1.
在\(\mathbb{C}^{n\times n}\)上，定义内积为\(\left(A,B\right)=\mbox{tr}(A\overline{B}^T)\)，试证：\(E_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)\)是关于此内积的一个标准正交基。
节 8.2 标准正交基与内积空间同构
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
在4维酉空间\(\mathbb{C}^4\)中，求与向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,-1,{\rm i},1)^T,\alpha_2=(2,{\rm i},-1+{\rm i},1)^T
\end{equation*}
等价的一个标准正交向量组。
3.
判断以下矩阵是否为酉矩阵或正交矩阵，并说明理由。
-
\(\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{{\rm i}}{\sqrt{2}}\\ \frac{{\rm i}}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \text{;}\)
-
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &-1 \end{pmatrix}\)。
4.
5.
提高题.
6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是内积空间\(V\)的\(n\)个线性无关向量，\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)是这组向量经过Gram-Schmidt正交化过程得到的向量组（未进行标准化），证明：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
\left(\alpha_1,\alpha_1\right)&\left(\alpha_1,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_1,\alpha_n\right)\\
\left(\alpha_2,\alpha_1\right)&\left(\alpha_2,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_2,\alpha_n\right)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\left(\alpha_n,\alpha_1\right)&\left(\alpha_n,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_n,\alpha_n\right)
\end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\left(\beta_i,\beta_i\right).
\end{equation*}
7.
证明：\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{pmatrix}\)是正交矩阵且二阶正交矩阵只能是如上两种形式。
8.
设\(\alpha=\begin{pmatrix} a_1\\ \beta \end{pmatrix}\in\R^n\)， 其中\(a_1\in\R , \beta\in\R^{n-1}\)。证明：若\(\|\alpha\|=1\)，则
\begin{equation*}
Q=\begin{pmatrix}
a_1 & \beta^T\\
\beta & E_{n-1}-\frac{1}{1-a_1}\beta\beta^T
\end{pmatrix}
\end{equation*}
是正交矩阵。
9.
10.
设\(\eta\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)上的一个单位向量，定义\(V\)上线性变换 \(\phi\) 如下：
\begin{equation*}
\phi (\alpha)= \alpha - 2 (\eta , \alpha)\eta, \forall \alpha \in V,
\end{equation*}
证明：\(\phi\)是正交变换。
