1.
设\(f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3,g(x)=3x^3+10x^2+2x-3\)，求\(\left(f(x),g(x)\right)\)，并求\(u(x),v(x)\)，使得\(\left(f(x),g(x)\right)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\)。
节 1.3 最大公因式和辗转相除法
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
3.
设 \(f(x),g(x)\)是数域 \(\F\)上非零多项式，证明： \(f(x)\)与 \(g(x)\)不互素的充分必要条件是存在非零多项式 \(u(x),v(x)\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)=v(x)g(x),
\end{equation*}
其中 \(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
4.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明下面几点等价：
-
\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(f(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)；
-
\(\left(f(x)g(x),f(x)+g(x)\right)=1\)。
5.
提高题.
6.
设\(t(x)\)是首一多项式， \(\left(f (x), g(x)\right) = d(x)\)，则
\begin{equation*}
\left(f (x) t(x), g(x) t(x)\right) = d(x) t(x).
\end{equation*}
7.
设\(f_1(x)=af(x)+bg(x),g_1(x)=cf(x)+dg(x)\)，且\(ad-bc\neq 0\)，证明：
\begin{equation*}
(f(x),g(x))=(f_1(x),g_1(x)).
\end{equation*}
8.
设 \(m,n\)是正整数，证明：
\begin{equation*}
\left(x^m-1,x^n-1\right)=x^d-1,
\end{equation*}
其中 \(d\)是 \(m,n\)的最大公因数。
9.
设\(f_1(x),\ldots ,f_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：存在\(u_1(x),\ldots ,u_m(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation}
\left(f_1(x),\ldots ,f_m(x)\right)=u_1(x)f_1(x)+\cdots +u_m(x)f_m(x).\tag{1.3.1}
\end{equation}
10.
设 \(f(x),g_1(x),g_2(x),g_3(x)\in\F[x]\)。若 \(g_i(x)| f(x),i=1,2,3\)，试问下列命题是否成立，并说明理由：
11.
设 \(f(x),g(x),h(x)\in\F[x]\)，且 \(g(x)\)与 \(h(x)\)互素，证明：存在 \(r(x),s(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g(x)r(x)+h(x)s(x),
\end{equation*}
其中 \(\deg r(x)<\deg h(x)\)。
12.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么存在唯一的\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\)，使得
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,
\end{equation*}
且\(\deg u(x)<\deg g(x),\deg v(x)<\deg f(x)\)。
13.
设\(f_1(x),\cdots ,f_m(x),g_1(x),\cdots ,g_n(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)\cdots f_m(x),g_1(x)\cdots g_n(x)\right)=1
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i=1,\ldots ,m,\ j=1,\ldots ,n.
\end{equation*}
14.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：如果\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)，那么\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=1\)。
15.
设\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x],m\in\mathbb{Z}^+\)，证明：\(\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m\)。
Sage相关.
16.
实现本节中使用的sage自带程序。
