定理 9.2.1.
若\(A\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶对称矩阵， 且\(r(A)=r\)， 则存在\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶可逆矩阵\(C\)，使得
\begin{equation*}
C^TAC= \begin{pmatrix}
E_r & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
节 9.2 规范型
建设中！
子节 9.2.1 主要知识点
- 上式称为\(\mathbb{C}\)上对称矩阵\(A\)在合同关系下的规范形。
- 复对称矩阵\(A\)的规范形是唯一的，由\(r(A)\) 确定。
- 用二次型的语言: 若\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathbb{C}\)上秩为\(r\)的\(n\)元二次型, 则必存在可逆线性替换\(X=CY\)，使\begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= y_1^2+y_2^2+\cdots+ y_r^2, \end{equation*}其中\(y_1^2+y_2^2+\cdots+ y_r^2\)称为复二次型的规范型。
- 复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种。
- 复二次型的规范形是唯一的，由\(f\)的秩确定.
推论 9.2.2.
\(\mathbb{C}\)上对称矩阵\(A, B\)， 则\(A\)合同于\(B\)的充分必要条件是
\begin{equation*}
r(A)=r(B).
\end{equation*}
- 秩是复数域上对称矩阵合同的全系不变量。
-
设\(A\)为\(\mathbb{C}\)上对称阵， 则当\(A\)可逆时， \(A^*\)、\(A^{-1}\)均与\(A\)合同；当\(A\)奇异时， 则\(A^*\)未必与\(A\)合同。
定理 9.2.3.
\(A\)是\(\mathbb{R}\)上对称矩阵，则存在\(\mathbb{R}\)上可逆矩阵\(C\)，使得
\begin{equation*}
C^TAC= \begin{pmatrix}
E_p & & \\
& -E_q & \\
& & 0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(p+q=r\)。
- 上式称为\(\mathbb{R}\)上对称矩阵在合同关系下的规范型。
- 用二次型的语言：若\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathbb{R}\)上秩为\(r\) 的\(n\)元二次型，则必存在非退化线性替换，使\begin{equation*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2, \end{equation*}这里\(p+q=r\)。 \(y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2\)称之为实二次型\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)的规范形。
- 实二次型的规范形中平方项的系数只有\(1\text{,}\)\(-1\text{,}\)\(0\)。
- 实二次型的规范形中平方项的系数中\(1\)的个数与\(-1\)的个数之和\(=\)\(f\)的秩\(= r(A)\)是唯一确定的。
定理 9.2.4. 惯性定理.
设\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)是\(\mathbb{R}\)上\(n\)元二次型，若在非退化线性替换 \(X = BY\) 与 \(X=C Z\)，分别将\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) 化为两个规范形:
\begin{equation*}
y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2
\end{equation*}
\begin{equation*}
z_1^2+\cdots+z_k^2-z_{k+1}^2-\cdots-z_r^2
\end{equation*}
则必有\(p = k\)。称\(p\)为正惯性指数；\(q\)为负惯性指数； \(s = p - q\)为 符号差。
推论 9.2.5.
设\(A, B\) 是\(\mathbb{R}\)上\(n\)阶对称矩阵，则下列条件等价：
- \(A\)合同于\(B\)；
- \(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数和负惯性指数；
- \(A\)与\(B\)有相同的秩与符号差；
- \(A\)与\(B\)的正特征值的个数相同且负特征值的个数相同。
推论 9.2.6.
正惯性指数\(p=\)正特征值个数；负惯性指数\(q=\)负特征值个数。
练习 9.2.2 练习
1.
设\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\)，试分别在实数域、复数域上把它化为规范形，并写出所作的非退化线性替换。
2.
确定二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=ax_1x_2+bx_1x_3+cx_2x_3\)的秩和符号差。
3.
设\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX\)是\(n\)元实二次型。若\(\mathbb{R}^n\)中存在列向量\(\alpha_1,\alpha_2\)，使得\(\alpha_1^TA \alpha_1>0,\ \alpha_2^TA \alpha_2<0\)，证明：存在\(0\neq \alpha_3\in\mathbb{R}^n\)，使得\(\alpha_3^TA \alpha_3=0\)。
4.
设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A\)可逆，证明：在\(\mathbb{R}\)上，
- \(A\)合同于\(A^{-1}\)；
- 当\(\det A>0\)时，\(A\)合同于\(A^*\)。
5.
下列实二次型对应的矩阵中哪些是合同的？写出理由。
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
f_1(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3,\\
f_2(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2-y_3^2+4y_1y_2-2y_1y_3-4y_2y_3,\\
f_3(z_1,z_2,z_3)=-4z_1^2-z_2^2-z_3^2-4z_1z_2+4z_1z_3+18z_2z_3.
\end{array}
\end{equation*}
6.
证明：一个\(n\)元实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于1，或者它的秩等于2且符号差为0。
7.
设实二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_k^2-z_{k+1}^2-\cdots-z_{k+s}^2,
\end{equation*}
其中\(z_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j(1\le i\le k+s) \)。 证明\(f\) 的正惯性指数\(p\le k\)，负惯性指数\(q\le s\)。
8.
设\(A\)是\(n\)阶实可逆矩阵，求
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
0&A\\A^T&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的正负惯性指数。
