节 3.1 行列式的展开式定义
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
求排列\(n,n-1,\ldots,1\)的逆序数，并指出其奇偶性。
3.
设 \(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，证明：
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n).
\end{equation*}
4.
5.
6.
7.
按定义计算行列式：
-
\(\begin{vmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1\\ n&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix} 0&\cdots&0&1&0\\ 0&\cdots&2&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ n-1&\cdots&0&0&0\\ 0&\cdots&0&0&n \end{vmatrix}\)。
-
\(\left|\begin{array}{cccccc} \alpha&\beta&0&\cdots&0&0\\ 0&\alpha&\beta&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\alpha&\beta\\ \beta&0&0&\cdots&0&\alpha \end{array}\right|\)。
8.
提高题.
9.
设
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
-4x & x & 1 & 2x\\
3 & x & -1 & 1\\
2 & 3 & -x & 1\\
1 & 1 & 1 & -2x
\end{vmatrix},
\end{equation*}
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由。
10.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*}
f(x)=\det\left(xE_n-A\right),
\end{equation*}
证明： \(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式，且 \(n-1\) 次项系数为 \(-tr(A)\)。
11.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中\(a_{ij},b_{ij}\)都是整数且奇偶性相同，证明： \(\det A\)与 \(\det B\)奇偶性也相同。
12.
挑战题.
13.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{3\times 3}\)是 \(3\)阶实方阵，且\(\left|a_{ij}\right|=1\)，证明：\(\left|\det A\right|\leq 4\)。
Sage相关.
14.
15.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现inversions()函数的功能。
16.
17.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现is_even()函数的功能。
18.
写一个函数，以方阵为输入，利用展开式定义，输出矩阵行列式。比较新写的函数与sage自带det函数的运行时间，其中运行时间可以用类似下面的代码获得。
