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节 4.5 线性方程组解的结构

建设中！

练习 练习

基础题.

1.

求下列数域\(\F\)上齐次线性方程组的一个基础解系，并写出其通解。
  1. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} x_1+3x_2+4x_3=0,\\ -4x_1+2x_2-6x_3=0,\\ -3x_1-2x_2-7x_3=0; \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\\ 3x_1+6x_2+3x_3-3x_4=0,\\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0; \end{array}\right.\)
  3. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} -3x_1-2x_2+x_3+5x_4+7x_5=0,\\ 2x_1+x_2-x_3-2x_4-3x_5=0,\\ x_1-x_3-2x_4-5x_5=0,\\ 3x_1+2x_2-x_3-x_4+x_5=0. \end{array}\right.\)

2.

设\(\gamma_1,\ldots,\gamma_s\)是数域\(\F\)上\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的解，\(c_1,\ldots,c_s\in\F\)。证明：\(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s\)是\(AX=\beta\)的解的充分必要条件为\(c_1+\cdots +c_s=1\)。

3.

求线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x_1+x_2-3x_3-x_4=1,\\ 3x_1-x_2-3x_3+4x_4=4,\\ x_1+5x_2-9x_3-8x_4=0\\ \end{matrix}\right. \end{equation*}
的通解。

4.

已知\((1,1,1)^T\)是线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} (2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3=1,\\2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3=2,\\-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3=-\lambda-1 \end{array}\right. \end{equation*}
的一个解，试求该线性方程组的通解。

5.

用sage写一个函数，以线性方程组的系数矩阵 \(A\)和右端项 \(\beta\)为输入，利用rref()命令，输出方程组 \(Ax=\beta\)的一个特解和对应齐次方程组的一个基础解系。

提高题.

6.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系，\(a,b\in\F\)，
\begin{equation*} \beta_1=a\alpha_1+b\alpha_2,\beta_2=a\alpha_2+b\alpha_3,\ldots,\beta_{s-1}=a\alpha_{s-1}+b\alpha_s,\beta_s=a\alpha_s+b\alpha_1, \end{equation*}
试问\(a,b\)满足什么关系时，\(\beta_1,\ldots,\beta_s\)也是\(AX=0\)的一个基础解系。

7.

设\(B\)是数域\(\F\)上\((n-1)\times n\)矩阵，把\(B\)划去第\(j\)列得到的\(n-1\)阶子式记作\(D_j\)，令\(\eta=(D_1,-D_2,\cdots ,(-1)^{n+1}D_n)^T\)。证明：
  1. \(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个解；
  2. 如果\(\eta\neq 0\)，那么\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。

8.

设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是\(4\)维列向量，\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)。已知齐次线性方程组\(AX=0\)的通解为\(k(0,1,1,0)^T\)，求齐次线性方程组\(({\rm adj} A)X=0\)的一个基础解系。

9.

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times k\)矩阵。证明：
  1. \(r(AB)=r(B)\)的充要条件是线性方程组\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解；
  2. 若\(r(AB)=r(B)\)，则对任意\(k\times l\)矩阵\(C\)，有\(r(ABC)=r(BC)\)。

10.

设\(A,B\)都是\(m\times n\)矩阵。证明：
  1. 齐次线性方程组\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解的充分必要条件是\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出；
  2. 齐次线性方程组\(AX=0\)和\(BX=0\)同解的充分必要条件是\(A\)的行向量组与\(B\)的行向量组等价。

11.

证明：对于任意\(m\times n\)复矩阵\(A\)，有\(r(\overline{A}^TA)=r(A\overline{A}^T)=r(A)\)。

12.

证明：对任意\(m\times n\)实矩阵\(A\)和\(m\)维实列向量\(\beta\)，线性方程组
\begin{equation*} A^TAX=A^T\beta \end{equation*}
必有解。

13.

设\(\gamma\)是非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的一个特解，\(\eta_1,\ldots,\eta_{n-r}\)是相应齐次线性方程组的一个基础解系。证明：\(\gamma, \gamma+\eta_1,\gamma+\eta_2,\ldots,\gamma+\eta_{n-r}\)是线性方程组\(AX=\beta\)解集的一个极大线性无关组。

挑战题.

14.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)是一个线性无关\(n\)维列向量组，证明：必存在以\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)为基础解系的齐次线性方程组
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