高等代数教学辅导

子节 7.4.1 主要知识点

• 设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)阶\(\lambda-\)矩阵，\(r(A(\lambda))=r\)。将\(A(\lambda)\)的不变因子\(g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots ,g_r(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上分解为首一的不可约多项式之积

  \begin{equation*} \begin{array}{c} g_1(\lambda)=p_1^{e_{11}}(\lambda)p_2^{e_{12}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{1t}}(\lambda),\\ g_2(\lambda)=p_1^{e_{21}}(\lambda)p_2^{e_{22}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{2t}}(\lambda),\\ \cdots\cdots\\ g_r(\lambda)=p_1^{e_{r1}}(\lambda)p_2^{e_{r2}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{rt}}(\lambda), \end{array} \end{equation*}

  其中\(p_1(\lambda),\cdots ,p_t(\lambda)\)是首一的两两互素的不可约多项式，\(e_{ij}\geq 0\)。

• 设\(r(A(\lambda))=r\)。将\(A(\lambda)\)的非常数不变因子\(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上分解为首一的不可约多项式之积

  \begin{equation*} \begin{array}{c} d_1(\lambda)=p_1^{e_{11}}(\lambda)p_2^{e_{12}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{1t}}(\lambda),\\ d_2(\lambda)=p_1^{e_{21}}(\lambda)p_2^{e_{22}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{2t}}(\lambda),\\ \cdots\cdots\\ d_k(\lambda)=p_1^{e_{k1}}(\lambda)p_2^{e_{k2}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{kt}}(\lambda), \end{array} \end{equation*}

  其中\(p_1(\lambda),\cdots ,p_t(\lambda)\)是首一的两两互素的不可约多项式，\(e_{ij}\geq 0\)。
• 则其中对应于\(e_{ij}\geq 1\)的那些方幂：

  \begin{equation*} p_j^{e_{ij}}(\lambda)\ (e_{ij}\geq 1) \end{equation*}

  就是\(A(\lambda)\)的全部初等因子。
• 注意到不变因子\(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)\)满足

  \begin{equation*} d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ i=1,2,\cdots ,k-1. \end{equation*}

  从而，

  \begin{equation*} p_j^{e_{ij}}(\lambda)|p_j^{e_{i+1,j}}(\lambda),\ i=1,2,\cdots ,k,\ j=1,2,\cdots ,t. \end{equation*}

  因此有，\(0\leq e_{1j}\leq e_{2j}\leq\cdots\leq e_{rj},\ j=1,2,\cdots , t\)。即同一个不可约因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在最后一个不变因子\(d_k(\lambda)\)的分解式中，次高的必出现在倒数第二个不变因子\(d_{k-1}(\lambda)\)中，依此类推。
• 设\(r(A(\lambda))=r\)且\(A(\lambda)\)的全部初等因子为已知。在全部初等因子中，将同一个不可约因式

  \begin{equation*} p_j(\lambda),\ j=1,2,\cdots ,t \end{equation*}

  的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足 \(r\) 个时，则在后面补上适当个数的\(1\)，使其凑成 \(r\)个，设所得排列为

  \begin{equation*} p_j^{e_{rj}}(\lambda),p_j^{e_{r-1,j}}(\lambda),\cdots ,p_j^{e_{1j}}(\lambda),j=1,2,\cdots ,t. \end{equation*}

  令

  \begin{equation*} g_i(\lambda)=p_1^{e_{i1}}(\lambda)p_2^{e_{i2}}(\lambda)\cdots p_r^{e_{ir}}(\lambda),i=1,2,\cdots ,r, \end{equation*}

  则\(g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots ,g_r(\lambda)\)就是\(A(\lambda)\)的不变因子。

• 因为\(A\)的初等因子组是唯一确定的， 所以在不考虑广义Jordan块的排列次序，\(A\)的广义Jordan标准形是唯一确定的。