主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 4.1 列向量空间\(\F^m\)

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
在 \(\F^4\)中，设
\begin{equation*} \alpha_1=(-1,3,2,5)^T,\alpha_2=(2,-1,6,4)^T,\alpha_3=(7,-2,11,1)^T, \end{equation*}
求 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的分别以下列数为组合系数的线性组合 \(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3\) ：
  1. \(c_1=-2,c_2=3,c_3=-1\)；
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  2. \(c_1=0,c_2=1,c_3=0\)。
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解答.
  1. \(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3=(1,-7,3,1)^T\) ；
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  2. \(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3=\alpha_2=(2,-1,6,4)^T\)。
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2.
设 \(\alpha=(2,-1)^T,\beta=(3,3)^T\)。利用sage，在坐标平面中画出下列向量：
\begin{equation*} \alpha,\beta,-2\alpha,-2\alpha+\beta. \end{equation*}
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3.
设 \(\alpha=(1,1,-2)^T,\beta=(-2,-3,4)^T,\gamma=(-2,1,1)^T\)。利用sage，在3维坐标系中画出下列向量：
\begin{equation*} \alpha+\beta,\alpha+\beta-2\gamma. \end{equation*}
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4.
在 \(\F^m\)中，令
\begin{equation*} \varepsilon_1=(1,0,\ldots ,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,\ldots ,0)^T,\ldots,\varepsilon_m=(0,\ldots ,0,1)^T. \end{equation*}
证明： \(\F^m\)中任一向量 \(\alpha\)都可由向量组 \(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_m\)线性表出。
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解答.
对\(\F^m\)中任一向量 \(\alpha=(a_1,\ldots ,a_m)^T\) ，存在数域 \(\F\)中的数 \(a_1,\ldots ,a_m\) ，使得
\begin{equation*} \alpha=a_1\varepsilon_1+\cdots +a_m\varepsilon_m, \end{equation*}
因此 \(\alpha\)可由向量组 \(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_m\)线性表出。
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5.
设 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\) 是 \(\F^m\)中向量组，证明： 对任意 \(1\leq i\leq n\)，\(\alpha_i\)都可由向量组 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\)线性表出。
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解答.
由于
\begin{equation*} \alpha_i=0\cdot\alpha_1+\cdots+0\cdot\alpha_{i-1}+1\cdot\alpha_i+0\cdot\alpha_{i+1}+\cdots+0\cdot\alpha_n, \end{equation*}
所以\(\alpha_i\)可由向量组 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\)线性表出。
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6.
在\(\F^3\)中，设
\begin{equation*} \alpha_1=(1,1,1)^T,\alpha_2=(a+1,2a+1,a+1)^T,\alpha_3=(2,3,a+4)^T. \end{equation*}
讨论\(a\)取何值时，向量 \(\beta=(1,1,2a+1)^T\)能由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，并写出它的一种表示方式。
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解答.
问题转化为求解线性方程组
\begin{equation*} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta. \end{equation*}
对增广矩阵进行初等行变换：
\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a+1 & 2 & 1\\ 1 & 2a+1 & 3 & 1\\ 1 & a+1 & a+4 & 2a+1 \end{array}\right)\xrightarrow{\begin{array}{c}r_2-r_1\\r_3-r_1\end{array}}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a+1 & 2 & 1\\ 0 & a & 1 & 0\\ 0 & 0 & a+2 & 2a \end{array}\right). \end{equation*}
  1. 当 \(a\neq 0\)且\(a\neq -2\)时，对增广矩阵\(\widetilde{A}\)再进行初等行变换化为简化阶梯形矩阵：
    \begin{equation*} \widetilde{A}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{4-a}{a+2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{a+2}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2a}{a+2} \end{array}\right), \end{equation*}
    此时线性方程组有唯一解，故\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，且表示方式唯一，其表示如下：
    \begin{equation*} \beta=\frac{4-a}{a+2}\alpha_1-\frac{2}{a+2}\alpha_2+\frac{2a}{a+2}\alpha_3. \end{equation*}
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  2. 当\(a=0\)时，对增广矩阵\(\widetilde{A}\)再进行初等行变换化为简化阶梯形矩阵：
    \begin{equation*} \widetilde{A}\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \end{equation*}
    此时线性方程组有无穷多解，故\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，且表示方式有无穷多种。由于该线性方程组的一般解为
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=1-x_2,\\ x_3=0, \end{array}\right. \end{equation*}
    其中\(x_2\)为自由未知量，取 \(x_2=0\)，得\(x_1=1,x_3=0\)，所以其中一种表示方式为
    \begin{equation*} \beta=\alpha_1. \end{equation*}
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  3. 当\(a=-2\)时，
    \begin{equation*} \widetilde{A}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\ 0 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{array}\right), \end{equation*}
    \(r(A)=2<3=r(\widetilde{A})\)，此时线性方程组无解，因此\(\beta\)不能由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出。
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7.
已知 \(\alpha,\beta\)是 \(\F^m\)中向量，求向量 \(\gamma\)使得
\begin{equation*} 5\gamma+2\alpha-\beta=3(\gamma+\alpha)-2(3\alpha-2\beta). \end{equation*}
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解答.
根据向量加法、数乘性质，
\begin{equation*} \begin{array}{rl} & 3(\gamma+\alpha)-2(3\alpha-2\beta)\\ =&3\gamma+3\alpha-2(3\alpha)-2(-2\beta)\\=&3\gamma+3\alpha-(2\cdot 3)\alpha+\left((-2)\cdot(-2)\right)\beta\\ =&3\gamma+3\alpha-6\alpha+4\beta\\ =&3\gamma+(3\alpha-6\alpha)+4\beta\\ =&3\gamma+(3-6)\alpha+4\beta\\ =&3\gamma-3\alpha+4\beta,\\ \end{array} \end{equation*}
因此向量\(\gamma\)满足
\begin{equation*} 5\gamma+2\alpha-\beta = 3\gamma-3\alpha+4\beta , \end{equation*}
则
\begin{equation*} (5\gamma+2\alpha-\beta)-3\gamma=(3\gamma-3\alpha+4\beta)-3\gamma, \end{equation*}
根据向量加法交换律、结合律得
\begin{equation*} (5\gamma-3\gamma)+2\alpha-\beta=(3\gamma-3\gamma)-3\alpha+4\beta, \end{equation*}
即
\begin{equation*} (5-3)\gamma+2\alpha-\beta=-3\alpha+4\beta, \end{equation*}
因此
\begin{equation*} 2\gamma+2\alpha-\beta=-3\alpha+4\beta. \end{equation*}
由此推出
\begin{equation*} (2\gamma+2\alpha-\beta)-2\alpha+\beta=(-3\alpha+4\beta)-2\alpha+\beta, \end{equation*}
即
\begin{equation*} 2\gamma=-5\alpha+5\beta. \end{equation*}
从而
\begin{equation*} \frac{1}{2}(2\gamma)=\frac{1}{2}(-5\alpha+5\beta), \end{equation*}
即
\begin{equation*} (\frac{1}{2}\cdot 2)\gamma=(\frac{1}{2}\cdot (-5))\alpha+(\frac{1}{2}\cdot 5)\beta. \end{equation*}
因此
\begin{equation*} \gamma=-\frac{5}{2}\alpha+\frac{5}{2}\beta. \end{equation*}
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提高题.

8.
用向量的相关知识证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形。
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解答.
设四边形\(ABCD\)的对角线\(AC\)与\(BD\)交于点\(E\)，则
\begin{equation*} \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EC}, \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EB}, \end{equation*}
因此
\begin{equation*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}, \end{equation*}
即线段\(AB\)与线段\(DC\)平行且相等，因此四边形\(ABCD\)是平行四边形。
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