主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 2.1 线性方程组、消元法及几何直观

建设中！
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练习 练习

基础题.

2.
判断下列方程组是否是关于变元\(x,y\)的线性方程组。若是，求解该线性方程组。
  1. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 2x^2-y^2&=&3,\\ -x^2+y^2&=&-1; \end{array}\right.\)
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  2. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x-6y&=&3,\\ -x+2y&=&1; \end{array}\right.\)
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  3. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x-6y&=&3,\\ -x+2y&=&-1; \end{array}\right.\)
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解答.
  1. 否；
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  2. 是。互换两个方程的顺序，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccc} -x+2y&=&1,\\ 3x-6y&=&3, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(1\)个方程乘以\(3\)加到第\(2\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccc} -x+2y&=&1,\\ 0&=&6, \end{array}\right. \end{equation*}
    最后一个方程显然不成立，所以该线性方程组无解。
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  3. 是。互换两个方程的顺序，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccc} -x+2y&=&-1,\\ 3x-6y&=&3, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(1\)个方程乘以\(3\)加到第\(2\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccc} -x+2y&=&1,\\ 0&=&0, \end{array}\right. \end{equation*}
    所以该线性方程组有无穷多解 \(\left\{\begin{array}{l} x=2c-1,\\ y=c,\end{array}\right.\) 其中\(c\)为任意常数。
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3.
求解下列线性方程组：
  1. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} x_1-x_2+x_3&=&b_1,\\ x_2+2x_3&=&b_2,\\ x_3&=&b_3; \end{array}\right.\)
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  2. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} x_1+2x_2-x_3+x_4&=&b_1,\\ x_3-2x_4&=&b_2,\\ x_4&=&b_3; \end{array}\right.\)
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  3. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+x_3+x_4&=&1,\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4&=&-3,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4&=&-1. \end{array}\right.\)
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解答.
  1. 将第\(3\)个方程分别乘以\(-2\)、\(-1\)加到第\(2\)个、第\(1\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rccl} x_1-x_2&&=&b_1-b_3,\\ x_2&&=&b_2-2b_3,\\ &x_3&=&b_3, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(2\)个方程加到第\(1\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcccl} x_1&&&=&b_1+b_2-3b_3,\\ &x_2&&=&b_2-2b_3,\\ &&x_3&=&b_3, \end{array}\right. \end{equation*}
    所以该线性方程组有唯一解 \(\left\{\begin{array}{l} x_1=b_1+b_2-3b_3,\\ x_2=b_2-2b_3,\\ x_3=b_3. \end{array}\right.\)
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  2. 将第\(3\)个方程分别乘以\(2\)、\(-1\)加到第\(2\)个、第\(1\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rccl} x_1+2x_2-x_3&&=&b_1-b_3,\\ x_3&&=&b_2+2b_3,\\ &x_4&=&b_3, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(2\)个方程加到第\(1\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcccl} x_1+2x_2&&&=&b_1+b_2+b_3,\\ &x_3&&=&b_2+2b_3,\\ &&x_4&=&b_3, \end{array}\right. \end{equation*}
    所以该线性方程组有无穷多解 ：
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=b_1+b_2+b_3-2c,\\ x_2=c,\\ x_3=b_2+2b_3,\\ x_4=b_3,\end{array}\right. \end{equation*}
    其中\(c\)为任意常数。
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  3. 将第\(1\)个方程分别乘以\(-3\)、\(-5\)加到第\(2\)个、第\(3\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+x_3+x_4&=&1,\\ -x_2-2x_3-2x_4&=&-6,\\ -x_2-2x_3-2x_4&=&-6, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(2\)个方程乘以\(-1\)第\(3\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+x_3+x_4&=&1,\\ -x_2-2x_3-2x_4&=&-6,\\ 0&=&0, \end{array}\right. \end{equation*}
    将第\(2\)个方程加到第\(1\)个方程，得
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{rccrl} x_1&&-x_3-x_4&=&-5,\\ &-x_2&-2x_3-2x_4&=&-6,\\ &&0&=&0, \end{array}\right. \end{equation*}
    变元\(x_3,x_4\)任取一组数值可确定出该方程组的一个解，因此该方程组有无穷多解：
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-5+c+d,\\ x_2=6-2c-2d,\\ x_3=c,\\ x_4=d, \end{array} \right. \end{equation*}
    其中\(c,d\)为任意常数。
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