主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\myunit}{1 cm}
\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue}#1}}
\newcommand\iddots{\mathinner{
\kern1mu\raise1pt{.}
\kern2mu\raise4pt{.}
\kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}
\kern1mu
}}
\tikzset{
node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white},
arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white},
}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
节 4.1 列向量空间\(\F^m\)
练习 练习
基础题.
1.
在 \(\F^4\)中，设
\begin{equation*}
\alpha_1=(-1,3,2,5)^T,\alpha_2=(2,-1,6,4)^T,\alpha_3=(7,-2,11,1)^T,
\end{equation*}
求 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的分别以下列数为组合系数的线性组合 \(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3\) ：
-
-
2.
设 \(\alpha=(2,-1)^T,\beta=(3,3)^T\)。利用sage，在坐标平面中画出下列向量：
\begin{equation*}
\alpha,\beta,-2\alpha,-2\alpha+\beta.
\end{equation*}
3.
设 \(\alpha=(1,1,-2)^T,\beta=(-2,-3,4)^T,\gamma=(-2,1,1)^T\)。利用sage，在3维坐标系中画出下列向量：
\begin{equation*}
\alpha+\beta,\alpha+\beta-2\gamma.
\end{equation*}
4.
在 \(\F^m\)中，令
\begin{equation*}
\varepsilon_1=(1,0,\ldots ,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,\ldots ,0)^T,\ldots,\varepsilon_m=(0,\ldots ,0,1)^T.
\end{equation*}
证明： \(\F^m\)中任一向量 \(\alpha\)都可由向量组 \(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_m\)线性表出。
5.
设
\(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\) 是
\(\F^m\)中向量组，证明： 对任意
\(1\leq i\leq n\)，
\(\alpha_i\)都可由向量组
\(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\)线性表出。
6.
在\(\F^3\)中，设
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(a+1,2a+1,a+1)^T,\alpha_3=(2,3,a+4)^T.
\end{equation*}
讨论\(a\)取何值时，向量 \(\beta=(1,1,2a+1)^T\)能由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，并写出它的一种表示方式。
7.
已知 \(\alpha,\beta\)是 \(\F^m\)中向量，求向量 \(\gamma\)使得
\begin{equation*}
5\gamma+2\alpha-\beta=3(\gamma+\alpha)-2(3\alpha-2\beta).
\end{equation*}
提高题.
8.
用向量的相关知识证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形。
