主要内容

节 3.1 行列式的展开式定义

建设中！

练习 练习

基础题.

1.

计算 \(3\)阶行列式 \(\begin{vmatrix} 1&-1&-1\\ 1&1&-1\\ 1&1&1 \end{vmatrix}\)。
解答.
\begin{align*} \mbox{原式} =\amp\phantom{-} 1\times 1\times 1 +(-1)\times (-1)\times 1 + (-1)\times 1 \times 1\\ \amp - (-1)\times 1\times 1 - (-1)\times 1\times 1 - 1\times (-1)\times 1 \\ =\amp 4. \end{align*}

2.

求下列各个排列的逆序数，并指出它们的奇偶性。
  1. \(5,4,3,2,1\)；
  2. \(5,6,1,2,3\)；
  3. \(5,3,1,2,6\)；
  4. \(5,3,1,2,6,4\)；
  5. \(6,3,1,2,7,5\)；
解答.
  1. 因为
    \begin{equation*} \tau(5,4,3,2,1)=4+3+2+1=10, \end{equation*}
    所以排列\(5,4,3,2,1\)是偶排列。
  2. 因为
    \begin{equation*} \tau(5,6,1,2,3)=3+3+0+0=6, \end{equation*}
    所以排列\(5,6,1,2,3\)是偶排列。
  3. 因为
    \begin{equation*} \tau(5,3,1,2,6)=3+2+0+0=5, \end{equation*}
    所以排列\(5,3,1,2,6\)是奇排列。
  4. 因为
    \begin{equation*} \tau(5,3,1,2,6,4)=4+2+0+0+1=7, \end{equation*}
    所以排列\(5,3,1,2,6,4\)是奇排列。
  5. 因为
    \begin{equation*} \tau(6,3,1,2,7,5)=4+2+0+0+1=7, \end{equation*}
    所以排列\(6,3,1,2,7,5\)是奇排列。

3.

求排列\(n,n-1,\ldots,1\)的逆序数，并指出其奇偶性。
解答.
\begin{align*} \tau(n,n-1,\ldots, 1)&=(n-1)+(n-2)+\cdots+1 \\ &=\frac{n(n-1)}{2}. \end{align*}
  • 当 \(n=4k\)时， \(\frac{n(n-1)}{2}=2k(4k-1)\)为偶数；
  • 当 \(n=4k+1\)时， \(\frac{n(n-1)}{2}=2k(4k+1)\)为偶数；
  • 当 \(n=4k+2\)时， \(\frac{n(n-1)}{2}=(2k+1)(4k+1)\)为奇数；
  • 当 \(n=4k+3\)时， \(\frac{n(n-1)}{2}=(2k+1)(4k+3)\)为奇数。
因此， 当\(n=4k\)或\(n=4k+1\)时，排列\(n,n-1,\dots, 1\)为偶排列；当\(n=4k+2\)或\(n=4k+3\)时，排列\(n,n-1,\dots, 1\)为奇排列。

4.

设 \(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，证明：
\begin{equation*} \tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n). \end{equation*}
解答.
因为\(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，所以在排列\(j_1,\ldots,j_n\)中， \(j_n\)前面有 \(n-j_n\)个数\(j_n+1,\ldots ,n\)大于 \(j_n\) 。这表明排列\(j_1,\ldots,j_{n-1},j_n\)比排列\(j_1,\ldots,j_{n-1}\)多了 \(n-j_n\)个逆序。因此
\begin{equation*} \tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n). \end{equation*}

5.

若排列 \(j_1,\ldots ,j_n\)的逆序数为 \(r\)，求排列 \(j_n,j_{n-1},\ldots ,j_1\)的逆序数。
解答.
在排列\(j_1,\ldots ,j_n\)中构成逆序（顺序）的一对数，它们在\(j_n,\ldots ,j_1\)中构成一对顺序（逆序），因此\(j_n,\ldots ,j_1\)中构成顺序的数对有 \(r\)对。注意到排列\(j_n,\ldots ,1\)中从左至右构成的数对有 \(C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\)对，故
\begin{equation*} \tau (j_n,j_{n-1},\ldots ,1)=\frac{n(n-1)}{2}-r. \end{equation*}

6.

\(n\)阶行列式的反对角线上\(n\)个元素的乘积一定带负号吗？
解答.
\(n\)阶行列式的反对角线上\(n\)个元素的乘积的符号为
\begin{equation*} (-1)^{\tau(n,n-1,\cdots,1)}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}, \end{equation*}
由于\(\frac{n(n-1)}{2}\)可能是奇数也可能是偶数，所以反对角线上\(n\)个元素的乘积不一定带负号。

7.

设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{4\times 4}\)，请写出 \(4\)阶行列式 \(\det A\)中取正号且含\(a_{32}a_{41}\)的项。
解答.
4阶行列式中含\(a_{32}a_{41}\)的项有
\begin{equation*} (-1)^{\tau(3,4,2,1)}a_{13}a_{24}a_{32}a_{41},\ (-1)^{\tau(4,3,2,1)}a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}, \end{equation*}
因为 \(\tau(3,4,2,1)=5\)， \(\tau(4,3,2,1)=6\)，所以所求项为
\begin{equation*} a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}. \end{equation*}

8.

按定义计算行列式：
  1. \(\begin{vmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1\\ n&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix}\)；
  2. \(\begin{vmatrix} 0&\cdots&0&1&0\\ 0&\cdots&2&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ n-1&\cdots&0&0&0\\ 0&\cdots&0&0&n \end{vmatrix}\)。
  3. \(\left|\begin{array}{cccccc} \alpha&\beta&0&\cdots&0&0\\ 0&\alpha&\beta&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\alpha&\beta\\ \beta&0&0&\cdots&0&\alpha \end{array}\right|\)。
解答.
  1. 原式\(=(-1)^{\tau(2,3,\ldots,n,1)} n!=(-1)^{n-1}n!\)。
  2. 原式\(=(-1)^{\tau(n-1,n-2,\ldots,1,n)}n!= (-1)^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}n!\)。
  3. 原式\(=(-1)^{\tau(1,\ldots,n)} \alpha^n+(-1)^{\tau(2,\ldots,n,1)} \beta^n=\alpha^n+(-1)^{n-1} \beta^n\)。

9.

设 \(A\)是 \(n\) 阶复矩阵，证明： \(\det \overline{A}=\overline{\det A}\)。
解答.
复数的共轭保持加法与乘法：
\begin{equation*} \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}, \end{equation*}
故
\begin{align*} \overline{\det A}&=\overline{\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}} \\ &=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}\overline{a_{1j_1}}\cdots \overline{a_{nj_n}} \\ &=\det \overline{A}. \end{align*}

提高题.

10.

设
\begin{equation*} f(x)= \begin{vmatrix} -4x & x & 1 & 2x\\ 3 & x & -1 & 1\\ 2 & 3 & -x & 1\\ 1 & 1 & 1 & -2x \end{vmatrix}, \end{equation*}
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由。
解答.
\(4\)阶行列式展开式中，每一项都是取自不同行、不同列的\(4\)个元素的乘积，而每一个元素的次数均\(\le 1\)，所以含\(x^4\)项只能是\(4\)个对角元对应的乘积项。因此\(x^4\)的系数是\(-8\)。
为了得到展开式中含\(x^3\)项，就应在三行中取含\(x\)的元素，在其余一行中取不含\(x\)的元素。从第\(1\)行开始考虑，
  • 若取\(a_{11}=-4x\)，则第\(2\)行只能取第\(1\)列外的元素，即\(x\)或\(-1\)或\(1\)，无论取哪一个元素，都得不到含\(x^3\)的项。
  • 若取\(a_{12}=x\)，则第\(2\)行取不到含\(x\)的元素，从而第\(3\)、\(4\)行都应取含\(x\)的元素，即取\(a_{33}=-x,a_{44}=-2x\)，于是第\(2\)行只能取\(a_{21}=3\)，这一项为
    \begin{equation*} (-1)^{\tau(2,1,3,4)}x\cdot 3\cdot (-x)\cdot (-2x)=-6x^3. \end{equation*}
  • 若取\(a_{13}=1\)，则第\(3\)行取不到含\(x\)的项，从而得不到含\(x^3\)的项。
  • 若取\(a_{14}=2x\)，则第\(4\)行取不到含\(x\)的项，因此第\(2\)、\(3\)行都应取含\(x\)的项，即取\(a_{22}=x,a_{33}=-x\)，于是第\(4\)行取\(a_{41}=1\)，这一项为
    \begin{equation*} (-1)^{\tau(4,2,3,1)}2x\cdot x\cdot (-x)\cdot 1=2x^3. \end{equation*}
因此\(f(x)\)中\(x^3\)项的系数为
\begin{equation*} -6x^3+2x^3=-4x^3, \end{equation*}
\(x^3\)项的系数为\(-4\)。

11.

设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*} f(x)=\det\left(xE_n-A\right), \end{equation*}
证明： \(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式，且 \(n-1\) 次项系数为 \(-tr(A)\)。
解答.
\begin{equation*} f(x)=\begin{vmatrix} x-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&x-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&-a_{nn} \end{vmatrix}, \end{equation*}
上述\(n\)阶行列式展开式中，每一项都是取自不同行、不同列的\(n\)个元素的乘积，而每一个元素都是次数不超过\(1\)的多项式，所以展开式的每一项次数都不超过 \(n\)，且 最高次项只能出自\(n\)个一次多项式的乘积项，即
\begin{equation*} (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn}). \end{equation*}
因此\(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式。注意到行列式展开式中的其它项次数均小于等于 \(n-2\)，所以 \(f(x)\)的 \(n-1\)次项也出自
\begin{equation*} (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn}), \end{equation*}
故\(n-1\) 次项系数为
\begin{equation*} -(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})=-tr(A). \end{equation*}

12.

设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中\(a_{ij},b_{ij}\)都是整数且奇偶性相同，证明： \(\det A\)与 \(\det B\)奇偶性也相同。
解答.
因为\(a_{ij}\)与 \(b_{ij}\)奇偶性相同，所以 \(\det A\)与 \(\det B\)的展开式中对应每一项
\begin{equation*} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1,j_1}\cdots a_{n,j_n} \end{equation*}
与
\begin{equation*} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1,j_1}\cdots b_{n,j_n} \end{equation*}
奇偶性相同。因此
\begin{equation*} \det A=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1,j_1}\cdots a_{n,j_n} \end{equation*}
与
\begin{equation*} \det B=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1,j_1}\cdots b_{n,j_n} \end{equation*}
奇偶性相同。

13.

设\(n\geq 2\)，证明：如果\(n\)阶矩阵\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，那么\(\det A\)必为偶数。
解答.
证法一：因\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，所以\(\det A\)展开式的每一项或为\(1\)或为\(-1\)。假设展开式中有\(k\)项\(1\)，则\(-1\)有\(n!-k\)项。注意到\(n\geq 2\)，故\(n!\)是偶数。因此
\begin{equation*} \det A=1\cdot k+(-1)\cdot (n!-k)=2k-n! \end{equation*}
是偶数。
证法二：记\(B\)是元素全为\(1\)的\(n\)阶方阵，则\(A\)和\(B\)对应每个元素奇偶性相同。根据练习 3.1.12，\(\det A\)和\(\det B\)奇偶性相同。由于\(\det B=0\)，因此\(\det A\)必为偶数。

挑战题.

14.

设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{3\times 3}\)是 \(3\)阶方阵，且 \(\left|a_{ij}\right|=1\)，证明： \(\left|\det A\right|\leq 4\)。
解答.
记
\begin{equation*} b_1=a_{11}a_{22}a_{33},b_2=a_{12}a_{23}a_{31},b_3=a_{13}a_{21}a_{32}, \end{equation*}
\begin{equation*} b_4=-a_{13}a_{22}a_{31},b_4=-a_{11}a_{23}a_{32},b_6=-a_{12}a_{21}a_{33}, \end{equation*}
则
\begin{equation} \det A=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6.\tag{3.1.1} \end{equation}
因\(\left|a_{ij}\right|=1\)，所以 \(|b_1|=\cdots=|b_6|=1\)且
\begin{equation*} b_1b_2b_3b_4b_5b_6=-\prod\limits_{i=1}^3\prod\limits_{j=1}^3a_{ij}^2=-1. \end{equation*}
这表明 \(b_1,\ldots ,b_6\)这 \(6\)个数至少有一个是 \(-1\)，但不能全是 \(-1\)，故 (3.1.1)的\(6\)项中至少有两项抵消。因此
\begin{equation*} -4\leq\det A\leq 4. \end{equation*}

Sage相关.

15.

写一个函数，以自然数\(n\)为输入，输出\([n]=\{0,\ldots,n-1\}\)的所用排列（用列表表示排列）。

16.

写一个函数，以排列(列表)为输入，实现inversions()函数的功能。

17.

写一个函数，以排列(列表)\(i_1,\ldots,i_n\)为输入，输出\(j_1,\ldots,j_n\)。

18.

写一个函数，以排列(列表)为输入，实现is_even()函数的功能。

19.

写一个函数，以方阵为输入，利用展开式定义，输出矩阵行列式。比较新写的函数与sage自带det函数的运行时间，其中运行时间可以用类似下面的代码获得。
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