主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 8.1 内积空间的概念

建设中！

子节 8.1.1 主要知识点

定义 8.1.1.

设\(V\)是\({\color{blue}\mathbb{R}}\)上线性空间，\((-,\ -): V\times V\rightarrow\mathbb{R}\) 是\(V\)上的二元函数， 如果对任意\(\alpha,\beta,\gamma\in V,\ c\in\mathbb{R}\)，都有
  1. 交换律：\(\left(\alpha ,\beta\right)=\left(\beta,\alpha\right)\)；
  2. 内积与加法的协调：\(\left( (\alpha+\beta),\gamma\right)=\left(\alpha ,\gamma\right)+\left(\beta ,\gamma\right)\)；
  3. 内积与数乘的协调：\(\left(c\alpha ,\beta\right)=c\left(\alpha ,\beta\right)\)；
  4. 非负性：\(\left(\alpha ,\alpha\right)\geq 0\)且等号成立当且仅当\(\alpha=0\)。
则称二元函数\((-,-)\)是\(V\)上的一个内积。线性空间\(V\)称为实内积空间。有限维实内积空间称为Euclid（欧几里得）空间，简称欧氏空间。

定义 8.1.2.

设\(V\)是\({\color{red}\mathbb{C}}\)上线性空间，\((-,\ -): V\times V\rightarrow\mathbb{C}\) 是\(V\)上的二元函数， 如果对任意\(\alpha,\beta,\gamma\in V,\ c\in\mathbb{C}\)，都有
  1. Hermite性：\(\left(\alpha ,\beta\right)=\overline{\left(\beta,\alpha\right)}\)；
  2. 第一变量与加法的协调：\(\left( (\alpha+\beta),\gamma\right)=\left(\alpha ,\gamma\right)+\left(\beta ,\gamma\right)\)；
  3. 第一变量与数乘的协调：\(\left(c\alpha ,\beta\right)=c\left(\alpha ,\beta\right)\)；
  4. 非负性：\(\left(\alpha ,\alpha\right)\geq 0\)且等号成立当且仅当\(\alpha=0\)。
则称二元函数\((-,-)\)是\(V\)上的一个(复)内积。线性空间\(V\)称为 复内积空间。有限维复内积空间称为酉空间。

例 8.1.3.

在\(\mathbb{R}^n\)中，对于向量\(\alpha=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)^T,\beta=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)^T\)，
  • 定义
    \begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)=\alpha^T\beta=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n, \end{equation*}
    易证\((-,-)\)满足定义定义 8.1.1中的性质\(1 \sim 4\)，所以\(\mathbb{R}^n\)关于以上定义的内积\((-,-)\)构成欧氏空间。这个内积称为\(\mathbb{R}^n\)中的标准内积。
  • 当 \(n=3\)时，\((\alpha ,\beta)\)即为几何空间\(\mathbb{R}^3\)中内积\(\alpha\cdot\beta\)。

例 8.1.4.

在\(\mathbb{R}^n\)中，对于向量\(\alpha=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)^T,\beta=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)^T,\) 定义
\begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)_1 =a_1b_1+2a_2b_2+\cdots +na_nb_n, \end{equation*}
易证\((-,-)_1\)满足定义定义 8.1.1中的性质\(1 \sim 4\)，所以\(\mathbb{R}^n\)关于\((-,-)_1\)也构成欧氏空间。

备注 8.1.5.

  • 由于对任意\(\alpha ,\beta\in\mathbb{R}^n\) ，未必有\((\alpha ,\beta)=(\alpha ,\beta)_1\)，所以例 8.1.3、例 8.1.4中的内积是两种不同的内积。故\(\mathbb{R}^n\)对这两种内积构成不同的欧氏空间。
  • 欧氏空间的定义与内积的选取紧密相关。
  • 今后如无特别说明，欧氏空间\(\mathbb{R}^n\)总指例 8.1.3中所定义的内积空间。

例 8.1.6.

在\(\mathbb{C}^n\)中，对于向量\(\alpha=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)^T,\beta=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)^T,\) 定义
\begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)=a_1\bar{b}_1+a_2\bar{b}_2+\cdots +a_n\bar{b}_n, \end{equation*}
易证\((-,-)\)满足定义定义 8.1.2 中的性质\(1 \sim 4\)，所以\(\mathbb{C}^n\)关于\((-,-)\)构成酉空间。上述内积称为\(\mathbb{C}^n\)的(复)标准内积。

定义 8.1.9.

设\(V\)是实或复内积空间，\(\alpha\in V\)。定义\(\alpha\)的长度（或范数）为\(\sqrt{\left(\alpha,\alpha\right)}\) ，记为\(\|\alpha\|\) （或\(|\alpha|\)}）。
特别地，当\(\|\alpha\|=1\)时，称\(\alpha\)为单位向量。

证明.

当\(\alpha,\beta\)线性相关时，则\(\alpha=0\)或\(\beta= c \alpha\)，其中\(c\in\mathbb{C}\)。若\(\alpha=0\)，则
\begin{equation*} \left|\left(\alpha ,\beta\right)\right|=\left|\left(0 ,\beta\right)\right|=0=\|0\|\|\beta\|=\|\alpha\|\|\beta\|\mbox{。} \end{equation*}
若\(\beta= c \alpha\)，则
\begin{equation*} \left|\left(\alpha ,\beta\right)\right|=\left|\left(\alpha ,c \alpha\right)\right|=\left|\overline{c}\left(\alpha ,\alpha\right)\right|=\left|c\right|\|\alpha\|^2=\|\alpha\|\|\beta\|\mbox{。} \end{equation*}
当\(\alpha,\beta\)线性无关时，对任意\(t\in\mathbb{C}\)，有\(t\alpha+\beta\neq 0\)。从而
\begin{equation*} 0<\left(t\alpha+ \beta,t\alpha+ \beta\right)=\left(\beta,\beta\right)+t\left(\alpha , \beta\right)+\overline{t}\left(\beta,\alpha\right)+|t|^2\left(\alpha,\alpha\right) \end{equation*}
特别地，取\(t=-\frac{\left(\beta,\alpha\right)}{\left(\alpha,\alpha\right)}\)，代入上式得
\begin{equation*} 0<\left(\beta,\beta\right)-\frac{\left(\beta,\alpha\right)}{\left(\alpha,\alpha\right)}\left(\alpha,\beta\right)-\frac{\left(\alpha,\beta\right)}{\left(\alpha,\alpha\right)}\left(\beta , \alpha\right)+\frac{\left(\alpha,\beta\right)\left(\beta,\alpha\right)}{\left(\alpha,\alpha\right)^2}\left(\alpha,\alpha\right)=\|\beta\|^2-\frac{\left|(\alpha,\beta)\right|^2}{\|\alpha\|^2}\mbox{。} \end{equation*}
由此得出，\(\left|\left(\alpha ,\beta\right)\right|< \|\alpha\|\|\beta\|\)。
  • Cauchy不等式：对任意实数\(a_i,b_i(i=1,2,\cdots ,n)\)，总有
    \begin{equation*} (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2); \end{equation*}
  • Schwarz不等式：对任意\(f(x),g(x)\in C[a,b]\)，总有
    \begin{equation*} \left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2\leq \int_a^b f^2(x)dx\int_a^b g^2(x)dx; \end{equation*}
  • 三角不等式：对实或复内积空间中任意两个向量\(\alpha ,\beta\)，有
    \begin{equation*} \|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|\mbox{。} \end{equation*}

定义 8.1.12.

在实内积空间\(V \)中，定义非零向量\(\alpha ,\beta\) 的夹角 \(\theta\)由下式定义：
\begin{equation*} \cos\theta =\frac{\left(\alpha,\beta\right)}{\|\alpha\|\|\beta\|},\ 0\leq \theta\leq \pi\mbox{。} \end{equation*}

定义 8.1.13.

在内积空间\(V\) 中，两个向量\(\alpha,\beta\)称为正交， 记为\(\alpha\bot\beta\)， 如果
\begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)=0\mbox{。} \end{equation*}

备注 8.1.14.

  1. 零向量和任何向量都正交；
  2. 在实内积空间\(V\)中，非零向量\(\alpha,\beta\)正交\(\Leftrightarrow\alpha,\beta\)的夹角为\(\frac{\pi}{2}\)。

练习 8.1.2 练习

1.

在\(\mathbb{R}^2\)中，对于任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T\)，规定
\begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)=a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+2a_2b_2, \end{equation*}
判断\(\mathbb{R}^2\)关于以上定义的\((-,-)\)能否构成欧氏空间。
解答.
对任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T,\gamma=(c_1,c_2)^T,k\in\mathbb{R}\)，
  1. \(\left(\alpha,\beta\right)=a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+2a_2b_2=b_1a_1-b_1a_2-b_2a_1+2b_2a_2=\left(\beta,\alpha\right)\text{;}\)
  2. \(\displaystyle \begin{array}{ccl}\left(\alpha+\beta,\gamma\right)&=&(a_1+b_1)c_1-(a_1+b_1)c_2-(a_2+b_2)c_1+2(a_2+b_2)c_2\\ &=&(a_1c_1-a_1c_2-a_2c_1+2a_2c_2)+(b_1c_1-b_1c_2-b_2c_1+2b_2c_2)\\ &=&\left(\alpha,\gamma\right)+\left(\beta,\gamma\right); \end{array}\)
  3. \(\left(k \alpha,\beta\right)=ka_1b_1-ka_1b_2-ka_2b_1+2ka_2b_2=k\left(\alpha,\beta\right)\text{;}\)
  4. \(\left(\alpha,\alpha\right)=a_1^2-2a_1a_2+2a_2^2=(a_1-a_2)^2+a_2^2\geq 0\)且等号成立的充要条件是\(a_1=a_2=0\)，即\(\alpha=0\)。
因此\(\mathbb{R}^2\)关于以上定义的\((-,-)\)构成欧氏空间。

2.

设\(A\)是\(n\)阶可逆复矩阵。在\(\mathbb{C}^n\)中，对任意\(X,Y\in\mathbb{C}^n\)，规定
\begin{equation*} \left(X,Y\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{Y}. \end{equation*}
证明：\(\mathbb{C}^n\)关于以上定义的\((-,-)\)构成酉空间。
解答.
对任意\(X,Y,Z\in\mathbb{C}^n,c\in\mathbb{C}\)，
  1. \(\left(X,Y\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{Y}=(X^TA^T\bar{A}\overline{Y})^T=\overline{Y}^T\bar{A}^TAX=\overline{Y^TA^T\bar{A}\overline{X}}=\overline{\left(Y,X\right)}\text{;}\)
  2. \(\left(X+Y,Z\right)=(X+Y)^TA^T\bar{A}\overline{Z}=X^TA^T\bar{A}\overline{Z}+Y^TA^T\bar{A}\overline{Z} =\left(X,Z\right)+\left(Y,Z\right)\text{;}\)
  3. \(\left(cX,Y\right)=(cX)^TA^T\bar{A}\overline{Y}=c(X^TA^T\bar{A}\overline{Y})=c\left(X,Y\right)\text{;}\)
  4. \(\left(X,X\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{X}=(AX)^T\overline{(AX)}=\left|a_1\right|^2+\left|a_2\right|+\cdots+\left|a_n\right|^2\geq 0\)，其中\(AX=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T\)，且等号成立的充要条件是\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)，即\(AX=0\)。注意到\(A\)可逆，故等号成立的充要条件是\(X=0\)。
因此\(\mathbb{C}^n\)关于以上定义的\((-,-)\)构成酉空间。

3.

设\(V\)是实或复内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，证明：
  1. 若对任意\(v\in V\)，\(\left(\alpha, v\right)=0\)，则\(\alpha=0\)；
  2. 若对任意\(v\in V\)，\(\left(\alpha, v\right)=\left(\beta, v\right)\)，则\(\alpha=\beta\)。
解答.
  1. 根据已知条件，有\(\left(\alpha, \alpha\right)=0\)，故\(\alpha=0\)。
  2. 由已知条件，对任意\(v\in V\)，
    \begin{equation*} \left(\alpha- \beta, v\right)=\left(\alpha, v\right)-\left(\beta, v\right)=0, \end{equation*}
    根据结论上题得，\(\alpha- \beta=0\)，即\(\alpha= \beta\)。

4.

设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是内积空间\(V\)的一个基，\(\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\xi_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\xi_i\in V\)。令
\begin{equation*} G=\begin{pmatrix} \left(\xi_1,\xi_1\right)&\left(\xi_1,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_1,\xi_n\right)\\ \left(\xi_2,\xi_1\right)&\left(\xi_2,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_2,\xi_n\right)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \left(\xi_n,\xi_1\right)&\left(\xi_n,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_n,\xi_n\right) \end{pmatrix}, \end{equation*}
证明：
  1. \(\left(\alpha,\beta\right)=X^TG\overline{Y}\)，其中\(X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)^T\)；
  2. \(G\)是可逆矩阵。
解答.
  1. \(\displaystyle \left(\alpha,\beta\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\xi_i,\sum\limits_{i=1}^n y_i\xi_i\right) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_i\overline{y_i}\left(\xi_i, \xi_j\right)=X^TG\overline{Y}.\)
  2. 设\(X\in\mathbb{C}^n\)满足\(GX=0\)，则\(\overline{X}^TGX=0\)。令
    \begin{equation*} \alpha=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)\overline{X}, \end{equation*}
    则\(\alpha\in V\)。根据结论\((1)\)，得\((\alpha,\alpha)=0\)，则\(\alpha=0\)，即\(X=0\)。因此\(G\)是可逆矩阵。

5.

对于实内积空间\(C[-1,1]\)，内积定义为
\begin{equation*} \left(f(x),g(x)\right)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx, \end{equation*}
求\(\| 1\|\)。
解答.
\(\|1\|=\sqrt{(1,1)}=\sqrt{\int_{-1}^1 1\cdot 1dx}=\sqrt{2}.\)

6.

设\(V\)是实内积空间，证明：
\begin{equation*} \left(\alpha,\beta\right)=\frac{1}{4}\left(\|\alpha+\beta\|^2-\|\alpha- \beta\|^2\right),\ \forall \alpha,\beta\in V. \end{equation*}
(这个恒等式称为极化恒等式。)
解答.
\(\begin{array}{ccl} \frac{1}{4}\left(\|\alpha+\beta\|^2-\|\alpha- \beta\|^2\right)&=&\frac{1}{4}\left[\left(\alpha+\beta,\alpha+ \beta\right)-\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)\right]\\ &=&\frac{1}{4}\left[\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta, \beta\right)+2\left(\alpha,\beta\right)\right.\\ &&\left.-\left(\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta, \beta\right)-2\left(\alpha,\beta\right)\right)\right]\\ &=&\left(\alpha,\beta\right). \end{array}\)

7.

设\(V\)是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，证明：
\begin{equation*} \|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha- \beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2. \end{equation*}
当\(V\)是几何空间时，说明这个恒等式的几何意义。
解答.
\begin{equation*} \begin{array}{cl} &\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha- \beta\|^2\\=&\left(\alpha+\beta,\alpha+\beta\right)+\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)\\ =&\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta,\beta\right)+2\left(\alpha,\beta\right)+\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta,\beta\right)-2\left(\alpha,\beta\right)\\ =&2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2. \end{array} \end{equation*}
当\(V\)是几何空间时，说明平行四行形两对角线的平方和等于四条边边长的平方和。

8.

在实或复内积空间\(V\)中，定义\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|\)为两个向量\(\alpha,\beta\)间的距离，证明：
  1. \(d(\alpha,\beta)\geq 0\)；
  2. \(d(\alpha,\beta)=0\)当且仅当\(\alpha=\beta\)；
  3. \(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)\)；
  4. \(d(\alpha,\beta)\leq d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)。
解答.
  1. 由内积定义知，\(d(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)}\geq 0\)；
  2. 由内积定义知，\(d(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)}=0\)当且仅当\(\alpha-\beta=0\)，即\(\alpha=\beta\)；
  3. \(d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|=\|- (\beta- \alpha)\|=|-1|\cdot\|\beta- \alpha\|=d(\beta,\alpha)\)；
  4. 根据三角不等式，
    \begin{equation*} d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|=\|(\alpha- \gamma)+(\alpha- \beta)\|\leq\|\alpha- \gamma\|+\|\gamma- \beta\|=d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\mbox{。} \end{equation*}

9.

在\(\mathbb{R}^4\)中，求\(\alpha=(2,1,0,2)^T\)与\(\beta=(2,1,-3,2)^T\)的夹角。
解答.
\(\cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}=\frac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故\(\alpha\)与\(\beta\)的夹角为\(\frac{\pi}{4}\)。
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