主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 9.2 规范型

建设中！

子节 9.2.1 主要知识点

  • 上式称为\(\mathbb{C}\)上对称矩阵\(A\)在合同关系下的规范形。
  • 复对称矩阵\(A\)的规范形是唯一的，由\(r(A)\) 确定。
  • 用二次型的语言: 若\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathbb{C}\)上秩为\(r\)的\(n\)元二次型, 则必存在可逆线性替换\(X=CY\)，使
    \begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= y_1^2+y_2^2+\cdots+ y_r^2, \end{equation*}
    其中\(y_1^2+y_2^2+\cdots+ y_r^2\)称为复二次型的规范型。
  • 复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种。
  • 复二次型的规范形是唯一的，由\(f\)的秩确定.
  • 秩是复数域上对称矩阵合同的全系不变量。
  • 设\(A\)为\(\mathbb{C}\)上对称阵， 则
    当\(A\)可逆时， \(A^*\)、\(A^{-1}\)均与\(A\)合同；
    当\(A\)奇异时， 则\(A^*\)未必与\(A\)合同。
  • 上式称为\(\mathbb{R}\)上对称矩阵在合同关系下的规范型。
  • 用二次型的语言：若\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathbb{R}\)上秩为\(r\) 的\(n\)元二次型，则必存在非退化线性替换，使
    \begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2, \end{equation*}
    这里\(p+q=r\)。 \(y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2\)称之为实二次型\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)的规范形。
  • 实二次型的规范形中平方项的系数只有\(1\text{,}\)\(-1\text{,}\)\(0\)。
  • 实二次型的规范形中平方项的系数中\(1\)的个数与\(-1\)的个数之和\(=\)\(f\)的秩\(= r(A)\)是唯一确定的。

练习 9.2.2 练习

1.

设\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\)，试分别在实数域、复数域上把它化为规范形，并写出所作的非退化线性替换。
解答.
\begin{equation*} \begin{array}{l}\begin{pmatrix} A\\E \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&-1&1\\ -1&1&3\\ 1&3&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,2(1))]{E(2,1(1))}\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&4\\ 1&4&1\\ 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,3(-1))]{E(3,1(-1))}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&4\\ 0&4&0\\ 1&1&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\\\xrightarrow[E(3,2(1))]{E(2,3(1))}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&8&4\\ 0&4&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(2,3(-\frac{1}{2}))]{E(2,3(1))}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&8&0\\ 0&0&-2\\ 1&0&-1\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&1&\frac{1}{2} \end{pmatrix}\end{array} \end{equation*}
作非退化线性替换为\(X=CY\)，其中
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&1&\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \end{equation*}
得标准形
\begin{equation*} f(x_1,x_2,x_3)=g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+8y_2^2-2y_3^2\mbox{。} \end{equation*}
在\(\mathbb{C}\)上，令\(\left\{\begin{array}{l} z_1=y_1\\ z_2=2\sqrt{2}y_2\\ z_3=\sqrt{2}iy_3 \end{array}\right.\)，即作非退化线性替换\(X=PZ\)，其中
\begin{equation*} P=C \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&\sqrt{2}i \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&\frac{\sqrt{2}i}{2}\\ 0&\frac{\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{2}i}{4}\\ 0&\frac{\sqrt{2}}{4}&-\frac{\sqrt{2}i}{4} \end{pmatrix}, \end{equation*}
化为规范形
\begin{equation*} z_1^2+z_2^2+z_3^2\mbox{。} \end{equation*}
在\(\mathbb{R}\)上，令\(\left\{\begin{array}{l} z_1=y_1\\ z_2=2\sqrt{2}y_2\\ z_3=\sqrt{2}y_3 \end{array}\right.\)，即作非退化线性替换\(X=QW\)，其中
\begin{equation*} Q=C \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&\sqrt{2} \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0&\frac{\sqrt{2}}{4}&-\frac{\sqrt{2}}{4}\\ 0&\frac{\sqrt{2}}{4}&\frac{\sqrt{2}}{4} \end{pmatrix}, \end{equation*}
化为规范形
\begin{equation*} w_1^2+w_2^2-w_3^2\mbox{。} \end{equation*}

2.

确定二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=ax_1x_2+bx_1x_3+cx_2x_3\)的秩和符号差。
解答.
二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)的矩阵为
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 0&\frac{a}{2}&\frac{b}{2}\\ \frac{a}{2}&0&\frac{c}{2}\\ \frac{b}{2}&\frac{c}{2}&0 \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
设\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)是\(A\)的全部特征值，则
\begin{equation*} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=tr(A)=0,\ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=\det A=\frac{abc}{4}\mbox{。} \end{equation*}
  1. 当\(a=b=c=0\)时，\(r(f)=0\)，符号差为\(0\)。
  2. 当\(a,b,c\)中有一个或两个\(0\)时，\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)至少一个为\(0\)但又不全为\(0\)。又\(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\)，所以\(A\)的特征值一正一负，另一个为\(0\)。此时\(r(f)=2\)，且符号差为\(0\)。
  3. 当\(a,b,c\)全不为\(0\)时，\(\det A\neq 0\)，则\(r(f)=3\)。由\(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\)可知，\(A\)的特征值两正一负或两负一正。
    1. 当\(abc>0\)时，\(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3>0\)，\(A\)的特征值两负一正，符号差为\(-1\)；
    2. 当\(abc<0\)时，\(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3<0\)，\(A\)的特征值两正一负，符号差为\(1\)。

3.

设\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX\)是\(n\)元实二次型。若\(\mathbb{R}^n\)中存在列向量\(\alpha_1,\alpha_2\)，使得\(\alpha_1^TA \alpha_1>0,\ \alpha_2^TA \alpha_2<0\)，证明：存在\(0\neq \alpha_3\in\mathbb{R}^n\)，使得\(\alpha_3^TA \alpha_3=0\)。
解答.
因\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX\)是\(n\)元实二次型，所以可作非退化线性替换\(X=CY\)，化为规范形
\begin{equation*} X^TAX=Y^T(C^TAC)Y=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2\mbox{。} \end{equation*}
由于\(\alpha_1^TA \alpha_1>0,\ \alpha_2^TA \alpha_2<0\)，所以\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)的正惯性指数\(p>0\)，负惯性指数\(r-p>0\)。取
\begin{equation*} \alpha_3=C(\varepsilon_1+\varepsilon_{p+1})\in\mathbb{R}^n, \end{equation*}
则\(\alpha_3\neq 0\)，且
\begin{equation*} \alpha_3^TA \alpha_3=(\varepsilon_1+\varepsilon_{p+1})^T(C^TAC)(\varepsilon_1+\varepsilon_{p+1})=1^2+0^2+\cdots+0^2-1^2-0^2+\cdots-0^2=0\mbox{。} \end{equation*}

4.

设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A\)可逆，证明：在\(\mathbb{R}\)上，
  1. \(A\)合同于\(A^{-1}\)；
  2. 当\(\det A>0\)时，\(A\)合同于\(A^*\)。
解答.
证法一
  1. 因为\(A\)可逆，所以\(A=AA^{-1}A\)。又\(A\)是实对称阵，故存在可逆矩阵\(A\)，使得
    \begin{equation*} A=A^TA^{-1}A\mbox{。} \end{equation*}
    因此\(A\)合同于\(A^{-1}\)。
  2. 当\(\det A>0\)时，因\(A^*=(\det A) A\)，所以存在可逆矩阵\(\frac{1}{\sqrt{\det A}}A\)，使得
    \begin{equation*} A=(\frac{1}{\sqrt{\det A}}A)^TA^{*}(\frac{1}{\sqrt{\det A}}A)\mbox{。} \end{equation*}
    因此\(A\)合同于\(A^{*}\)。
证法二
  1. 设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(A\)的全部特征根。由\(A\)是实对称可逆矩阵知，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n\)均是非零实数，不妨设
    \begin{equation*} \lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_p>0,\quad \lambda_{p+1},\lambda_{p+2},\cdots ,\lambda_n<0, \end{equation*}
    则\(A^{-1}\)的全部特征根\(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)满足
    \begin{equation*} \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1}\cdots ,\lambda_p^{-1}>0,\quad\lambda_{p+1}^{-1},\lambda_{p+2}^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}<0, \end{equation*}
    故
    \begin{equation*} A\mbox{的正惯性指数}=A^{-1}\mbox{的正惯性指数}=p, \end{equation*}
    \begin{equation*} A\mbox{的负惯性指数}=A^{-1}\mbox{的负惯性指数}=n-p\mbox{。} \end{equation*}
    因此\(A\)合同于\(A^{-1}\)。
  2. \((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\(A^{*}\)的全部特征根。当\(\det A>0\)时， 若
    \begin{equation*} \lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_p>0,\quad \lambda_{p+1},\lambda_{p+2},\cdots ,\lambda_n<0, \end{equation*}
    则
    \begin{equation*} (\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1}\cdots ,(\det A)\lambda_p^{-1}>0, \end{equation*}
    \begin{equation*} (\det A)\lambda_{p+1}^{-1},(\det A)\lambda_{p+2}^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}<0, \end{equation*}
    故
    \begin{equation*} A\mbox{的正惯性指数}=A^{*}\mbox{的正惯性指数}=p, \end{equation*}
    \begin{equation*} A\mbox{的负惯性指数}=A^{*}\mbox{的负惯性指数}=n-p\mbox{。} \end{equation*}
    因此\(A\)合同于\(A^{*}\)。

5.

下列实二次型对应的矩阵中哪些是合同的？写出理由。
\begin{equation*} \begin{array}{c} f_1(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3,\\ f_2(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2-y_3^2+4y_1y_2-2y_1y_3-4y_2y_3,\\ f_3(z_1,z_2,z_3)=-4z_1^2-z_2^2-z_3^2-4z_1z_2+4z_1z_3+18z_2z_3. \end{array} \end{equation*}
解答.
因为\(f_1(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2-x_3)^2+4x_2x_3\)，作非退化线性替换
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=u_1-u_2-3u_3,\\ x_2=u_2+u_3,\\ x_3=u-2-u_3, \end{array}\right. \end{equation*}
化为规范形\(u_1^2+4u_2^2-4u_3^2\)，所以\(f_1\)的正惯性指数为\(2\)，负惯性指数为\(1\)。
\begin{equation*} f_2(y_1,y_2,y_3)=(y_1+2y_2-y_3)^2-2y_2^2-2y_3^2, \end{equation*}
所以\(f_2\)的正惯性指数为\(1\)，负惯性指数为\(2\)。
\begin{equation*} f_3(z_1,z_2,z_3)=-4(z_1+\frac{1}{2}z_2-\frac{1}{2}z_3)^2+16z_2z_3, \end{equation*}
作非退化线性替换
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} z_1=v_1-v_3,\\ z_2=v_2+v_3,\\ z_3=v_2-v_3, \end{array}\right. \end{equation*}
化为规范形
\begin{equation*} -4v_1^2+16v_2^2-16v_3^2, \end{equation*}
所以\(f_3\)的正惯性指数为\(1\)，负惯性指数为\(2\)。 注意到\(f_2(y_1,y_2,y_3)\)、\(f_3(z_1,z_2,z_3)\)有相同的正惯性指数和负惯性指数，所以实二次型\(f_2(y_1,y_2,y_3)\)与\(f_3(z_1,z_2,z_3)\)对应的矩阵是合同的。

6.

证明：一个\(n\)元实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于1，或者它的秩等于2且符号差为0。
解答.
充分性：
  1. 当\(n\)元实二次型\(X^TAX\)秩等于1时，可作非退化线性替换\(X=BY\)化为标准形\(ky_1^2\)。由于\(Y=B^{-1}X\)，所以\(y_1=b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots +b_{1n}x_n\)，其中\(B^{-1}=(b_{ij})_{n\times n}\)。因此
    \begin{equation*} X^TAX=[k(b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots +b_{1n}x_n)](b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots +b_{1n}x_n) \end{equation*}
    是两个实系数的一次齐次多项式之积。
  2. 当\(n\)元实二次型\(X^TAX\)的秩等于2且符号差为0时，可作非退化线性替换\(X=CZ\)化为标准形\(z_1^2-z_2^2\)。由于\(Z=C^{-1}X\)，所以
    \begin{equation*} z_1=c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1n}x_n,\ z_2=c_{21}x_1+c_{22}x_2+\cdots+c_{2n}x_n, \end{equation*}
    其中\(C^{-1}=(c_{ij})_{n\times n}\)，则\((c_{11},c_{12},\cdots ,c_{1n})\)与\((c_{21},c_{22},\cdots ,c_{2n})\)线性无关。
于是，
\begin{equation*} \begin{array}{ccl} X^TAX&=&(c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1n}x_n)^2- (c_{21}x_1+c_{22}x_2+\cdots+c_{2n}x_n)^2\\ &=&[(c_{11}+c_{21})x_1+(c_{12}+c_{22})x_2+\cdots +(c_{1n}+c_{2n})x_n]\\ &&\cdot [(c_{11}-c_{21})x_1+(c_{12}-c_{22})x_2+\cdots +(c_{1n}-c_{2n})x_n] \end{array} \end{equation*}
其中\((c_{11}+c_{21}, c_{12}+c_{22}, \cdots , c_{1n}+c_{2n})\neq 0,(c_{11}-c_{21}, c_{12}-c_{22}, \cdots , c_{1n}-c_{2n})\neq 0\)。因此，\(X^TAX\)可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积。
必要性：设\(n\)元实二次型\(X^TAX\)可以分解成
\begin{equation*} X^TAX=(a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n)(b_1x_1+b_2x_2+\cdots +b_nx_n), \end{equation*}
其中\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)不全为\(0\)，且\(b_1,b_2,\cdots ,b_n\)不全为\(0\)。
  1. 若 \((a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)与\((b_1,b_2,\cdots ,b_n)\)线性相关，即存在\(k\neq 0\)，使得
    \begin{equation*} (b_1,b_2,\cdots ,b_n)=k(a_1,a_2,\cdots ,a_n), \end{equation*}
    则
    \begin{equation*} X^TAX=k(a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n)^n\mbox{。} \end{equation*}
    设\(a_i\neq 0\)，作非退化线性替换
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} y_i=a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n,\\ y_j=x_j\quad(j=1,\cdots ,i-1,i+1,\cdots ,n), \end{array}\right. \end{equation*}
    化为标准形\(ky_i^2\)。此时\(X^TAX\)的秩等于\(1\)。
  2. 若 \((a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)与\((b_1,b_2,\cdots ,b_n)\)线性无关，则以它们为行向量的\(2\times n\)矩阵的秩为\(2\)，从而 存在一个二阶子式不等于\(0\)。
不妨设\(\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix}\neq 0\)。令
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} y_1=a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n,\\ y_2=b_1x_1+b_2x_2+\cdots +b_nx_n,\\ y_j=x_j\quad (j=3,4,\cdots ,n), \end{array}\right. \end{equation*}
则该式右端组成的矩阵的行列式\(\det C=\begin{vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{vmatrix}\neq 0\)，从而\(C\)可逆。于是，作非退化线性替换\(X=C^{-1}Y\)，得\(X^TAX=y_1y_2\)。再作非退化线性替换
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} y_1=z_1+z_2,\\ y_2=z_1-z_2,\\ y_j=z_j\quad (j=3,4,\cdots ,n), \end{array}\right. \end{equation*}
得规范形\(z_1^2-z_2^2\)。因此，\(X^TAX\)的秩等于2且符号差为0。

7.

设实二次型
\begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_k^2-z_{k+1}^2-\cdots-z_{k+s}^2, \end{equation*}
其中\(z_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j(1\le i\le k+s) \)。 证明\(f\) 的正惯性指数\(p\le k\)，负惯性指数\(q\le s\)。
解答.
设\(f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\)经过非退化线性替换\(X=CY\)后化为规范形
\begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_{p+q}^2, \end{equation*}
则
\begin{equation} y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_{p+q}^2=z_1^2+\cdots+z_k^2-z_{k+1}^2-\cdots-z_{k+s}^2.\tag{9.2} \end{equation}
假设\(p>k\)，设\(B^{-1}=(b_{ij})_{n\times n}\)。考虑线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\ \vdots\\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+\cdots +a_{kn}x_n=0,\\ b_{p+1,1}x_1+b_{p+1,2}x_2+\cdots +b_{p+1,n}x_n=0,\\ \vdots\\ b_{n1}x_1+b_{n2}x_2+\cdots +b_{nn}x_n=0, \end{array}\right. \end{equation*}
该方程组有\(n\)个未知量，\(k+(n-p)<n\)个方程，所有必有非零解\(\alpha\)，相应的\(C^{-1}\alpha=(b_1,\cdots ,b_p,0,\cdots ,0)\neq 0,\ A \alpha=(0,\cdots ,a_{k+1},\cdots ,a_n)\neq 0\)。将\(\alpha\)代入\((1)\)式，左边\(b_1^2+\cdots +b_p^2>0\)，而右边\(-a_{k+1}^2-\cdots -a_{k+s}^2\leq 0\)，矛盾。因此\(p\leq k\)。
同理可证\(q\leq s\)。

8.

设\(A\)是\(n\)阶实可逆矩阵，求
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 0&A\\A^T&0 \end{pmatrix} \end{equation*}
的正负惯性指数。
解答.
解法一：因为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} E_n&0\\A^{-1}&E _n \end{pmatrix}^T B \begin{pmatrix} E_n&0\\A^{-1}&E_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2E_n&A\\A^T&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
又
\begin{equation*} \begin{pmatrix} E_n&-\frac{1}{2}A\\0&E_n \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} 2E_n&A\\A^T&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_n&-\frac{1}{2}A\\0&E_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2E_n&0\\0&-\frac{1}{2}A^TA \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以\(B\)与\(\begin{pmatrix} 2E_n&0\\0&-\frac{1}{2}A^TA \end{pmatrix}\)有相同的正负惯性指数。注意到\(-\frac{1}{2}A^TA\)合同于\(-E_n\)，其正惯性指数为\(0\)、负惯性指数为\(n\)。 因此，\(B\)的正惯性指数为\(n\)、负惯性指数也为\(n\)。
解法二：因为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda E_n&-A\\-A^T &\lambda E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n&A\\0&\lambda E_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda E_n&0\\-A^T&\lambda^2E_n-A^TA \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以
\begin{equation*} f_B(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda E_n&-A\\-A^T &\lambda E_n \end{vmatrix}=\det (\lambda^2E_n-A^TA). \end{equation*}
设\(A^TA\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)，由\(A^TA\)合同于\(E_n\)知，
\begin{equation*} \lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\in\mathbb{R}^+, \end{equation*}
\(则B\)的特征值为
\begin{equation*} \pm\sqrt{\lambda_1},\pm\sqrt{\lambda_2},\cdots ,\pm\sqrt{\lambda_n}, \end{equation*}
因此，\(B\)的正惯性指数为\(n\)、负惯性指数也为\(n\)。
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