主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 1.5 不可约因式的重数
练习 练习
基础题.
1.
判断下列有理数域上的多项式有无重因式。如果有重因式，试求出一个多项式与它有完全相同的不可约因式（不计重数），且这个多项式没有重因式。
-
-
\(x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8\)。
2.
设
\(f(x)=x^3+3ax+b\)，当且仅当
\(a,b\)满足什么条件时，
\(f(x)\)有重因式。
3.
若
\(x^2+x+1\left|f_1(x^3)+xf_2(x^3)\right.\)，则
\(x-1\left|f_1(x)\right.\)且
\(x-1\left|f_2(x)\right.\)。
提高题.
4.
设\(f(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)次多项式，证明：\(f'(x)| f(x)\)的充分必要条件是
\begin{equation*}
f(x)=a(x-b)^n,
\end{equation*}
这里\(a,b\in\mathbb{F}\)。
5.
设
\(f(x), p(x)\in\F[x]\)。证明：若
\(p(x)\)在
\(\F\)上不可约，且
\(f(x)\)与
\(p(x)\)在
\(\C\)上存在公共根，则
\(p(x)| f(x)\)。
6.
设
\(p(x)\)是数域
\(\F\)上
\(n\)次不可约多项式，
\(n\)为大于
\(1\)的奇数。证明：若
\(c_1,c_2\)是
\(p(x)\)的两个不同复根，则
\(c_1+c_2\not\in\F\)。
7.
设\(p(x)\)是数域\(\F\)上的不可约多项式， \(f(x)\in\F[x]\)，\(x_1,\ldots ,x_s\)是\(f(x)\)在\(\C\)上的根。证明：若\(p(x)\nmid f(x)\)，则存在\(g(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
\frac{1}{p(x_i)}=g(x_i),\ i=1,\ldots s.
\end{equation*}
8.
当且仅当正整数
\(n\)满足何条件时，
\(x^2+x+1|x^{2n}+x^n+1\)，请加以证明。
9.
设
\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且
\(\deg f(x)=n>0\)。证明：
\(a\)是
\(f(x)\)的
\(k\)重根
\((k\geq 1)\)的充分必要条件是
\(f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0,f^{(k)}(a)\neq 0\)。
10.
设
\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：如果
\(p(x)\)在
\(\mathbb{Q}\)上不可约，那么
\(p(x)\)在
\(\mathbb{C}\)上没有重根。
11.
设
\(f(x)\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)次多项式，且
\(f(0)=0\)。令
\(g(x)=xf(x)\)，证明：如果
\(f'(x)\left|g'(x)\right.\)，那么
\(g(x)\)有
\(n+1\)重零根。
12.
设
\(f(x)\in\F [x],\ \deg f(x)>0\)，
\(m\)是大于1的正整数。证明：若
\(f(x)|f(x^m)\)， 则
\(f(x)\)的根或为0或为
\(1\)的某个方根。
13.
设
\(f(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)=n\)，且
\(f(k)=\frac{k}{k+1},k=0,1,\ldots ,n\)，求
\(f(n+1)\)。
