1.
计算 \(3\)阶行列式 \(\begin{vmatrix}
1&-1&-1\\
1&1&-1\\
1&1&1
\end{vmatrix}\)。
节 3.1 行列式的展开式定义
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
求排列\(n,n-1,\ldots,1\)的逆序数，并指出其奇偶性。
3.
设 \(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，证明：
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n).
\end{equation*}
4.
若排列 \(j_1,\ldots ,j_n\)的逆序数为 \(r\)，求排列 \(j_n,j_{n-1},\ldots ,j_1\)的逆序数。
5.
\(n\)阶行列式的反对角线上\(n\)个元素的乘积一定带负号吗？
6.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{4\times 4}\)，请写出 \(4\)阶行列式 \(\det A\)中取正号且含\(a_{32}a_{41}\)的项。
7.
按定义计算行列式：
-
\(\begin{vmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1\\ n&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix} 0&\cdots&0&1&0\\ 0&\cdots&2&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ n-1&\cdots&0&0&0\\ 0&\cdots&0&0&n \end{vmatrix}\)。
-
\(\left|\begin{array}{cccccc} \alpha&\beta&0&\cdots&0&0\\ 0&\alpha&\beta&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\alpha&\beta\\ \beta&0&0&\cdots&0&\alpha \end{array}\right|\)。
8.
设 \(A\)是 \(n\) 阶复矩阵，证明： \(\det \overline{A}=\overline{\det A}\)。
提高题.
9.
设
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
-4x & x & 1 & 2x\\
3 & x & -1 & 1\\
2 & 3 & -x & 1\\
1 & 1 & 1 & -2x
\end{vmatrix},
\end{equation*}
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由。
10.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*}
f(x)=\det\left(xE_n-A\right),
\end{equation*}
证明： \(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式，且 \(n-1\) 次项系数为 \(-tr(A)\)。
11.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中\(a_{ij},b_{ij}\)都是整数且奇偶性相同，证明： \(\det A\)与 \(\det B\)奇偶性也相同。
12.
设\(n\geq 2\)，证明：如果\(n\)阶矩阵\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，那么\(\det A\)必为偶数。
挑战题.
13.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{3\times 3}\)是 \(3\)阶实方阵，且\(\left|a_{ij}\right|=1\)，证明：\(\left|\det A\right|\leq 4\)。
Sage相关.
14.
写一个函数，以自然数\(n\)为输入，输出\([n]=\{0,\ldots,n-1\}\)的所用排列（用列表表示排列）。
15.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现inversions()函数的功能。
16.
写一个函数，以排列(列表)\(i_1,\ldots,i_n\)为输入，输出\(j_1,\ldots,j_n\)。
17.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现is_even()函数的功能。
18.
写一个函数，以方阵为输入，利用展开式定义，输出矩阵行列式。比较新写的函数与sage自带det函数的运行时间，其中运行时间可以用类似下面的代码获得。
