g(x)\right)= cg(x)\) ；
- 对任意\(l(x) \in \mathbb{F}[x]\)，成立\begin{equation*} (f (x), g(x)) = (f (x) + l(x)g(x), g(x)) \end{equation*}
- 若\(f (x)=g(x)q(x)+r(x)\)， 则\((f (x), g(x)) = (g(x), r(x))\)。
定理 5.3.3. 裴蜀定理.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，则存在\(d(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\((f (x), g(x)) = d(x)\)，且存在\(u(x), v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使
\begin{equation*}
d(x) = f (x) u(x) + g(x) v(x)
\end{equation*}
- 最大公因式相伴于Euclidean辗转相除中最后一个非零的余式。
定理 5.3.4.
\(d(x)\)是\(f(x),g(x)\)的最大公因子等价于
- \(d(x)|f(x)\)，\(d(x)|g(x)\)；
- \(\exists u(x),v(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得\begin{equation*} d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). \end{equation*}
- 思考：最大公因式与数域扩大有关吗？
定义 5.3.5.
对\(m\)个多项式 \(f_i(x)\in\mathbb{F}[x](i =1, 2, \ldots , m)\)，若存在\(d(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得- \(d(x) | f_i(x) (i =1, 2, \ldots , m) \)；
- 若\(h(x) | f_i(x) (i =1, 2, \ldots , m)\)，则\(h(x) | d(x) \)；
\begin{equation*}
(f_1(x) , f_2(x) , \ldots , f_m(x) )
\end{equation*}
命题 5.3.6.
设\(f (x), g (x), h(x) \in \mathbb{F}[x]\)，则
\begin{align*}
\left(\ f (x), g (x), h(x)\ \right) & = &\left(\ \left(f (x), g (x)\right), h(x)\ \right)\\
& = & \left(\ f (x), \left(g (x), h(x)\right)\ \right)
\end{align*}
- 求多个多项式的最大公因式可先求任意两个多项式的最大公因式，再用同样方法继续，而不必顾及先后顺序。
定义 5.3.7.
设 \(f (x), g (x)\in\mathbb{F}[x]\)，若\(\left(\ f (x) , g(x)\ \right) = 1\)，则称 \(f (x)\) 与 \(g(x)\) 互素或互质。
定理 5.3.8.
设 \(f (x), g (x) \in \mathbb{F}[x]\)， 则 \(f (x), g(x)\) 互素的充要条件是存在 \(u(x), v(x) \in \mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f (x) u(x) + g(x) v(x) = 1.
\end{equation*}
- 一般的若仅有\(d(x) = f (x) u(x) + g(x) v(x)\)，并不能保证 \(d(x) = \left(\ f (x), g(x)\ \right)\)。 但若\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)，就确保\(\left(\ f(x), g(x)\ \right)=1\)。
- 互素与数域扩大无关。
推论 5.3.9.
设 \(f_1(x) | g(x)\)，\(f_2(x) | g(x)\)，且 \(\left(\ f_1(x) , f_2(x)\ \right) = 1\)，则\(f_1(x) f_2(x) | g(x)\)。
推论 5.3.10.
设\(f (x) | g(x)h(x)\)，且\(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = 1\)，则
\begin{equation*}
f(x)|h(x).
\end{equation*}
推论 5.3.11.
设\(\left(\ f_1(x), g(x)\ \right) = 1\)，\(\left(\ f_2(x), g(x)\ \right) = 1\)，则
\begin{equation*}
\left(\ f_1(x) f_2(x), g(x)\ \right) = 1.
\end{equation*}
推论 5.3.12.
设\(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = d(x)\ne 0\)， 且\(f (x) = f_1(x) d(x)\)，\(g(x) = g_1(x)d(x)\)， 则\(\left(\ f_1(x), g_1(x)\ \right) = 1\)。
推论 5.3.13.
设\(t(x)\)是首一多项式， \(\left(\ f (x), g(x)\ \right) = d(x)\)，则
\begin{equation*}
\left(\ f (x) t(x), g(x) t(x)\ \right) = d(x) t(x).
\end{equation*}
定义 5.3.14.
设 \(f (x), g (x)\in\mathbb{F}[x]\)，若\(m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得- \(f (x) | m(x)\) 且 \(g(x) | m(x)\)；
- 若\(f(x) | l(x)\)且 \(g(x) | l(x)\)，则\(m(x) | l(x)\)
\begin{equation*}
[f_1(x) , f_2(x) , \ldots , f_m(x)].
\end{equation*}
引理 5.3.15.
设\(p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_m(x)\in\mathbb{F}[x](m\geq 2)\)两两互素，则存在\(f_i(x)\in\mathbb{F}[x](i=1,2,\cdots ,m)\)， 使得对任意\(i,j=1,2,\cdots ,m\)且\(i\neq j\)，都有
\begin{equation*}
f_i(x)=l_i(x)p_i(x)+1,\quad f_i(x)=h_{ij}(x)p_j(x).
\end{equation*}
定理 5.3.16. 中国剩余定理.
设\(p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_m(x)\in\mathbb{F}[x](m\geq 2)\)两两互素，\(g_1(x),g_2(x),\cdots ,g_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)且 \(\deg g_i(x)< \deg p_i(x)\)，则存在唯一多项式\(g(x)\)，使得对任意\(i=1,2,\cdots ,m\)，有
\begin{equation*}
g(x)=p_i(x)q_i(x)+g_i(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)<\sum\limits_{i=1}^m\deg p_i(x)\)。
例 5.3.17.
设\(f(x)\)除以\(x^2+1,x^2+2\)的余式分别为\(4x+4,4x+8\)。求\(f(x)\)以及\(f(x)\)除以\((x^2+1)(x^2+2)\)的余式。
练习 5.3.2 练习
1.
设\(f(x)=2x^4+x^3-2x^2+x+1,g(x)=4x^2+8x+3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
解答.
\(\left(f(x),g(x)\right)=-\frac{4}{7}r_1(x)=x+\frac{1}{2}\)。注意到\(r_1(x)=f(x)-q_1(x)g(x)\)，故取
\begin{equation*}
u(x)=-\frac{4}{7},v(x)=\frac{4}{7}q_1(x)=\frac{2}{7}x^2-\frac{3}{7}x+\frac{5}{14},
\end{equation*}
有\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
2.
设\(f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3,g(x)=3x^3+10x^2+2x-3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
3.
设\(f(x)=x^3+(1+a)x^2+2x+2b,g(x)=x^3+ax^2+b\)的最大公因式是一个二次多项式，求\(a,b\)的值。
4.
设\(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：存在\(u_1(x),u_2(x),\cdots ,u_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)=u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+\cdots +u_m(x)f_m(x)\mbox{。}
\end{equation*}
解答.
首先，可以证明如下引理：
\begin{equation*}
\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)=\left((f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x)),f_m(x)\right)\mbox{。}
\end{equation*}
假设
\begin{equation*}
d(x)=\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)\mbox{。}
\end{equation*}
因为\(d(x)\left|f_i(x)\right.,i=1,2,\cdots ,m-1,m\)，所以
\begin{equation*}
d(x)\left|(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x))\right.\mbox{且}d(x)\left|f_m(x)\right.\mbox{。}
\end{equation*}
其次，设\(h(x)\left|(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x))\right.\)且\(h(x)\left|f_m(x)\right.\)，则
\begin{equation*}
h(x)\left|f_i(x)\right.,i=1,2,\cdots ,m-1,m,
\end{equation*}
所以\(h(x)\left|d(x)\right.\)。由定义，知\(\left((f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x)),f_m(x)\right)=d(x)\)。
下面证明习题的结论。对\(m\)做数学归纳法。当\(m=2\)时，就是 定理 5.3.3 。假设命题对\(m-1\)成立，即对于\(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x)\)，存在\(v_1(x),v_2(x),\cdots ,v_{m-1}(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_{m-1}(x))=v_1(x)f_1(x)+v_2(x)f_2(x)+\cdots +v_{m-1}(x)f_{m-1}(x)\mbox{。}
\end{equation*}
由引理，
\begin{equation*}
\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)=\left(v_1(x)f_1(x)+v_2(x)f_2(x)+\cdots +v_{m-1}(x)f_{m-1}(x),f_m(x)\right),
\end{equation*}
根据定理 5.3.3，存在\(v_m(x),u_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{align*}
&\left(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x)\right)\\
=&v_m(x)\left(v_1(x)f_1(x)+v_2(x)f_2(x)+\cdots +v_{m-1}(x)f_{m-1}(x)\right)+u_m(x)f_m(x),
\end{align*}
令\(u_i(x)=v_m(x)v_i(x),i=1,2,\cdots ,m-1\)，则结论成立。
5.
设\(f_1(x)=af(x)+bg(x),g_1(x)=cf(x)+dg(x)\)，且\(ad-bc\neq 0\)，证明：
\begin{equation*}
(f(x),g(x))=(f_1(x),g_1(x))\mbox{。}
\end{equation*}
解答.
记\(d(x)= (f(x),g(x))\)，\(d_1(x)= (f_1(x),g_1(x))\)。由\(d(x)|f(x),\ d(x)|g(x)\)，可推出\(d(x)|f_1(x),\ d(x)|g_1(x)\)。进而\(d(x)|d_1(x)\)。
因为\(ad-bc\neq 0\)，所以由
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f_1(x)\\g_1(x)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a& b\\ c& d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
f(x)\\g(x)
\end{pmatrix}
\end{equation*}
可以推出\(\begin{pmatrix}
f(x)\\g(x)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a& b\\ c& d
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
f_1(x)\\g_1(x)
\end{pmatrix} \)，即 \(f(x),g(x)\)也是\(f_1(x),g_1(x)\)的线性组合。 同上理\(d_1(x)|d(x)\)。
由\(d(x)|d_1(x)\)，\(d_1(x)|d(x)\)，且其均为首一多项式，所以\(d(x)=d_1(x)\)。
6.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明下面几点等价：
- \(\left(f(x),g(x)\right)=1\)；
- \(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
- \(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
- \(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
解答.
“\((1)\Rightarrow (2)\)”因为\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，所以存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)，即存在\(u(x)-v(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
\left(u(x)-v(x)\right)f(x)+v(x)\left(f(x)+g(x)\right)=1,
\end{equation*}
故\(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
“\((2)\Rightarrow (3)\)”因为\(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)，所以存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)\left(f(x)+g(x)\right)=1,
\end{equation*}
即存在\(-u(x),u(x)+v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(-u(x)g(x)+\left(u(x)+v(x)\right)\left(f(x)+g(x)\right)=1\)，故\(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
“\((3)\Rightarrow (1)\)”因为\(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)，所以存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)g(x)+v(x)\left(f(x)+g(x)\right)=1,
\end{equation*}
即存在\(v(x),u(x)+v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(v(x)f(x)+\left(u(x)+v(x)\right)g(x)=1\)，故\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)。
“\((1)\Rightarrow (4)\)”因为\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，由上面结论知
\begin{equation*}
\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1,\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1,
\end{equation*}
根据推论5.3.3，得\(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
“\((4)\Rightarrow (1)\)”因为\(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)，所以存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)g(x)+v(x)\left(f(x)+g(x)\right)=1,
\end{equation*}
即存在\(v(x),v(x)+u(x)f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(v(x)f(x)+\left(v(x)+u(x)f(x)\right)g(x)=1\)，故\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)。
7.
设\(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_m(x),g_1(x),g_2(x),\cdots ,g_n(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)\right)=1
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i=1,2,\cdots ,m,\ j=1,2,\cdots ,n\mbox{。}
\end{equation*}
解答.
充分性：因为\(\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i=1,2,\cdots ,m,\ j=1,2,\cdots ,n\)，所以根据推论5.3.3，\(\left(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_j(x)\right)=1,\ \forall j=1,2,\cdots ,n\)。进而，有
\begin{equation*}
\left(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)\right)=1\mbox{。}
\end{equation*}
必要性：因为\(\left(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)\right)=1\)，所以存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x)+v(x)g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)=1\mbox{。}
\end{equation*}
对\(\forall i=1,2,\cdots ,m,\ j=1,2,\cdots ,n\)，令
\begin{equation*}
p_i(x)=u(x)(\prod\limits_{\substack{1\leq k\leq m\\k\neq i}}f_k(x)),q_j(x)=v(x)(\prod\limits_{\substack{1\leq l\leq n\\l\neq j}}g_l(x)),
\end{equation*}
则\(p_i(x)f_i(x)+q_j(x)g_j(x)=1\)。因此\(\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1\)。
8.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=1\)。
解答.
因为\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，所以根据推论5.3.3，有\(\left(f^m(x),g(x)\right)=1\)，进而\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=1\)。
9.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m\)。
解答.
当\(f(x)=g(x)=0\)时，结论显然成立。
当\(f(x),g(x)\)不全为0时，设\(d(x)=\left(f(x),g(x)\right)\)，则\(d(x)\neq 0\)，存在\(f_1(x),g_1(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=d(x)f_1(x),g(x)=d(x)g_1(x),\mbox{且}\left(f_1(x),g_1(x)\right)=1\mbox{。}
\end{equation*}
于是，
\begin{equation*}
\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(d^m(x)f_1^m(x),d^m(x)g_1^m(x)\right)=d^m(x)\left(f_1^m(x),g_1^m(x)\right)\mbox{。}
\end{equation*}
根据上题结论，有\(\left(f_1^m(x),g_1^m(x)\right)=1\)。因此，\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=d^m(x)\)。
10.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么存在唯一的\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,
\end{equation*}
且\(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
解答.
存在性：因为\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，所以存在\(h(x),k(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)h(x)+g(x)k(x)=1\mbox{。}
\end{equation*}
由于\(\deg g(x)>0\)，所以由带余除法，存在\(q(x),r(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
h(x)=g(x)q(x)+r(x),
\end{equation*}
其中\(\deg r(x)<\deg g(x)\)。于是，\(f(x)\left(g(x)q(x)+r(x)\right)+g(x)k(x)=1\)，即存在\(u(x)=r(x),v(x)=f(x)q(x)+k(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)，其中\(\deg u(x)<\deg g(x)\)。
我们断言，\(\deg v(x)<\deg f(x)\)。若不然，\(\deg v(x)\geq \deg f(x)\)，由\(\deg u(x)<\deg g(x)\)知：\(\deg\left(u(x)f(x)\right)<\deg f(x)+\deg g(x)\leq \deg \left(v(x)g(x)\right)\)。因此，\(\deg \left(u(x)f(x)+v(x)g(x)\right)=\deg \left(v(x)g(x)\right)\geq 2\)，与\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)相矛盾。
唯一性：设另有\(u_1(x),v_1(x)\)满足条件，即\(u_1(x)f(x)+v_1(x)g(x)=1\)，其中\(\deg u_1(x)<\deg g(x),\deg v_1(x) < f(x)\)。则
\begin{equation*}
\left(u(x)-u_1(x)\right)f(x)=\left(v_1(x)-v(x)\right)g(x)\mbox{。}
\end{equation*}
故\(\left.g(x)\right|\left(u(x)-u_1(x)\right)f(x)\)。注意到\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，因此\(\left.g(x)\right|u(x)-u_1(x)\)。而\(\deg\left(u(x)-u_1(x)\right)\leq\max\left\{\deg u(x),\deg u_1(x)\right\}<\deg g(x)\)，所以只能\(u(x)-u_1(x)=0\)，即\(u(x)=u_1(x)\)。进而\(v(x)=v_1(x)\)。
11.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n},f_1(x),f_2(x)\in\mathbb{F} [x],d(x)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)。记\(W\)是\(d(A)X=0\)的解空间，\(V_i\)是\(f_i(A)X=0\)的解空间,\(i=1,2\)。证明：\(W=V_1\bigcap V_2\)。
解答.
一方面，对任意\(\alpha\in W\)，有\(d(A)\alpha=0\)。因为\(d(x)\left|f_i(x)\right.\)，所以存在\(q_i(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\(f_i(x)=q_i(x)d(x)\)。于是，\(f_i(A)=q_i(A)d(A)\)。进而\(f_i(A)\alpha=q_i(A)d(A)\alpha=q_i(A)0=0\)，即\(\alpha\in V_1\bigcap V_2\)。因此\(W\subseteq V_1\bigcap V_2\)。
另一方面，对任意\(\beta\in V_1\bigcap V_2\)，有\(f_1(A)\beta=0\)且\(f_2(A)\beta=0\)。因为\(d(x)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)，根据裴蜀定理，存在\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)=d(x)\mbox{。}
\end{equation*}
则\(u(A)f_1(A)+v(A)f_2(A)=d(A)\)。于是，
\begin{equation*}
d(A)\beta=u(A)f_1(A)\beta+v(A)f_2(A)\beta=u(A)0+v(A)0=0,
\end{equation*}
即\(\beta\in W\)。因此\(V_1\bigcap V_2\subseteq W\)。
综上\(W=V_1\bigcap V_2\)。
12.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n},f_1(x),f_2(x)\in\mathbb{F} [x]\)。记\(f(x)=f_1(x)f_2(x)\)，\(V\)是\(f(A)X=0\)的解空间，\(V_i\)是\(f_i(A)X=0\)的解空间，\(i=1,2\)。证明：若\((f_1(x),f_2(x))=1\)，则\(V=V_1\oplus V_2\)。
解答.
证法一： 对\(\forall X\in V_1\)，即\(f_1(A)X=0\)，则\(f(A)X = f_2(A)f_1(A)X=f_2(A)0=0\)，可知\(X\in V\)，于是\(V_1\)是\(V\)的子空间。同理可知\(V_2\)也是\(V\)的子空间。
因为\(\left(f_1(x),f_2(x)\right)=1\)，根据裴蜀定理可知存在\(u(x), v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得 \(u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)= 1\)，于是\(u(A)f_1(A)+v(A)f_2(A)= E\)（\(E\)是单位矩阵）。
对\(\forall X\in V\)，有
\begin{equation*}
X=EX=u(A)f_1(A)X+v(A)f_2(A)X\triangleq X_2+X_1,
\end{equation*}
其中\(X_1= v(A)f_2(A)X\)，\(X_2= u(A)f_1(A)X\)。则
\begin{equation*}
f_1(A)X_1=v(A)f_1(A)f_2(A)X=v(A)f(A)X=0,
\end{equation*}
所以\(X_1\in V_1\)。 同理\(X_2\in V_2\)。所以\(V=V_1+V_2\)。
另一方面，设\(Y\in V_1\cap V_2\)，则\(Y=u(A)f_1(A)Y+v(A)f_2(A)Y=0+0=0\)，即\(V_1\cap V_2 =\{0\}\)。
综上\(V=V_1\oplus V_2\)。
证法二：（陈弘劼，2022级）先证\(\dim V=\dim V_1+\dim V_2\)，因为
\begin{equation*}
\dim V=n-r\left(f_1(A)f_2(A)\right),\dim V_1=n-r\left(f_1(A)\right),\dim V_2=n-r\left(f_2(A)\right),
\end{equation*}
所以只需证
\begin{equation*}
r\left(f_1(A)f_2(A)\right)=r\left(f_1(A)\right)+r\left(f_2(A)\right)-n.
\end{equation*}
因为\(\left(f_1(x),f_2(x)\right)=1\)，根据裴蜀定理可知存在\(u(x), v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得 \(u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)= 1\)，于是\(u(A)f_1(A)+v(A)f_2(A)= {\color{red}E_n}\)（\(E_n\)是\(n\)阶单位矩阵）。 作分块矩阵的初等变换
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_n&0\\0&f_1(A)f_2(A)
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
E_n&0\\f_1(A)&f_1(A)f_2(A)
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
E_n&-f_2(A)\\f_1(A)&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
=\begin{pmatrix}
u(A)f_1(A)+f_2(A)v(A)&-f_2(A)\\f_1(A)&0
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
0&-f_2(A)\\f_1(A)&0
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
f_1(A)&0\\0&f_2(A)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以\(n+r\left(f_1(A)f_2(A)\right)=r\left(f_1(A)\right)+r\left(f_2(A)\right)\)，从而\(\dim V=\dim V_1+\dim V_2\)。
再证\(V_1\cap V_2 =\{0\}\)。设\(Y\in V_1\cap V_2\)，则\(f_1(A)Y=0,f_2(A)Y=0\)，于是
\begin{equation*}
Y=u(A)f_1(A)Y+v(A)f_2(A)Y=0+0=0,
\end{equation*}
故\(V_1\cap V_2 =\{0\}\)。
综上\(V=V_1\oplus V_2\)。
- 注： \(\forall \)方阵\(A\)及两个多项式\(f(x),g(x)\)，\(f(A)g(A)=g(A)f(A)\)。
13.
求一个次数最低的多项式\(f(x)\)，使\(f(x)\)除以\(x^2+1,x^3+x^2+1\)的余式分别为\(x+1,x^2-1\)。
14.
写一个中国剩余定理的程序，以\(p_1,\ldots,p_n;g_1,\ldots,g_n\)为输入，\(f(x)\)为输出。
