主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 1.2 带余除法与整除
练习 练习
基础题.
1.
设
\(f(x)=3x^4+x^3+x+3,g(x)=2x^2+x+1\)，求
\(g(x)\)除
\(f(x)\)的商式和余式。
2.
求\(g(x)\)除\(f(x)\)的商与余式，并思考对于除式为一次因式的带余除法是否有更简便的求解方式。
-
\(f(x)=x^5+2x^3-1,g(x)=x+1\)；
-
\(f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^3+2x^3+3x^2-1,g(x)=2x-1\)。
3.
设\(a,b\in\mathbb{F}\)且\(a\neq b\)，证明：\((x-a)(x-b)\)除\(f(x)\)的余式是
\begin{equation*}
\frac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}.
\end{equation*}
4.
对任意正整数
\(n\)，证明：
\(x-a\left|x^n-a^n\right.\)，并求出商式。
5.
设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F} [x]\)，其中\(f_1(x)\neq 0\)且
\begin{equation*}
g_1(x)g_2(x)|f_1(x)f_2(x),f_1(x)|g_1(x),
\end{equation*}
证明：\(g_2(x)|f_2(x)\)。
6.
求
\(a,b\)的值，使
\(x^2+x-2|x^4+ax^2+b\)。
提高题.
7.
证明：
\begin{equation*}
f(x)\sim g(x) \Leftrightarrow [f(x)] = [g(x)].
\end{equation*}
8.
设
\(f(x)=(x+1)^{k+n}+(2x)(x+1)^{k+n-1}+\cdots +(2x)^k(x+1)^n\)，这里
\(k,n\)为非负整数。证明：
\(\left. x^{k+1}\right|(x-1)f(x)+(x+1)^{k+n+1}\)。
9.
设
\(d,n\in\mathbb{Z}^+\)，证明：在
\(\mathbb{F} [x]\)中，
\(x^d-1\left|x^n-1\right.\)的充分必要条件是
\(d|n\)。
10.
设
\(g(x)=ax+b,\ a,b\in\mathbb{F}\)。又
\(f(x)\in\mathbb{F} [x]\)。证明：
\(g(x)|\left(f(x)\right)^2\)的充分必要条件是
\(g(x)|f(x)\)。
11.
设
\(m,n,p\)都是非负整数，证明：
\(x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}\)。
12.
除式为一次因式的带余除法有更为精简的计算格式，这种除法也称为综合除法。设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\in\F[x]\)，\(x-a\)除\(f(x)\)的商为\(q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_0\)，余式为\(r\in\F\)。证明：
\begin{equation*}
b_{n-1}=a_n,\ b_i=ab_{i+1}+a_{i+1},\ 0\leq i\leq n-2,\ r=ab_0+a_0.
\end{equation*}
13.
用综合除法求\(g(x)\)除\(f(x)\)的商与余式，并与基础题中按照一般带余除法的计算方式进行比较。
-
\(f(x)=x^5+2x^3-1,g(x)=x+1\)；
-
\(f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^3+2x^3+3x^2-1,g(x)=2x-1\)。
14.
写一个程序实现综合除法，并用上题中的例子进行验证。
