行列式与初等变换

节 3.2 行列式与初等变换

建设中！

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练习练习

基础题.

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1.

设 \(n\)是大等于\(2\)的整数，证明：在 \(1,2,\ldots,n\)所构成的全部排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 \(\frac{n!}{2}\)个。

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2.

设\(n\)阶行列式\(\det A\)的值为\(d\)，

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将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\((-1)^{i+j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
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将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\(2^{i-j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
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将\(\det A\)的第一行移到最后一行，其余各行依次保持原来次序向上移动，得到的行列式的值是多少？
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从\(\det A\)的第\(2\)列开始每列加上它前面的一列，同时将第\(1\)列加上\(\det A\)的第\(n\)列，得到的行列式的值是多少？
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3.

设\(A\)为\(m\)阶方阵，\(B\)为\(n\)阶方阵，\(C\)为\(m\times n\)矩阵。若\(\det \begin{pmatrix} A&C\\0&B \end{pmatrix}=d\)，求\(\det \begin{pmatrix} 0&B\\A&C \end{pmatrix}\)。

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4.

设\(X,Y,Z_2,Z_3,Z_4\)是4维列向量，

\begin{equation*} A=(X,Z_2,Z_3,Z_4),\ B=(Y,Z_2,Z_3,Z_4). \end{equation*}

已知\(\det A=5,\ \det B=2\)，计算\(\det (A+B)\)。

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5.

证明：

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\(\begin{vmatrix} a_1-b_1&b_1-c_1&c_1-a_1\\ a_2-b_2&b_2-c_2&c_2-a_2\\ a_3-b_3&b_3-c_3&c_3-a_3 \end{vmatrix}=0\)；
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\(\begin{vmatrix} a_1+b_1&b_1+c_1&c_1+a_1\\ a_2+b_2&b_2+c_2&c_2+a_2\\ a_3+b_3&b_3+c_3&c_3+a_3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\)。
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6.

设 \(c_1,c_2,c_3\)是多项式 \(f(x)=x^3+px+q\)的根，计算三阶行列式

\begin{equation*} \begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3\\ c_3&c_1&c_2\\ c_2&c_3&c_1 \end{vmatrix}. \end{equation*}

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7.

计算下列行列式：

\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 0& -1& 2\\ 1& 2& 2& 1\\ 3& 4& 2& 5\\ 4& 2& 2& 11 \end{vmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3 \end{vmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{vmatrix} a_1-b_1& a_1-b_2& \cdots& a_1-b_n\\ a_2-b_1& a_2-b_2& \cdots& a_2-b_n\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_n-b_1& a_n-b_2& \cdots& a_n-b_n \end{vmatrix};\)
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\(\begin{vmatrix} a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}& a_n\\ 1& -1& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& 2& -2& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& n-1& 1-n \end{vmatrix}\)。
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提高题.

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8.

设 \(n\)是大等于\(2\)的整数， \(\Gamma\)为形如下列形式的 \(n\) 阶方阵构成的集合：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为 \(1\)。试求 \(\sum\limits_{A\in\Gamma}\det A\)。

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9.

设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中 \(a_{ij}=\max\left\{i,j\right\}\)，求 \(\det A\)。

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10.

设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中 \(a_{ij}=|i-j|\)，求 \(\det A\)。

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11.

设 \(f_0(x),f_1(x),\ldots ,f_{n-1}(x)\in\Z[x]\)，其中

\begin{equation*} f_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i,n-1}x^{n-1}, i=0,\ldots ,n-1. \end{equation*}

记 \(A\)为 \(n\)阶方阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n-1}\\ a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1} \end{pmatrix}, \end{equation*}

证明：对任意正整数 \(m\)，都有

\begin{equation*} \left(f_0(m),f_1(m),\ldots ,f_{n-1}(m)\right)|\det A. \end{equation*}

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12.

设 \(n\geq 3\)，计算 \(n\)阶行列式：

\begin{equation*} \begin{vmatrix} a_1+b_1c_1&a_2+b_1c_2&\cdots&a_n+b_1c_n\\ a_1+b_2c_1&a_2+b_2c_2&\cdots&a_n+b_2c_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1+b_nc_1&a_2+b_nc_2&\cdots&a_n+b_nc_n\\ \end{vmatrix}. \end{equation*}

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