主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\myunit}{1 cm}
\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue}#1}}
\newcommand\iddots{\mathinner{
\kern1mu\raise1pt{.}
\kern2mu\raise4pt{.}
\kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}
\kern1mu
}}
\tikzset{
node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white},
arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white},
}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
节 7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
练习 练习
基础题.
1.
(1)
\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\)； (2)
\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
2.
求
\(A\)的特征矩阵的法式，其中 (1)
\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\)，(2)
\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明：\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
\end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子： (1)
\(\begin{pmatrix}
\lambda &1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\)； (2)
\(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\)；(3)
\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
5.
设
\(A=\begin{pmatrix}
0&2&0&0\\
1&-1&0&0\\
0&0&0&-2\\
0&0&1&3
\end{pmatrix}\)，求
\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
6.
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&1\\0&1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&0\\0&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&1&0\\0&2&0\\0&0&2
\end{pmatrix}\)。
7.
设
\(A\)为
\(2n\)阶实方阵，且
\(A^2+E=0\)，证明：
\(A\)相似于
\(\begin{pmatrix}
0&-E_n\\
E_n&0
\end{pmatrix}\)。
提高题.
8.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\)，证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
9.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵，
\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是
\(A\)的行列式因子，证明：存在
\(n\)阶
\(\lambda\)-矩阵
\(B(\lambda)\)，使得
\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且
\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为
\(1\)。
10.
若
\(n\)阶方阵
\(A\)是幂零矩阵，即有大于
\(1\)的整数
\(k\)，使得
\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求
\(A\)的最后一个不变因子。
11.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵，
\(A\)的行列式因子是
\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：
\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
12.
对于任意
\(n\)阶方阵
\(A\)，证明：
\(A\)相似于
\(A^T\)。
13.
若
\(n\)阶方阵
\(A\)是幂零矩阵，即有大于
\(1\)的整数
\(k\)，使得
\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求
\(A\)的最后一个不变因子。
14.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵，
\(A\)的行列式因子是
\(1,\dots,1,f(\lambda)\)，证明：
\(\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
15.
设
\(A,B\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(3\)阶方阵，证明：
\(A\)相似于
\(B\)的充分必要条件是
\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且
\(\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\)。当
\(A,B\)为
\(4\)阶方阵时，情况如何？
挑战题.
16.
设
\(\varphi,\psi\)是
\(n\)维线性空间
\(V\)上的线性变换，且
\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明：
\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是
\(\psi=h(\varphi)\)，其中
\(\deg h(\lambda)<n\)。
