主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 5.3 标准正交基与Gram-Schmidt正交化过程
练习 练习
基础题.
1.
判断下列向量组是否是正交向量组：
-
\(\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\
\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
2.
验证下述向量组中的\(v_1,v_2,v_3\)构成一组标准正交基，并将\(w\)表示为\(v_1,v_2,v_3\)的线性组合。
-
\({v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\
{v}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\
{v}_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\
{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)；
-
\({v}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\
{v}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\
{v}_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},\
{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)。
提高题.
3.
在4维欧氏空间\(\mathbb{R}^4\)中，求与向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,2,2,-1)^T,\alpha_2=(1,1,-5,3)^T,\alpha_3=(3,2,8,-7)^T
\end{equation*}
等价的一个标准正交向量组。
4.
设
\(A\)是一个列满秩矩阵。若在
\(A\)的QR分解中进一步要求
\(R\)的对角线元素均为正数，则
\(R\)称为
\(A\)的
标准QR分解。证明：
\(A\)的标准QR分解是唯一的。
5.
设
\(A=\begin{pmatrix}
1&1&0\\1&0&1\\-1&0&0
\end{pmatrix}\)，求
\(A\)的标准QR分解。
挑战题.
6.
设\(V\)是欧式空间\(\R^n\)的子空间，\(P\)是一个\(n\)阶方阵。求证：若\(P\)满足
\begin{equation*}
P\alpha = {\rm Proj}_V(\alpha), \ \forall \alpha\in \R^n,
\end{equation*}
则\(P\)是正交投影矩阵，且\(V = {\rm Im}P\)。
