节 3.1 行列式的展开式定义
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
求下列各个排列的逆序数，并指出它们的奇偶性。
-
\(5,4,3,2,1\)；
-
\(5,6,1,2,3\)；
-
\(5,3,1,2,6\)；
-
\(5,3,1,2,6,4\)；
-
\(6,3,1,2,7,5\)；
解答.
3.
求排列\(n,n-1,\ldots,1\)的逆序数，并指出其奇偶性。
解答.
\begin{align*}
\tau(n,n-1,\ldots, 1)&=(n-1)+(n-2)+\cdots+1 \\
&=\frac{n(n-1)}{2}.
\end{align*}
因此， 当\(n=4k\)或\(n=4k+1\)时，排列\(n,n-1,n-2,\ldots, 1\)为偶排列；当\(n=4k+2\)或\(n=4k+3\)时，排列\(n,n-1,n-2,\ldots, 1\)为奇排列。
4.
设 \(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，证明：
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n).
\end{equation*}
解答.
5.
6.
7.
8.
按定义计算行列式：
-
\(\begin{vmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1\\ n&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix} 0&\cdots&0&1&0\\ 0&\cdots&2&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ n-1&\cdots&0&0&0\\ 0&\cdots&0&0&n \end{vmatrix}\)。
-
\(\left|\begin{array}{cccccc} \alpha&\beta&0&\cdots&0&0\\ 0&\alpha&\beta&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\alpha&\beta\\ \beta&0&0&\cdots&0&\alpha \end{array}\right|\)。
9.
解答.
复数的共轭保持加法与乘法：
\begin{equation*}
\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2},
\end{equation*}
故
\begin{align*}
\overline{\det A}&=\overline{\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}} \\
&=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}\overline{a_{1j_1}}\cdots \overline{a_{nj_n}} \\
&=\det \overline{A}.
\end{align*}
提高题.
10.
设
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
-4x & x & 1 & 2x\\
3 & x & -1 & 1\\
2 & 3 & -x & 1\\
1 & 1 & 1 & -2x
\end{vmatrix},
\end{equation*}
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由。
解答.
\(4\)阶行列式展开式中，每一项都是取自不同行、不同列的\(4\)个元素的乘积，而每一个元素的次数均\(\le 1\)，所以含\(x^4\)项只能是\(4\)个对角元对应的乘积项。因此\(x^4\)的系数是\(-8\)。
为了得到展开式中含\(x^3\)项，就应在三行中取含\(x\)的元素，在其余一行中取不含\(x\)的元素。从第\(1\)行开始考虑，
-
若取\(a_{12}=x\)，则第\(2\)行取不到含\(x\)的元素，从而第\(3\)、\(4\)行都应取含\(x\)的元素，即取\(a_{33}=-x,a_{44}=-2x\)，于是第\(2\)行只能取\(a_{21}=3\)，这一项为\begin{equation*} (-1)^{\tau(2,1,3,4)}x\cdot 3\cdot (-x)\cdot (-2x)=-6x^3. \end{equation*}
-
若取\(a_{14}=2x\)，则第\(4\)行取不到含\(x\)的项，因此第\(2\)、\(3\)行都应取含\(x\)的项，即取\(a_{22}=x,a_{33}=-x\)，于是第\(4\)行取\(a_{41}=1\)，这一项为\begin{equation*} (-1)^{\tau(4,2,3,1)}2x\cdot x\cdot (-x)\cdot 1=2x^3. \end{equation*}
因此\(f(x)\)中\(x^3\)项的系数为
\begin{equation*}
-6x^3+2x^3=-4x^3,
\end{equation*}
\(x^3\)项的系数为\(-4\)。
11.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*}
f(x)=\det\left(xE_n-A\right),
\end{equation*}
证明： \(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式，且 \(n-1\) 次项系数为 \(-tr(A)\)。
解答.
\begin{equation*}
f(x)=\begin{vmatrix}
x-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\
-a_{21}&x-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&-a_{nn}
\end{vmatrix},
\end{equation*}
上述\(n\)阶行列式展开式中，每一项都是取自不同行、不同列的\(n\)个元素的乘积，而每一个元素都是次数不超过\(1\)的多项式，所以展开式的每一项次数都不超过 \(n\)，且 最高次项只能出自\(n\)个一次多项式的乘积项，即
\begin{equation*}
(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn}).
\end{equation*}
因此\(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式。注意到行列式展开式中的其它项次数均小于等于 \(n-2\)，所以 \(f(x)\)的 \(n-1\)次项也出自
\begin{equation*}
(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn}),
\end{equation*}
故\(n-1\) 次项系数为
\begin{equation*}
-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})=-tr(A).
\end{equation*}
12.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中\(a_{ij},b_{ij}\)都是整数且奇偶性相同，证明： \(\det A\)与 \(\det B\)奇偶性也相同。
解答.
因为\(a_{ij}\)与 \(b_{ij}\)奇偶性相同，所以 \(\det A\)与 \(\det B\)的展开式中对应每一项
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1,j_1}\cdots a_{n,j_n}
\end{equation*}
与
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1,j_1}\cdots b_{n,j_n}
\end{equation*}
奇偶性相同。因此
\begin{equation*}
\det A=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1,j_1}\cdots a_{n,j_n}
\end{equation*}
与
\begin{equation*}
\det B=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n}(-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1,j_1}\cdots b_{n,j_n}
\end{equation*}
奇偶性相同。
13.
解答.
证法一：因\(A\)的元素为\(1\)或\(-1\)，所以\(\det A\)展开式的每一项或为\(1\)或为\(-1\)。假设展开式中有\(k\)项\(1\)，则\(-1\)有\(n!-k\)项。注意到\(n\geq 2\)，故\(n!\)是偶数。因此
\begin{equation*}
\det A=1\cdot k+(-1)\cdot (n!-k)=2k-n!
\end{equation*}
是偶数。
证法二：记\(B\)是元素全为\(1\)的\(n\)阶方阵，则\(A\)和\(B\)对应每个元素奇偶性相同。根据练习 3.1.12，\(\det A\)和\(\det B\)奇偶性相同。由于\(\det B=0\)，因此\(\det A\)必为偶数。
14.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{3\times 3}\)是 \(3\)阶方阵，且 \(\left|a_{ij}\right|=1\)，证明： \(\left|\det A\right|\leq 4\)。
解答.
记
\begin{equation*}
b_1=a_{11}a_{22}a_{33},b_2=a_{12}a_{23}a_{31},b_3=a_{13}a_{21}a_{32},
\end{equation*}
\begin{equation*}
b_4=-a_{13}a_{22}a_{31},b_4=-a_{11}a_{23}a_{32},b_6=-a_{12}a_{21}a_{33},
\end{equation*}
则
\begin{equation}
\det A=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6.\tag{3.1.1}
\end{equation}
因\(\left|a_{ij}\right|=1\)，所以 \(|b_1|=\cdots=|b_6|=1\)且
\begin{equation*}
b_1b_2b_3b_4b_5b_6=-\prod\limits_{i=1}^3\prod\limits_{j=1}^3a_{ij}^2=-1.
\end{equation*}
\begin{equation*}
-4\leq\det A\leq 4.
\end{equation*}
Sage相关.
15.
16.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现inversions()函数的功能。
17.
18.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现is_even()函数的功能。
19.
写一个函数，以方阵为输入，利用展开式定义，输出矩阵行列式。比较新写的函数与sage自带det函数的运行时间，其中运行时间可以用类似下面的代码获得。
