1.
设\(n\)阶行列式\(\det A\)的值为\(d\)，
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将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\((-1)^{i+j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
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将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\(2^{i-j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
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将\(\det A\)的第一行移到最后一行，其余各行依次保持原来次序向上移动，得到的行列式的值是多少？
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从\(\det A\)的第\(2\)列开始每列加上它前面的一列，同时将第\(1\)列加上\(\det A\)的第\(n\)列，得到的行列式的值是多少？
解答.
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先将第\(1,2,\ldots,n\)行分别提取公因数\(-1,(-1)^2,\ldots,(-1)^n\)，得\begin{equation*} \begin{array}{ll} & \begin{vmatrix} (-1)^{1+1}a_{11}&(-1)^{1+2}a_{12}&\cdots&(-1)^{1+n}a_{1n}\\ (-1)^{2+1}a_{21}&(-1)^{2+2}a_{22}&\cdots&(-1)^{2+n}a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ (-1)^{n+1}a_{n1}&(-1)^{n+2}a_{n2}&\cdots&(-1)^{n+n}a_{nn} \end{vmatrix}\\ = & (-1)^{1+2+\cdots +n}\begin{vmatrix} (-1)^{1}a_{11}&(-1)^{2}a_{12}&\cdots&(-1)^{n}a_{1n}\\ (-1)^{1}a_{21}&(-1)^{2}a_{22}&\cdots&(-1)^{n}a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ (-1)^{1}a_{n1}&(-1)^{2}a_{n2}&\cdots&(-1)^{n}a_{nn} \end{vmatrix}, \end{array} \end{equation*}再第\(1,2,\ldots ,n\)列分别提取公因式\(-1,(-1)^2,\ldots,(-1)^n\)，则\begin{equation*} \text{原式}=(-1)^{1+2+\cdots +n}(-1)^{1+2+\cdots +n}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=d. \end{equation*}
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先将第\(1,2,\dots ,n\)行分别提取公因数\(2,2^2,\dots,2^n\)，得\begin{equation*} \begin{array}{ll} & \begin{vmatrix} 2^{1-1}a_{11}&2^{1-2}a_{12}&\cdots&2^{1-n}a_{1n}\\ 2^{2-1}a_{21}&2^{2-2}a_{22}&\cdots&2^{2-n}a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 2^{n-1}a_{n1}&2^{n-2}a_{n2}&\cdots&2^{n-n}a_{nn} \end{vmatrix}\\ =& 2^{1+2+\cdots +n}\begin{vmatrix} 2^{-1}a_{11}&2^{-2}a_{12}&\cdots&2^{-n}a_{1n}\\ 2^{-1}a_{21}&2^{-2}a_{22}&\cdots&2^{-n}a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 2^{-1}a_{n1}&2^{-2}a_{n2}&\cdots&2^{-n}a_{nn} \end{vmatrix}, \end{array} \end{equation*}再第\(1,2,\dots,n\)列分别提出提取公因式\(2^{-1},2^{-2},\dots,2^{-n}\)，则\begin{equation*} \text{原式}=2^{1+2+\cdots +n}2^{-1-2-\cdots -n}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=d. \end{equation*}
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将该行列式的第\(n\)行和第\(n-1\)行互换，再互换新的第\(n-1\)行和第\(n-2\)行，依此类推，直至互换新的第\(2\)行和第\(1\)行可得原行列式，互换共经历了\(n-1\)次，因此\(\det B=(-1)^{n-1}d\)。
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将\(A\)按列分块，设\(A=\begin{pmatrix}A_1 & A_2 & \cdots & A_n\end{pmatrix}\)，则\begin{equation*} \begin{array}{cl} & \det \begin{pmatrix} A_1+A_n & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}\\ =& \det \begin{pmatrix} A_1 & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix} + \\ & \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}. \end{array} \end{equation*}对于前一个行列式\begin{equation*} \det\begin{pmatrix} A_1 & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}, \end{equation*}从第一列开始，自左而右，依次将新的每一列乘以\(-1\)加到后一列，直到第\(n-1\)列，行列式不变，即\begin{equation*} \begin{array}{ll} & \det \begin{pmatrix} A_1 & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \det \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \det \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 & A_4+A_3 &\cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \cdots\\ = & \det \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 & \cdots & A_n\end{pmatrix}\\ = & \det A. \end{array} \end{equation*}对于后一个行列式\begin{equation*} \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & A_3+A_2 & \cdots & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}, \end{equation*}先将第\(1\)列乘以\(-1\)加到最后一列，再将新的行列式从最后一列开始，自右而左，依次将新的每一列乘以\(-1\)加到前一列，直到第\(3\)列，行列式不变，即\begin{equation*} \begin{array}{ll} & \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & \cdots & A_{n-1}+A_{n-2} & A_n+A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & \cdots & A_{n-1}+A_{n-2} & A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & \cdots & A_{n-2}+A_{n-1} & A_{n-2} & A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \cdots\\ = & \det \begin{pmatrix} A_n & A_2+A_1 & A_2 & \cdots & A_{n-2} & A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & \det \begin{pmatrix} A_n & A_1 & A_2 & \cdots & A_{n-1}\end{pmatrix}\\ = & (-1)^{n-1}\det \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & \cdots & A_{n-1} & A_n\end{pmatrix}\\ = & (-1)^{n-1}\det A. \end{array} \end{equation*}因此所求行列式等于\(d+(-1)^{n-1}d\)。
