定义 3.5.1.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，若\(V_1 + V_2\)的任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2
\end{equation*}
是唯一的，则称\(V_1+V_2\)为直和，记为\(V_1\oplus V_2\)。节 3.5 直和分解
子节 3.5.1 主要知识点
备注 3.5.2.
分解式\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)唯一的，即若有
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_1,\beta_1\in V_1,\alpha_2,\beta_2\in V_2,
\end{equation*}
则有\(\alpha_1=\beta_1\)，\(\alpha_2=\beta_2\)。
命题 3.5.3.
若\(V_1\)，\(V_2\)是\(V\)的子空间，则\(V_1 + V_2\)是直和的充要条件是\(V_1\cap V_2=0\)。
命题 3.5.4.
若\(V_1\)，\(V_2\)是有限维线性空间\(V\)的子空间，则下述命题等价：
- \(V_1+V_2\)是直和；
- \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\)；
- \(V_1\)的任意一组基与\(V_2\)的任意一组基的并构成\(V_1+V_2\)的一组基。
定义 3.5.5.
设\(V_1,V_2,\ldots ,V_s\)是\(V\)的子空间，若对\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)中任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+ \alpha_2+\cdots+\alpha_s,\ \alpha_i\in V_i,\ i=1,2,\ldots, s
\end{equation*}
唯一，则称\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)为直和，记做\(V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s\) 或
\begin{equation*}
{\color{red}\oplus_{i=1}^s V_i}.
\end{equation*}
定理 3.5.6.
设\(V_1,V_2, \ldots ,V_s\)是线性空间\(V\)的有限维子空间，则下列命题等价：
- \(V_1+V_2 +\cdots+V_s\) 是直和；
- 零元素的分解{\color{red}唯一}；
- 对任意的\(i\)，都有\(V_i\bigcap \sum_{j\ne i}V_j=0\)；
- 对任意的\(i\)，都有\(V_i\bigcap \sum_{\blue{j<i}}V_j=0\)；
- \(V_1,V_2, \ldots ,V_s\) 的基凑成\(V_1+V_2 +\cdots+V_s\)的基；
- \(\dim (V_1+V_2 +\cdots+V_s) = \dim(V_1)+\dim(V_2)+\cdots+\dim(V_s)\)。
定理 3.5.7.
若\(V\)是有限维线性空间\(V\)的子空间，且\(V_1\)是\(V\)的非平凡子空间，则存在\(V\)的子空间\(V_2\)， 使得\(V=V_1\oplus V_2\)。
- 称\(V_2\)是\(V_1\)的补空间或余子空间。
- 补空间（余子空间）一般不是唯一的。
定理 3.5.8.
设\(V_1, V_2\)是有限维线性空间\(V\)的子空间。
- \(V=V_1+V_2\)；
- \(V_1\bigcap V_2 =0\)；
- \(\dim V=\dim V_1+\dim V_2\)；
任意两个条件成立，则\(V=V_1\oplus V_2\)。
例 3.5.9.
\(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵全体构成空间\(V\)， 所有\(n \)阶反对称矩阵全体构成空间\(U\)，则
\begin{equation*}
\mathbb{F}^{n\times n}=V\oplus U.
\end{equation*}
例 3.5.10.
设\(V=U\oplus W, U=U_1\oplus U_2\)，则\(V=U_1\oplus U_2\oplus W\)。
例 3.5.11.
设\(V\)为\(n\)维线性空间，则存在\(n\)个\(1\)维线性空间\(V_i, i = 1, 2,\cdots , n\)，使得
\begin{equation*}
V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_n.
\end{equation*}
例 3.5.12.
设\(A\)为\(n\)阶方阵, 且
\begin{equation*}
V_1=\{X\in\mathbb{F}^n|AX=0\},V_2=\{X\in\mathbb{F}^n|(A-E)X=0\}.
\end{equation*}
证明：\(A^2=A\Leftrightarrow\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2.\)
例 3.5.13.
设\(W_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
a&0&c\\a&0&0\\c&b&0
\end{array}\right)\right| a,b,c\in\mathbb{R}\right\},W_2=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
x&0&0\\0&y&0\\0&z&z
\end{array}\right)\right| x,y,z\in\mathbb{R}\right\}\)，
- 试求\(W_1+W_2\)；
- 记\(W=W_1+W_2\)，试求子空间\(W_3\)使\(\mathbb{R}^{3\times 3}=W\oplus W_3\)。
练习 3.5.2 练习
1.
在\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)中，记\(U=\left\{\begin{pmatrix}
x&y\\y&0
\end{pmatrix}\ |\ x,y\in\mathbb{F}\right\},W=\left\{\begin{pmatrix}
x&y\\0&x
\end{pmatrix}\ |\ x,y\in\mathbb{F}\right\}\)。证明：
- \(U,W\)都是\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间；
- \(\mathbb{F}^{2\times 2}=U\oplus W\)。
2.
在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)中，记\(U=\left\{A\in\mathbb{F}^{n\times n}\ |\ tr(A)=0\right\},W=\left\{aE_n\ |\ a\in\mathbb{F}\right\}\)。证明：
- \(U,W\)都是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间；
- \(\mathbb{F}^{n\times n}=U\oplus W\)。
3.
设\(n\)元齐次线性方程组\(x_1=x_2=\cdots=x_n\)的解空间为\(U\)，\(n\)元齐次线性方程组\(x_1+x_2+\cdots+x_n=0\)的解空间为\(W\)，证明：\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
4.
设数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵\(A,B,C,D\)两两可交换，且满足\(AC+BD=E_n\)。记\(ABX=0\)的解空间为\(V\)，\(AX=0\)的解空间为\(V_1\)，\(BX=0\)的解空间为\(V_2\)。证明：\(V=V_1\oplus V_2\)。
5.
设\(A_i\in\mathbb{F}^{m_i\times n}\)，齐次线性方程组\(A_iX=0\)的解空间是\(V_i\)（\(i=1,2\)） 。证明：\(F^n=V_1\oplus V_2\)的充分必要条件为\(r \begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}=r(A_1)+r(A_2)=n\)。
6.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(U\)是\(V\)的非零子空间。证明：如果\(U\)在\(V\)中存在唯一的补空间，即存在唯一的子空间\(W\)使得\(V=U\oplus W\)，则\(U=V\)。
7.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(U\)是\(V\)的非平凡子空间。证明：\(U\)在\(V\)中有无穷多个补空间。
8.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(V_1\)、\(V_2\)是\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(W\)，使得\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。
