线性方程组解的结构

节 4.5 线性方程组解的结构

建设中！

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练习练习

基础题.

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1.

求下列数域\(\F\)上齐次线性方程组的一个基础解系，并写出其通解。

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} x_1+3x_2+4x_3=0,\\ -4x_1+2x_2-6x_3=0,\\ -3x_1-2x_2-7x_3=0; \end{array}\right.\)
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\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\\ 3x_1+6x_2+3x_3-3x_4=0,\\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0; \end{array}\right.\)
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\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} -3x_1-2x_2+x_3+5x_4+7x_5=0,\\ 2x_1+x_2-x_3-2x_4-3x_5=0,\\ x_1-x_3-2x_4-5x_5=0,\\ 3x_1+2x_2-x_3-x_4+x_5=0. \end{array}\right.\)
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解答.

对系数矩阵\(A\)作行初等变换：

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ -4 & 2 & -6\\ -3 & -2 & -7 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{13}{7}\\ 0 & 1 & \frac{5}{7}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

因为\(r(A) = 2 < 3\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-\frac{13}{7}x_3,\\x_2=-\frac{5}{7}x_3, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3\)为自由未知量。

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令\(x_3=1\)得\(\eta_1=(-\frac{13}{7},-\frac{5}{7},1)^T\)。所以方程组有基础解系\(\eta_1\)，其通解为\(c_1\eta_1,\ c_1\in\mathbb{F}\)。
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对系数矩阵\(A\)作行初等变换：

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1\\ 3 & 6 & 3 & -3\\ 5 & 10 & 1 & -5 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

因为\(r(A) = 2 < 4\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-2x_2+x_4,\\x_3=0, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_2,x_4\)为自由未知量。

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令\(x_2=1,x_4=0\)得\(\eta_1=(-2,1,0,0)^T\)；令\(x_2=0,x_4=1\)得\(\eta_2=(1,0,0,1)^T\)。所以方程组有基础解系\(\eta_1,\eta_2\)，其通解为\(c_1\eta_1+c_2\eta_2,\ c_1,c_2\in\mathbb{F}\)。
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对系数矩阵\(A\)作行初等变换：

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -3 & -2 &1 & 5 & 7\\ 2 & 1 & -1 & -2 & -3\\ 1 & 0 & -1 & -2 & -5\\ 3 & 2 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

因为\(r(A) = 3 < 5\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=x_3+x_5,\\x_2=-x_3-3x_5,\\x_4=-2x_5, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3,x_5\)为自由未知量。

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令\(x_3=1,x_5=0\)得\(\eta_1=(1,-1,1,0,0)^T\)；令\(x_3=0,x_5=1\)得\(\eta_2=(1,-3,0,-2,1)^T\)。所以方程组有基础解系\(\eta_1,\eta_2\)，其通解为\(c_1\eta_1+c_2\eta_2,\ c_1,c_2\in\mathbb{F}\)。
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2.

设\(\gamma_1,\ldots,\gamma_s\)是数域\(\F\)上\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的解，\(c_1,\ldots,c_s\in\F\)。证明：\(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s\)是\(AX=\beta\)的解的充分必要条件为\(c_1+\cdots +c_s=1\)。

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解答.

充分性：由于\(A\gamma_i=\beta,\ i=1,\dots,s\)，且\(c_1+\cdots +c_s=1\)，所以

\begin{equation*} \begin{array}{ll} A(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s) & = c_1(A\gamma_1)+\cdots+c_s(A\gamma_s)\\ & = (c_1+\cdots+c_s)\beta\\ & =\beta. \end{array} \end{equation*}

故\(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s\)是\(AX=\beta\)的解。

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必要性：由于\(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s\)是\(AX=\beta\)的解，所以

\begin{equation*} A(c_1\gamma_1+\cdots +c_s\gamma_s)=\beta, \end{equation*}

则

\begin{equation*} c_1(A\gamma_1)+\cdots +c_s(A\gamma_s)=\beta. \end{equation*}

又\(A\gamma_i=\beta,\ i=1,\dots,s\)，因此

\begin{equation*} (c_1+\cdots+c_s)\beta=\beta. \end{equation*}

注意到\(\beta\)是非\(0\)向量，从而\(c_1+\cdots+c_s=1\)。

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3.

求线性方程组

\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x_1+x_2-3x_3-x_4=1,\\ 3x_1-x_2-3x_3+4x_4=4,\\ x_1+5x_2-9x_3-8x_4=0\\ \end{matrix}\right. \end{equation*}

的通解。

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解答.

对增广矩阵\(\widetilde{A}\)作行初等变换：

\begin{equation*} \widetilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c} 1&1&-3&-1&1\\3&-1&-3&4&4\\1&5&-9&-8&0 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1&0&-\frac{3}{2}&\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\0&1&-\frac{3}{2}&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\\0&0&0&0&0 \end{array}\right), \end{equation*}

因为\(r(\widetilde{A})=r(A)=2<4\)，所以原方程组有无穷多解，一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}x_3-\frac{3}{4}x_4,\\x_2=-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}x_3+\frac{7}{4}x_4, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3,x_4\)为自由未知量。令\(x_3=x_4=0\)得特解\(\gamma=(\frac{5}{4},-\frac{1}{4},0,0)^T\)。

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相应齐次线性方程组的一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=\frac{3}{2}x_3-\frac{3}{4}x_4,\\x_2=\frac{3}{2}x_3+\frac{7}{4}x_4, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3,x_4\)为自由未知量。

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令\(x_2=1,x_4=0\)得\(\eta_1=(\frac{3}{2},\frac{3}{2},1,0)^T\)；令\(x_2=0,x_4=1\)得\(\eta_2=(-\frac{3}{4},\frac{7}{4},0,1)^T\)。所以相应齐次线性方程组的基础解系为\(\eta_1,\eta_2\)，从而原方程组的通解为

\begin{equation*} \gamma+c_1\eta_1+c_2\eta_2, \end{equation*}

其中\(\ c_1,c_2\)是数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。

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4.

已知\((1,1,1)^T\)是线性方程组

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} (2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3=1,\\2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3=2,\\-2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3=-\lambda-1 \end{array}\right. \end{equation*}

的一个解，试求该线性方程组的通解。

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解答.

因\((1,1,1)^T\)是方程组的解，所以\(\lambda=1\)。对增广矩阵作行初等变换：

\begin{equation*} \widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&-2&1\\2&4&-4&2\\-2&-4&4&-2 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&-2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array}\right) \end{equation*}

相应齐次线性方程组的基础解系为

\begin{equation*} \eta_1=(-2,1,0)^T,\eta_2=(2,0,1)^T. \end{equation*}

因此该方程组的通解为

\begin{equation*} (1,1,1)^T+c_1\eta_1+c_2\eta_2, \end{equation*}

其中\(c_1,c_2\)为数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。

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5.

用sage写一个函数，以线性方程组的系数矩阵 \(A\)和右端项 \(\beta\)为输入，利用rref()命令，输出方程组 \(Ax=\beta\)的一个特解和对应齐次方程组的一个基础解系。

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提高题.

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6.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系，\(a,b\in\F\)，

\begin{equation*} \beta_1=a\alpha_1+b\alpha_2,\beta_2=a\alpha_2+b\alpha_3,\ldots,\beta_{s-1}=a\alpha_{s-1}+b\alpha_s,\beta_s=a\alpha_s+b\alpha_1, \end{equation*}

试问\(a,b\)满足什么关系时，\(\beta_1,\ldots,\beta_s\)也是\(AX=0\)的一个基础解系。

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解答.

由于\(\dim {\rm Ker} A=s\)，所以\(AX=0\)任意\(s\)个线性无关的解是其基础解系。注意到\(\beta_1,\dots,\beta_s\)是方程组\(AX=0\)的解，故\(\beta_1,\dots,\beta_s\)是\(AX=0\)的一个基础解系的充要条件是\(\beta_1,\dots,\beta_s\)线性无关。

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因为\((\beta_1,\dots,\beta_s)=(\alpha_1,\dots,\alpha_s)A\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关且

\begin{equation*} A=\left(\begin{array}{ccccc} a&0&\cdots&0&b\\b&a&\cdots&0&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&a&0\\0&0&\cdots&b&a\\ \end{array}\right) \end{equation*}

所以\(\beta_1,\dots,\beta_s\)线性无关的充要条件是\(\det A\neq 0\)。从而\(\beta_1,\ldots,\beta_s\)也是\(AX=0\)的一个基础解系当且仅当\(a^s+(-1)^{s+1}b^s\neq 0\)。

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7.

设\(B\)是数域\(\F\)上\((n-1)\times n\)矩阵，把\(B\)划去第\(j\)列得到的\(n-1\)阶子式记作\(D_j\)，令\(\eta=(D_1,-D_2,\cdots ,(-1)^{n+1}D_n)^T\)。证明：

\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个解；
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如果\(\eta\neq 0\)，那么\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。
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解答.

设\(B=(b_{ij})_{(n-1)\times n}\)，定义\(n\)阶方阵\(A= \begin{pmatrix} B\\{\bf 0} \end{pmatrix}\)，则\(A\)的\((n,j)\)元素的代数余子式

\begin{equation*} A_{nj}=(-1)^{n+j}D_j. \end{equation*}

由于对任意\(1\leq i\leq n-1\)，\(A\)的第\(i\)行元素与第\(n\)行相应元素代数余子式乘积之和为\(0\)，即

\begin{equation*} b_{i1}(-1)^{n+1}D_1+b_{i2}(-1)^{n+2}D_2+\cdots +b_{in}(-1)^{2n}D_n=0, \end{equation*}

则

\begin{equation*} b_{i1}D_1-b_{i2}D_2+\cdots +b_{in}(-1)^{n+1}D_n=0. \end{equation*}

因此\(\eta=(D_1,-D_2,\dots ,(-1)^{n+1}D_n)^T\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个解。

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因为\(\eta\neq 0\)，所以\(B\)存在非\(0\)的\(n-1\)阶子式，则\(r(B)\geq n-1\)。注意到\(B\)只有\(n-1\)行，故\(r(B)\leq n-1\)。因此\(r(B)=n-1\)，从而齐次线性方程组\(BX=0\)任意\(n-r(B)=1\)个线性无关的解向量为\(BX=0\)的一个基础解系。注意到\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个非零解，因此\(\eta\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。
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8.

设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是\(4\)维列向量，\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)。已知齐次线性方程组\(AX=0\)的通解为\(k(0,1,1,0)^T\)，求齐次线性方程组\(({\rm adj} A)X=0\)的一个基础解系。

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解答.

由于\((0,1,1,0)^T\)是齐次方程组\(AX=0\)的基础解系，所以

\begin{equation*} r(A)=4-1=3, \end{equation*}

则\(r({\rm adj} A)=1\)。因此\(({\rm adj} A)X=0\)的任意\(3\)个线性无关的解向量为\(({\rm adj} A)X=0\)的一个基础解系。

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注意到\(({\rm adj} A)A=(\det A)\cdot E_n={\bf 0}\)，故\(A\)的每一个列向量都是齐次线性方程组\(({\rm adj} A)X=0\)的解，因此\(A\)任意三个线性无关的列向量都是\(({\rm adj} A)X=0\)的基础解系。注意到\((0,1,1,0)^T\)是\(AX=0\)的一个解，则

\begin{equation*} \alpha_2+\alpha_3=0, \end{equation*}

即\(\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)（或\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)）是\(({\rm adj} A)X=0\)的基础解系。

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9.

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times k\)矩阵。证明：

\(r(AB)=r(B)\)的充要条件是线性方程组\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解；
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若\(r(AB)=r(B)\)，则对任意\(k\times l\)矩阵\(C\)，有\(r(ABC)=r(BC)\)。
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解答.

必要性：设\(r(B)=r\)，\(\eta_1,\dots ,\eta_{k-r}\)是齐次线性方程组\(BX=0\)的一个基础解系。易见\(\eta_1,\dots ,\eta_{k-r}\)也是齐次线性方程组\(ABX=0\)的\(k-r\)个线性无关解向量。注意到\(r(AB)=r(B)=r\)，故\(ABX=0\)的任意\(k-r\)个线性无关的解向量是该齐次方程组的基础解系。因此\(\eta_1,\dots ,\eta_{k-r}\)也是齐次线性方程组\(ABX=0\)的一个基础解系。从而\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解。
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充分性：因为\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解，所以这两个齐次线性方程组有相同的基础解系，则\(k-r(AB)=k-r(B)\)，从而\(r(AB)=r(B)\)。
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对\(ABCX=0\)的任一解\(X_0\)，有\(ABCX_0=0\)，则\(CX_0\)是\(ABX=0\)的解。因\(r(AB)=r(B)\)，由项 4.5.9.a知\(ABX=0\)与\(BX=0\)同解，故\(CX_0\)也是\(BX=0\)的解，即\(BCX_0=0\)，因此\(X_0\)是\(BCX=0\)的解。反之，显然\(BCX=0\)解是\(ABCX=0\)的解。因此齐次线性方程组\(ABCX=0\)与\(BCX=0\)同解，从而\(r(ABC)=r(BC)\)。
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10.

设\(A,B\)都是\(m\times n\)矩阵。证明：

齐次线性方程组\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解的充分必要条件是\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出；
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齐次线性方程组\(AX=0\)和\(BX=0\)同解的充分必要条件是\(A\)的行向量组与\(B\)的行向量组等价。
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解答.

必要性：因为\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解，所以齐次线性方程组\(\left\{\begin{array}{l} AX=0\\BX=0 \end{array}\right.\)与\(AX=0\)同解。故\(r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}=r(A)\)，从而\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出。
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充分性：因为\(B\)的行向量组可由\(A\)的行向量组线性表出，所以矩阵\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}\)的行向量组与\(A\)的行向量组等价，故\(r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}=r(A)\)。注意到\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}X=0\)的解必是\(AX=0\)的解，故\(\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}X=0\)与\(AX=0\)同解。因此\(AX=0\)的解都是\(BX=0\)的解。
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由项 4.5.10.a 即得结论。
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11.

证明：对于任意\(m\times n\)复矩阵\(A\)，有\(r(\overline{A}^TA)=r(A\overline{A}^T)=r(A)\)。

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解答.

先证\(r(\overline{A}^TA)=r(A)\)，此时只需证\(\overline{A}^TAX={\bf 0}\)与\(AX={\bf 0}\)同解即可。

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事实上，\(AX={\bf 0}\)的解显然是\(\overline{A}^TAX={\bf 0}\)的解。反之，对\(\overline{A}^TAX={\bf 0}\)的任一解\(X_0\)，有\(\overline{A}^TAX_0={\bf 0}\)，则\(\overline{X_0}^T\overline{A}^TAX_0=0\)。令\(AX_0=Y=(y_1,\dots ,y_n)^T\)，则\(\overline{Y}^TY=0\)，即

\begin{equation*} \overline{y_1}y_1+\cdots+\overline{y_n}y_n=0, \end{equation*}

则\(y_1=\dots =y_n=0\)，所以\(AX_0={\bf 0}\)，即\(\overline{A}^TAX={\bf 0}\)的解也是\(AX={\bf 0}\)的解。因此\(\overline{A}^TAX={\bf 0}\)与\(AX={\bf 0}\)同解。从而\(r(\overline{A}^TA)=r(A)\)。

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同理，\(A\overline{A}^TX={\bf 0}\)与\(\overline{A}^TX={\bf 0}\)同解，所以

\begin{equation*} r(A\overline{A}^T)=r(\overline{A}^T)=r(\overline{A})=r(A). \end{equation*}

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12.

证明：对任意\(m\times n\)实矩阵\(A\)和\(m\)维实列向量\(\beta\)，线性方程组

\begin{equation*} A^TAX=A^T\beta \end{equation*}

必有解。

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解答.

因为

\begin{equation*} \begin{pmatrix} A^TA&A^T\beta \end{pmatrix}=A^T\cdot \begin{pmatrix} A&\beta \end{pmatrix}, \end{equation*}

又

\begin{equation*} r\left(A^T\cdot \begin{pmatrix} A&\beta \end{pmatrix}\right)\leq r(A^T)=r(A), \end{equation*}

所以\(r\begin{pmatrix} A^TA&A^T\beta \end{pmatrix}\leq r(A)\)。注意到对于实矩阵\(A\)，有\(r(A^TA)=r(A)\)，故

\begin{equation*} r\begin{pmatrix} A^TA&A^T\beta \end{pmatrix}\leq r(A^TA). \end{equation*}

显然\(r\begin{pmatrix} A^TA&A^T\beta \end{pmatrix}\geq r(A^TA)\)，因此\(r\begin{pmatrix} A^TA&A^T\beta \end{pmatrix}=r(A^TA)\)。从而线性方程组\(A^TAX=A^T\beta\)必有解。

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13.

设\(\gamma\)是非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的一个特解，\(\eta_1,\ldots,\eta_{n-r}\)是相应齐次线性方程组的一个基础解系。证明：\(\gamma, \gamma+\eta_1,\gamma+\eta_2,\ldots,\gamma+\eta_{n-r}\)是线性方程组\(AX=\beta\)解集的一个极大线性无关组。

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解答.

由于\(A\eta=\beta,\ A\xi_i={\bf 0}\)，所以\(A(\eta +\xi_i)=A\eta +A\xi_i=\beta\)，故\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\dots,\eta+\xi_{n-r}\)是\(AX=\beta\)的解。

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设\(k_0\eta+k_1(\eta+\xi_1)+k_2(\eta+\xi_2)+\cdots +k_{n-r}(\eta+\xi_{n-r})={\bf 0}\)，即

\begin{equation} (k_0+k_1+\cdots +k_{n-r})\eta+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots +k_{n-r}\xi_{n-r}={\bf 0},\tag{4.5.1} \end{equation}

两边同时左乘\(A\)得：\((k_0+k_1+\cdots +k_{n-r})\beta={\bf 0}\)，由\(\beta\neq {\bf 0}\)可知：

\begin{equation} k_0+k_1+\cdots +k_{n-r}=0\tag{4.5.2} \end{equation}

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代入 (4.5.1) ，有\(k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots +k_{n-r}\xi_{n-r}={\bf 0}\)，由\(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}\)是\(AX=0\)的一个基础解系可知：\(k_1=k_2=\dots =k_{n-r}=0\)。代入(4.5.2)得：\(k_0=0\)。故\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\dots,\eta+\xi_{n-r}\)线性无关。

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对\(AX=\beta\)的任一解\(\gamma\)，存在\(c_1,c_2,\dots,c_{n-r}\in\mathbb{F}\)使得

\begin{equation*} \gamma=\eta+c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots +c_{n-r}\xi_{n-r}, \end{equation*}

则

\begin{equation*} \gamma=(1-c_1-c_2-\cdots -c_{n-r})\eta+c_1(\eta+\xi_1)+c_2(\eta+\xi_2)+\cdots+c_{n-r}(\eta+\xi_{n-r}), \end{equation*}

即\(\gamma\)可由\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\dots,\eta+\xi_{n-r}\)线性表出。因此\(\eta,\eta+\xi_1,\eta+\xi_2,\dots,\eta+\xi_{n-r}\)是\(AX=\beta\)解集合的一个极大线性无关组。

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挑战题.

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14.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)是一个线性无关\(n\)维列向量组，证明：必存在以\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\)为基础解系的齐次线性方程组。

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解答.

当\(s=n\)时，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)是\(\mathbb{F}^n\)的一个基，故\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)是齐次线性方程组\({\bf 0}_{n\times n}X={\bf 0}\)的一个基础解系。
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当\(s < n\)时，令\(A_{n\times s}=(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\)，则\(r(A)=s < n\)，此时齐次线性方程组\(A^TX={\bf 0}\)有非\(0\)解。设\(\beta_1,\dots,\beta_{n-s}\)是\(A^TX={\bf 0}\)的一个基础解系，\(B=(\beta_1,\dots,\beta_{n-s})\)，则 \(r(B)=n-s\)且

\begin{equation} A^TB={\bf 0}.\tag{4.5.3} \end{equation}

(4.5.3)两边同取转置得

\begin{equation*} B^TA={\bf 0}, \end{equation*}

故\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)是\(B^TX={\bf 0}\)的\(s\)个线性无关解向量。注意到\(r(B^T)=n-s\)，因此\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)是齐次线性方程组\(B^TX={\bf 0}\)的一个基础解系。

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基础题.

1.

2.

3.

4.

5.

提高题.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

挑战题.

14.

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