主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 7.8 初等因子组与Jordan标准型

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
已知\(6\)阶\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的秩为\(4\)，初等因子组为
\begin{equation*} \lambda ,\lambda,\lambda^3,\lambda+1,(\lambda+1)^3,\lambda-2,(\lambda-2)^2, \end{equation*}
求\(A(\lambda)\)的行列式因子和不变因子。
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2.
已知矩阵\(A\)在\(\mathbb{R}\)上的初等因子组为\(\lambda,\lambda^3,(\lambda-\sqrt{2})^2,(\lambda +\sqrt{2})^2,(\lambda^2+1)^3,\)求\(A\)的行列式因子和不变因子。
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3.
求下列矩阵的初等因子组。
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（1）\(\begin{pmatrix} \lambda&1&0\\0&\lambda&1\\0&0&\lambda \end{pmatrix}\)；（2）\(\begin{pmatrix} \lambda^2-\lambda&0&0\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda^3 \end{pmatrix}\)
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4.
设\(A\)的初等因子组为\(\lambda^2,\lambda+1,(\lambda+1)^3\)，求\(A\)的Jordan标准形。
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提高题.

5.
设\(\mathbb{C}\)上三阶方阵\(A=\begin{pmatrix} 2&0&0\\a&2&0\\b&c&1 \end{pmatrix}\)。
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  1. 求出\(A\)所有可能的Jordan标准形；
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  2. 给出\(A\)可对角化的充分必要条件。
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6.
设\(A\)是\(3\)阶幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{Z}^+\)使得\(A^k=0\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
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7.
设\(A\)是\(3\)阶幂等矩阵，即\(A^2=A\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
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8.
设\(A\)是\(n\)阶幂等矩阵，且秩等于\(r\)，试求\(A\)的Jordan标准形。
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9.
设\(A\)是\(3\)阶方阵，满足\(A^2=E\)，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
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10.
设\(A\)是\(3\)阶复方阵，试求\(A\)的所有可能的Jordan标准形。
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11.
  1. 设\(a\)是数域\(\mathbb{F}\)中的非零数，求\(J(a,n)^2\)的Jordan标准形；
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  2. 设\(A\)是\(n\)阶可逆复方阵，证明：存在\(n\)阶复矩阵\(B\)，使得\(A=B^2\)。
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12.
设\(A\)是\(10\)阶方阵，满足\(A^2(A-2E)^2(A-E)=0\)，且\(r(A)=6\)，\(r(A-2E)=9\)，\(r(A-E)=8\)，求\(A\)的Jordan标准形。
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13.
设\(n\)阶复方阵\(A\)不可逆且不是幂零矩阵，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(B\)是幂零矩阵，\(C\)是可逆矩阵。
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14.
设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上非零且不可逆的\(n\)阶复方阵，若\(r(A)=r(A^2)\)，证明：\(A\)相似于矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(C\)是\(r(A)\)阶可逆矩阵。
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挑战题.

15.
设\(A=\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)，求\(A\)的Jordan标准形\(J\)，并求可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=J\)。
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16.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，证明：存在\(n\)阶可逆复对称矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=A^T\)。
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17.
证明：与\(J(\lambda_0,n)\)可交换的矩阵一定可表示为\(J(\lambda_0,n)\)的多项式。
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