1.
在\(\mathbb{C}^{n\times n}\)上，定义内积为\(\left(A,B\right)=\mbox{tr}(A\overline{B}^T)\)，试证：\(E_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)\)是关于此内积的一个标准正交基。
节 8.2 标准正交基与内积空间同构
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
在4维酉空间\(\mathbb{C}^4\)中，求与向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,-1,i,1)^T,\alpha_2=(2,i,-1+i,1)^T
\end{equation*}
等价的一个标准正交向量组。
3.
提高题.
4.
证明：\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{pmatrix}\)是正交矩阵且二阶正交矩阵只能是如上两种形式。
5.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是内积空间\(V\)的\(n\)个线性无关向量，\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)是这组向量经过正交化得到的向量组，证明：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
\left(\alpha_1,\alpha_1\right)&\left(\alpha_1,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_1,\alpha_n\right)\\
\left(\alpha_2,\alpha_1\right)&\left(\alpha_2,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_2,\alpha_n\right)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\left(\alpha_n,\alpha_1\right)&\left(\alpha_n,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_n,\alpha_n\right)
\end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\left(\beta_i,\beta_i\right).
\end{equation*}
