定理 2.1.1.
经过下面三种变换， 前后两个线性方程组是同解的：
- 互换方程的顺序；
- 同一个方程两边同时乘以一个非零常数；
- 一个方程乘以一个常数加到另外一个方程上。
节 2.1 消元法
- 线性方程组\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}}\\ {{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}}\\ {\cdots}\\ {{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}} \end{array}} \right. , \end{equation*}即\(AX=\beta\) 。
- Cramer法则： 当\(A\)可逆时， 方程组有唯一解\begin{equation*} x_i=\frac{D_i}{\det A},i=1,2,\cdots,n. \end{equation*}
- 未解决问题：
- \(A\)为方阵且不可逆时，方程组有解的判定和计算；
- \(A\)非方阵时，方程组有解的判定和计算。
- 解线性方程组\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 4y = 5}\\ {x + y = 3} \end{array}} \right. \)
子节 2.1.1 主要知识点
- 初等变换过程中仅仅只对未知量的系数和右端常数项进行运算，未知量 并未参与运算。
线性方程组的矩阵表示
- 线性方程组\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + a{}_{1n}{x_n} = {b_1},\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + a{}_{2n}{x_n} = {b_2},\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + a{}_{mn}{x_n} = {b_m}, \end{array} \right.\quad (*) \end{equation*}
- 矩阵乘法表示：\(AX=\beta\text{;}\)
- 系数矩阵： \(A\)；
- 增广矩阵：\(\overline{A}=(A,\beta)\)；
- 相应齐次线性方程组：\(AX=0\)。
- 引例：解线性方程组\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 4y = 5}\\ {x + y = 3} \end{array}} \right. \)
- 方程组的初等变换\(\Longleftrightarrow\) 增广矩阵的初等行变换。
消元法的矩阵表示
设\(r(A)=r\)，对增广矩阵\(\overline{A}\)作行的初等变换化为阶梯形矩阵，不妨设
\begin{equation*}
\overline{A}\longrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc}
a_{11}'&a_{12}'&\cdots&a_{1r}'&a_{1,r+1}'&\cdots&a_{1n}'&b_{1}'\\
0&a_{22}'&\cdots&a_{2r}'&a_{2,r+1}'&\cdots&a_{2n}'&b_{2}'\\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&a_{rr}'&a_{r,r+1}'&\cdots&a_{rn}'&b_{r}'\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&b_{r+1}'\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0
\end{array}\right)
\end{equation*}
- 方程组(*)有解的充要条件是 \({\color{blue}b_{r+1}'=0}\)，即\(r(\overline{A})=r(A)\)。
设\(r(A)=r\)且\(b_{r+1}'=0\)，对增广矩阵继续作行的初等变换
\begin{equation*}
\overline{A}\longrightarrow{\color{blue}\left(\begin{array}{cccccccc}
1&0&\cdots&0&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}&d_{1}\\
0&1&\cdots&0&c_{2,r+1}&\cdots&c_{2n}&d_{2}\\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&1&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}&d_{r}\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0
\end{array}\right)}
\end{equation*}
称之为简化阶梯形矩阵。
特点：
- 阶梯形矩阵，非零首元均为1；
- 非零首元所在列的其余元都为0。
设\(r(A)=r\)且\(b_{r+1}'=0\)，
- 当\({\color{blue}r=n}\)时，对应的阶梯形线性方程组\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{}&{}&{}&{ = {d_1}}\\ {}&{{x_2}}&{}&{}&{ = {d_2}}\\ {}&{}& \cdots &{}&{}\\ {}&{}&{}&{{x_n}}&{ = {d_n}} \end{array}} \right. \end{equation*}
- 此时，线性方程组有唯一解\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = {d_1}}\\ {{x_2} = {d_2}}\\ \cdots \\ {{x_n} = {d_n}} \end{array}} \right.. \end{equation*}
- 当\({\color{blue}r<n}\)，这时阶梯形方程组可化为\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{}&{}&{}&{ = {d_1} - {c_{1,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{1,n}}{x_n}}\\ {}&{{x_2}}&{}&{}&{ = {d_2} - {c_{2,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{2,n}}{x_n}}\\ {}&{}& \ddots &{}&{}\\ {}&{}&{}&{{x_r}}&{ = {d_r} - {c_{r,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{r,n}}{x_n}} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}(1) \end{equation*}
- 任意给\(x_{r+1},\cdots ,x_n\)一组值，由(1)就唯一地定出\(x_1,\cdots ,x_r\)的一组值。 此时方程组有无穷多个解。
- 我们把\(x_1,\cdots ,x_r\)通过\(x_{r+1},\cdots ,x_n\)表示出来的这样一组解的表达式称为该方程组的一般解。
- \(x_{r+1},\cdots ,x_n\)称为一组自由未知量。
- \(x_1,\cdots ,x_r\)称为一组主变量。
定理 2.1.2.
\(n\)元线性方程组\(AX=\beta\)有解的充分必要条件是\(r(\overline{A})=r(A)\)。 在有解的情况下，记\(r(\overline{A})=r(A)=r\)。
- 如果\(r=n\)， 则方程组有唯一解；
- 如果\(r<n\)， 则方程组有无穷多解， 在解中有\(n-r\)个自由未知量。
解线性方程组的一般步骤
- 利用行初等变换， 将增广矩阵\(\overline{A}\)化为阶梯形矩阵。
- 由此确定\(r(A)\)和\(r(\overline{A})\) 。
- 若\(r(A)<r(\overline{A})\)， 则方程组无解；
- 若\(r(A)=r(\overline{A})\)， 则方程组有解。
- 当方程组有解时， 将阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵。
- 当\(r=n\)时， 得到唯一解；
- 当\(r<n\)时， 确定主变量、自由未知量，得到方程组的一般解。
例 2.1.3.
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2}\\
{{x_1} + {x_2} + {x_3} + 2{x_4} = 0}\\
{{x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 1}
\end{array}} \right. .
\end{equation*}
例 2.1.4.
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_3} = 2}\\
{{x_1} + 2{x_2} - {x_3} = 0}\\
{2{x_1} + {x_2} - a{x_3} = b}
\end{array}} \right. .
\end{equation*}
定义 2.1.5.
常数项全为0的线性方程组
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = 0}\\
{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = 0}\\
{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\\
{{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = 0}
\end{array}} \right.
\end{equation*}
称为齐次线性方程组。- 对于齐次方程组， 总有\(r(A)=r(\overline{A})\) 。
推论 2.1.6.
设\(n\)元齐次线性方程组\(AX=0\)的系数矩阵\(A\)的秩为\(r\)。
- 若\(r = n \)， 则方程组只有零解；
- 若\(r < n\) ， 则方程组有无穷多解。
推论 2.1.7.
含有\(n\)个方程的\(n\)元齐次线性方程组
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = 0}\\
{{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = 0}\\
{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\\
{{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \cdots + {a_{nn}}{x_n} = 0}
\end{array}} \right.
\end{equation*}
有非零解的充分必要条件是\(\det A = 0\)。
例 2.1.8.
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a{x_1} + b{x_2} + b{x_3} + \cdots + b{x_n} = 0}\\
{b{x_1} + a{x_2} + b{x_3} + \cdots + b{x_n} = 0}\\
{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\\
{b{x_1} + b{x_2} + b{x_3} + \cdots + a{x_n} = 0}
\end{array}} \right.
\end{equation*}
其中\(a \ne 0,b \ne 0,n \ge 2\)。 - 试讨论\(a\)、\(b\)为何值时， 方程组仅有零解， 有无穷多解?
- 在有无穷多解时， 求出全部解。
练习 2.1.2 练习
1.
已知线性方程组\(\left\{\begin{array}{l}
x_1+2x_2+x_3=1\\
2x_1+3x_2+(a+2)x_3=3\\
x_1+ax_2-2x_3=0
\end{array}\right.\)无解，求\(a\)。
解答.
\begin{equation*}
\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&1\\2&3&a+2&3\\1&a&-2&0
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&1\\0&-1&a&1\\0&0&(a-3)(a+1)&a-3
\end{array}\right)
\end{equation*}
方程组无解\(\Leftrightarrow r(\overline{A})\neq r(A)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
(a-3)(a+1)=0\\a-3\neq 0
\end{array}\right.\Leftrightarrow a=-1\)。
2.
用消元法解齐次线性方程组
\begin{equation*}
(1)\ \left\{\begin{array}{l}
2x_1-3x_2+x_3+5x_4-12x_5=3,\\
-3x_1+x_2+2x_3-4x_4+11x_5=-1,\\
-x_1-2x_2+3x_3+x_4-x_5=2,\\
5x_1+2x_2-7x_3+2x_4-8x_5=2.
\end{array}\right.\quad(2)\ \left\{\begin{array}{l}
x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5=0,\\
-x_1+x_2+x_4+2x_5=0,\\
x_1+3x_2+4x_3+2x_4-x_5=0.
\end{array}\right.
\end{equation*}
解答.
(1) 所以此线性方程组的一般解为：
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1 = 4 +x_3\\
x_2 = -5+x_3+x_5\\
x_4 = -4+3x_5
\end{array}
\right.
\end{equation*}
其中 \(x_3,x_5\)为自由变量。
(2) 所以此线性方程组的一般解为：
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1 = 4x_5 -x_3\\
x_2 = -x_3-7x_5\\
x_4 = 9x_5
\end{array}
\right.
\end{equation*}
其中 \(x_3,x_5\)为自由变量。
3.
设有线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
(a+3)x_1+x_2+2x_3=a,\\
ax_1+(a-1)x_2+x_3=2a,\\
3(a+1)x_1+ax_2+(a+3)x_3=0,
\end{array}\right.
\end{equation*}
问\(a\)取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有无穷多解时， 求其一般解。
解答.
\(\det A=\left|\begin{array}{ccc}
a+3&1&2\\a&a-1&1\\3(a+1)&a&a+3
\end{array}\right|=a^2(a-1)\)
- 当\(a=0\)时，此方程组为齐次方程组，\begin{equation*} A=\left(\begin{array}{ccc} 3&1&2\\0&-1&1\\3&0&3 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0 \end{array}\right) \end{equation*}\(r(A)=2\neq 3\)，则方程组有无穷多组解。一般解为\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-x_3\\x_2=x_3 \end{array}. \right. \end{equation*}
- 当\(a=1\)时，\begin{equation*} \overline{A}=\left(\begin{array}{cccc} 4&1&2&1\\1&0&1&2\\6&1&4&0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1&0&1&0\\0&1&-2&0\\0&0&0&1 \end{array}\right) \end{equation*}\(r(\overline{A})=3\neq 2=r(A)\)，则方程组无解。
- 当\(a\neq 0\)且\(a\neq 1\)时，方程组有唯一解。
