主要内容

节 2.3 分块矩阵

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练习 练习

基础题.

1.

设\(M_1\)是\(m_1\)阶方阵，\(N_1\)是\(n_1\)阶方阵，\(A_{ij}\)为\(m_i\times m_j\)矩阵，\(B_{kl}\)为\(m_k\times n_l\)矩阵，\(K\)是\(m_1\times m_2\)矩阵，\(L\)是 \(n_1\times n_2\)矩阵，计算：
  1. \(\begin{pmatrix} M_1 &{\bf 0}\\ {\bf 0} & E_{m_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N_1 & {\bf 0}\\ {\bf 0} & E_{n_2} \end{pmatrix}\)；
  2. \(\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{m_2}\\ E_{m_1} & {\bf 0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{n_1}\\ E_{n_2} & {\bf 0} \end{pmatrix}\)；
  3. \(\begin{pmatrix} E_{m_1} & K\\ {\bf 0} & E_{m_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_{n_1} & L\\ {\bf 0} & E_{n_2} \end{pmatrix}\)；
  4. \(\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ {\bf 0} & A_{22} & A_{23}\\ {\bf 0} & {\bf 0} & A_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13}\\ {\bf 0} & B_{22} & B_{23}\\ {\bf 0} & {\bf 0} & B_{33} \end{pmatrix}\)。

2.

将矩阵\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)与\(B=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & 2\\ -3 & 2 & -5 & -4\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) 适当分块后，计算\(AB\)。

3.

设\(A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)，计算
  1. \(A^n\)，其中\(n\geq 2\)；
  2. \(AA^T, A^TA\)。

提高题.

4.

设\(A\)为\(n\)阶方阵，证明：若对任意\(n\)维列向量\(\alpha\)都有\(A\alpha={\bf 0}\)，那么\(A={\bf 0}\)。

5.

设\(\varepsilon_i\)为\(n\)维标准单位列向量，\(E_{ij}\)是\(n\)阶基础矩阵。证明：
  1. \(\varepsilon_i^T\varepsilon_j= \delta_{ij}\)，其中\(\delta_{ij}\)是Kronecker符号，即\(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl} 1, & i=j,\\ 0, & i\neq j; \end{array}\right.\)
  2. \(\varepsilon_i\varepsilon_j^T= E_{ij}\)；
  3. \(\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\left\{\begin{array}{cl} E_{il}, & j=k,\\ {\bf 0}, & j\neq k; \end{array}\right.\)
  4. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(E_{ij}A\)的第\(i\)行是\(A\)的第\(j\)行元，其它元为\(0\)；
  5. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(AE_{ij}\)的第\(j\)列是\(A\)的第\(i\)列元，其它元为\(0\)；
  6. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}\)。

6.

设\(A\)为\(n\)阶方阵，证明：若对任意\(n\)阶方阵\(B\)都有\({\rm tr}(AB)=0\)，那么\(A={\bf 0}\)。

7.

设
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1E_{n_1} & & &\\ & a_2E_{n_2} & &\\ & & \ddots & \\ & & & a_rE_{n_r} \end{pmatrix} \end{equation*}
其中\(a_i\neq a_j\)（当\(i\neq j\)时），\(E_{n_i}\)是\(n_i\)阶单位矩阵。证明：与\(A\)可交换的矩阵只能是分块对角矩阵 \({\rm diag}(B_1, \ldots,B_r)\)，其中\(B_i\)为\(n_i\)阶方阵，\(i=1,\ldots,r\)。

8.

计算 \(\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_4\\ 1 & {\bf 0} \end{pmatrix}^n\)，其中\(n=2,3,4,5\)。

9.

设\(n\)阶基础循环矩阵
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
证明：对任意\(n\)阶方阵\(A\)，
  1. \(CA\)相当于把\(A\)的每一行向上移一行，第1行换到最后一行；
  2. \(AC\)相当于把\(A\)的每一列向右移一列，最后一列换到第1列。

10.

设\(C\)为\(n\)阶基础循环矩阵， 证明：对任意\(1\leq k\leq n\)，
\begin{equation*} C^k=\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{n-k}\\ E_k & {\bf 0} \end{pmatrix}. \end{equation*}

11.

下列形式的矩阵称为循环矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
证明：
  1. \(n\)阶循环矩阵\(A\)必可表示成\(n\)阶基本循环矩阵\(C\)的多项式；
  2. 两个\(n\)阶循环矩阵的乘积仍为循环矩阵。

12.

每一行和每一列有且仅有一个1，其余元素均为0的\(n\)阶方阵称为\(n\)阶置换矩阵，证明：
  1. 若\(P\)是\(n\)阶置换矩阵，则 \(P^TP=E_n\)；
  2. 若\(P_1,P_2\)都是\(n\)阶置换矩阵，则\(P_1P_2\)也是\(n\)阶置换矩阵。
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