定义 1.3.1.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)。若\(d(x)\in \mathbb{F}[x]\)满足：
-
\(d(x) | f (x)\)且\(d(x) | g(x)\)；
-
只要\(h(x) | f (x)\)且\(h(x) | g(x)\)，就有\(h(x) | d(x)\)；
则称\(d(x)\)是\(f (x)\)与\(g (x)\)的最大公因式。
节 1.3 最大公因式和辗转相除法
引理 1.3.2.
设\(f (x), g(x)\in\mathbb{F}[x]\)。
-
若\(g(x)|f(x)\text{,}\) 则\((f (x), g(x)) = cg(x)\)，其中c为 \(g(x)\) 首项系数的倒数；
-
对任意\(l(x) \in \mathbb{F}[x]\)，成立\begin{equation*} (f (x), g(x)) = (f (x) + l(x)g(x), g(x)). \end{equation*}
定理 1.3.3. Bézout定理.
设\(f (x), g (x)\in \mathbb{F}[x]\)，则存在\(d(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得\((f (x), g(x)) = d(x)\)，且存在\(u(x), v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation}
d(x) = f (x) u(x) + g(x) v(x).\tag{1.3.1}
\end{equation}
定理 1.3.4.
\(d(x)\)是\(f(x),g(x)\)的最大公因子等价于
-
\(d(x)|f(x)\)，\(d(x)|g(x)\)；
-
存在\(u(x),v(x)\in \mathbb{F}[x]\)，使得\begin{equation*} d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). \end{equation*}
定义 1.3.5.
设\(f (x), g (x)\in\mathbb{F}[x]\)，若\(\left(f (x) , g(x)\right) = 1\)，则称\(f (x)\) 与 \(g(x)\)互素或互质。
定理 1.3.6.
设\(f (x), g (x) \in \mathbb{F}[x]\)， 则\(f (x), g(x)\)互素的充要条件是存在\(u(x), v(x) \in \mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f (x) u(x) + g(x) v(x) = 1.
\end{equation*}
命题 1.3.7.
设\(f_1(x) | g(x)\)，\(f_2(x) | g(x)\)，且\(\left(f_1(x) , f_2(x)\right) = 1\)，则
\begin{equation*}
f_1(x) f_2(x) | g(x).
\end{equation*}
命题 1.3.8.
设\(f (x) | g(x)h(x)\)，且\(\left(f (x), g(x)\right) = 1\)，则
\begin{equation*}
f(x)|h(x).
\end{equation*}
命题 1.3.9.
设\(\left(f_1(x), g(x)\right) = 1\)，\(\left(f_2(x), g(x)\right) = 1\)，则
\begin{equation*}
\left(f_1(x) f_2(x), g(x)\right) = 1.
\end{equation*}
命题 1.3.10.
设\(\left(f (x), g(x)\right) = d(x)\ne 0\)， 且\(f (x) = f_1(x) d(x)\)，\(g(x) = g_1(x)d(x)\)， 则\(\left(f_1(x), g_1(x)\right) = 1\)。
练习 练习
基础题.
1.
设\(f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3,g(x)=3x^3+10x^2+2x-3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
2.
设\(f(x)=x^3+(1+a)x^2+2x+2b,g(x)=x^3+ax^2+b\)的最大公因式是一个二次多项式，求\(a,b\)的值。
3.
设 \(f(x),g(x)\)是数域 \(\F\)上非零多项式，证明： \(f(x)\)与 \(g(x)\)不互素的充分必要条件是存在非零多项式 \(u(x),v(x)\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)=v(x)g(x),
\end{equation*}
其中 \(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
4.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明下面几点等价：
-
\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
5.
*求一个次数最低的多项式\(f(x)\)，使\(f(x)\)除以\(x^2+1,x^3+x^2+1\)的余式分别为\(x+1,x^2-1\)。
提高题.
6.
设\(t(x)\)是首一多项式， \(\left(f (x), g(x)\right) = d(x)\)，则
\begin{equation*}
\left(f (x) t(x), g(x) t(x)\right) = d(x) t(x).
\end{equation*}
7.
设\(f_1(x)=af(x)+bg(x),g_1(x)=cf(x)+dg(x)\)，且\(ad-bc\neq 0\)，证明：
\begin{equation*}
(f(x),g(x))=(f_1(x),g_1(x)).
\end{equation*}
8.
设 \(m,n\)是正整数，证明：
\begin{equation*}
\left(x^m-1,x^n-1\right)=x^d-1,
\end{equation*}
其中 \(d\)是 \(m,n\)的最大公因数。
9.
设\(f_1(x),\ldots ,f_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：存在\(u_1(x),\ldots ,u_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation}
\left(f_1(x),\ldots ,f_m(x)\right)=u_1(x)f_1(x)+\cdots +u_m(x)f_m(x).\tag{1.3.2}
\end{equation}
10.
设 \(f(x),g_1(x),g_2(x),g_3(x)\in\F[x]\)。若 \(g_i(x)| f(x),i=1,2,3\)，试问下列命题是否成立，并说明理由：
-
如果 \(g_1(x),g_2(x),g_3(x)\)两两互素，那么一定有 \(g_1(x)g_2(x)g_3(x)| f(x)\)；
-
如果\((g_1(x),g_2(x),g_3(x))=1\)，那么一定有 \(g_1(x)g_2(x)g_3(x)| f(x)\)。
11.
设 \(f(x),g(x),h(x)\in\F[x]\)，\(h(x)\ne 0\)，且 \(g(x)\)与 \(h(x)\)互素，证明：存在 \(r(x),s(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g(x)r(x)+h(x)s(x),
\end{equation*}
其中 \(\deg r(x)<\deg h(x)\)。
12.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么存在唯一的\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,
\end{equation*}
且\(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
13.
设\(f_1(x),\cdots ,f_m(x),g_1(x),\cdots ,g_n(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)\cdots f_m(x),g_1(x)\cdots g_n(x)\right)=1
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i=1,\ldots ,m,\ j=1,\ldots ,n.
\end{equation*}
14.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=1\)。
15.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m\)。
