1.
-
将\(\det A\)的第一行移到最后一行，其余各行依次保持原来次序向上移动，得到的行列式的值是多少？
节 3.2 行列式与初等变换
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设\(A\)为\(m\)阶方阵，\(B\)为\(n\)阶方阵，\(C\)为\(m\times n\)矩阵。若\(\det \begin{pmatrix}
A&C\\0&B
\end{pmatrix}=d\)，求\(\det \begin{pmatrix}
0&B\\A&C
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(X,Y,Z_2,Z_3,Z_4\)是4维列向量，
\begin{equation*}
A=(X,Z_2,Z_3,Z_4),\ B=(Y,Z_2,Z_3,Z_4).
\end{equation*}
已知\(\det A=5,\ \det B=2\)，计算\(\det (A+B)\)。
4.
证明：
-
\(\begin{vmatrix} a_1-b_1&b_1-c_1&c_1-a_1\\ a_2-b_2&b_2-c_2&c_2-a_2\\ a_3-b_3&b_3-c_3&c_3-a_3 \end{vmatrix}=0\)；
-
\(\begin{vmatrix} a_1+b_1&b_1+c_1&c_1+a_1\\ a_2+b_2&b_2+c_2&c_2+a_2\\ a_3+b_3&b_3+c_3&c_3+a_3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\)。
5.
设 \(c_1,c_2,c_3\)是多项式 \(f(x)=x^3+px+q\)的根，计算三阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
c_1&c_2&c_3\\
c_3&c_1&c_2\\
c_2&c_3&c_1
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
6.
计算下列行列式：
-
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 0& -1& 2\\ 1& 2& 2& 1\\ 3& 4& 2& 5\\ 4& 2& 2& 11 \end{vmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3 \end{vmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a_1-b_1& a_1-b_2& \cdots& a_1-b_n\\ a_2-b_1& a_2-b_2& \cdots& a_2-b_n\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_n-b_1& a_n-b_2& \cdots& a_n-b_n \end{vmatrix};\)
-
\(\begin{vmatrix} a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}& a_n\\ 1& -1& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& 2& -2& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& n-1& 1-n \end{vmatrix}\)。
提高题.
7.
8.
设 \(n\)是大等于\(2\)的整数， \(\Gamma\)为形如下列形式的 \(n\) 阶方阵构成的集合：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为 \(1\)。试求 \(\sum\limits_{A\in\Gamma}\det A\)。
9.
10.
11.
设 \(n\geq 3\)，计算 \(n\)阶行列式：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_1+b_1c_1&a_2+b_1c_2&\cdots&a_n+b_1c_n\\
a_1+b_2c_1&a_2+b_2c_2&\cdots&a_n+b_2c_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_1+b_nc_1&a_2+b_nc_2&\cdots&a_n+b_nc_n\\
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
挑战题.
12.
由行列式公理化定义中的4个性质推出行列式展开式定义中表达式。
13.
设 \(f_0(x),f_1(x),\ldots ,f_{n-1}(x)\in\Z[x]\)，其中
\begin{equation*}
f_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i,n-1}x^{n-1}, i=0,\ldots ,n-1.
\end{equation*}
记 \(A\)为 \(n\)阶方阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n-1}\\
a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明： 对任意正整数 \(m\)，都有
\begin{equation*}
\left(f_0(m),f_1(m),\ldots ,f_{n-1}(m)\right)|\det A.
\end{equation*}
14.
在直角坐标平面中，\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)和\(C(x_3,y_3)\)。证明\(\triangle ABC\)的面积为
\begin{equation*}
\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix}
x_1& y_1& 1\\
x_2& y_2& 1\\
x_3& y_3& 1
\end{pmatrix}\right|.
\end{equation*}
15.
设\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)是直角坐标平面上的两个不同点。证明由\(AB\)所确定直线的方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x & y& 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
