1.
证明：\(\mathbb{Q} ({\rm i})=\{a+b{\rm i}\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)是一个数域，其中\({\rm i}\)是虚数单位。
节 1.1 一元多项式的定义和基本性质
练习 练习
基础题.
2.
求包含\(\sqrt{3}\)的最小数域，并证明。
3.
设
\begin{equation*}
f(x)=2x^4+2x^3-x^2+5x-5,g(x)=-4x^2+3x-2,
\end{equation*}
求\(f(x)+g(x),f(x)g(x)\)。
4.
设\(f (x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：
\begin{align}
\deg \left(cf (x)\right) \amp = \deg f (x) ,\quad 0 \ne c\in \mathbb{F}, \tag{1.1.1}\\
\deg \left(f (x)g(x)\right)\amp = \deg f (x) + \deg g(x).\tag{1.1.2}
\end{align}
5.
设\(f(x),g(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且 \(f (x)\ne 0\)，\(g(x)\ne 0\)， 证明：
\begin{equation*}
f(x)g(x)\ne 0.
\end{equation*}
6.
设\(f (x),g(x)\in \mathbb{F}[x]\)，若 \(f(x)\ne 0\)且\(f (x) g(x) = f (x) h(x)\)，证明：
\begin{equation*}
g(x) = h(x).
\end{equation*}
7.
对任意非零多项式\(f(x)\)，证明：\(\deg f\left(f(x)\right)=\left(\deg f(x)\right)^2\)。
提高题.
8.
设数集\(\mathbb{F}\)至少包含两个不同的数，证明：若\(\mathbb{F}\)中任意两个数的差与商（除数非零）仍属于\(\mathbb{F}\)，则\(\mathbb{F}\)是一个数域。
9.
设\(\K,\ \F\)是数域，
-
证明：\(\K\cap \F\)是一个数域；
-
举例说明\(\K\cup \F\)不一定是数域；
-
试证：\(\K\cup \F\)是数域的充要条件是\(\K\subseteq \F\)或\(\F\subseteq \K\)。
10.
设\(\F\)是一个数域，且\(\R \subseteq \F\subseteq \C\)。证明：或者\(\F=\R\)，或者\(\F = \C\)，二者必居其一。
11.
设\(f (x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，证明：
\begin{equation*}
\deg \left( f (x) + g(x)\right)\le \max\{\deg f (x) ,\ \deg g(x)\}.
\end{equation*}
12.
设\(f(x),g(x),h(x)\in\R[x]\)，满足\(x\left(f(x)\right)^2+x\left(g(x)\right)^2=\left(h(x)\right)^2\)。证明：
\begin{equation*}
f(x)=g(x)=h(x)=0.
\end{equation*}
这个结论在复数域上成立否?若成立，请证明；若不成立，请举例说明。
13.
设\(f(x)\in\C[x]\)且\(f\left(x^2\right)=\left(f(x)\right)^2\)，求\(f(x)\)。
14.
设\(f(x)\in\C[x],k\in\Z^+\)且\(f\left(f(x)\right)=\left(f(x)\right)^k\)，求\(f(x)\)。
15.
用多项式的系数序列来表示多项式（不限定升序或降序排列），写一个函数实现多项式的乘法，并验证 练习 1.1.3 手算获得的结论是否正确。
挑战题.
16.
设\(\F = \{0,1\}\)，在\(\F\)上按如下方式定义加、减、乘、除（除数不为0）四种运算：
\begin{equation*}
0+0=0, \quad 1+1 = 0,\quad 0+1=1+0=1;
\end{equation*}
\begin{equation*}
0-0=0,\quad 1-1=0,\quad 0-1 = 1-0=1;
\end{equation*}
\begin{equation*}
0\times 0 =0,\quad 1\times 1 =1,\quad 0\times1 = 1\times 0 =0
\end{equation*}
\begin{equation*}
0\div 1 = 0,\quad 1\div 1 = 1.
\end{equation*}
此时\(\F\)称为二元域。
多项式的相关概念可以从数域推广到二元域上。请验证：当\(\F\)是二元域时，取
\begin{equation*}
f(x)= x\in \F[x],\quad g(x) = x^2\in \F[x],
\end{equation*}
\(f(x)\)和\(g(x)\)作为函数是同一个函数。
