节 1.6 复系数、实系数多项式的标准分解式
建设中！
练习 练习
基础题.
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3.
提高题.
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\((1- \omega_1)(1- \omega_2)\cdots (1- \omega_{n-1})=n\)；
5.
设 \(f_1(x),f_2(x)\)是次数不超过 \(3\)的首一互异多项式，且
\begin{equation*}
x^4+x^2+1|f_1(x^3)+x^4f_2(x^3),
\end{equation*}
求 \(\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)。
6.
设\(f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)，
-
证明：\(\prod\limits_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{1}{2^m}\)，\(\prod\limits_{k=1}^{m-1}\sin\frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)。
7.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上次数大于\(1\)的首一多项式且无实根，证明：存在\(g(x),h(x)\in\mathbb{R}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g^2(x)+h^2(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)>\deg h(x)\)。
8.
9.
10.
设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)的三个根为\(\alpha,\beta,\gamma\)，如果\(c\neq 0\)，求以\(\frac{\alpha}{\beta \gamma},\frac{\beta}{\alpha \gamma},\frac{\gamma}{\alpha \beta}\)为根的一个三次多项式。
挑战题.
11.
设 \(f(x),g(x)\in\R[x]\)， \(\deg f(x)\geq 1\)，\(\deg g(x)<\deg f(x)\)，且\(f(x)\)的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(x-a_i)^{e_i}\prod\limits_{j=1}^{r}(x^2+b_jx+c_j)^{\ell_j},
\end{equation*}
证明：\(\frac{g(x)}{f(x)}\)可分解为形如
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{(x-a_i)^e}\mbox{或}\frac{\mu x+\nu}{\left(x^2+b_jx+c_j\right)^\ell}
\end{equation*}
的部分分式之和，即
\begin{equation*}
\frac{g(x)}{f(x)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{k_i=1}^{e_i}\frac{\lambda_{i,k_i}}{(x-a_i)^{k_i}}+\sum\limits_{j=1}^{r}\sum\limits_{s_j=1}^{\ell_j}\frac{\mu_{j,s_j} x+\nu_{j,s_j}}{\left(x^2+b_jx+c_j\right)^{s_j}},
\end{equation*}
其中 \(a_i,\lambda_{i,k_i},b_j,c_j,\mu_{j,s_j} ,\nu_{j,s_j}\in\R\)，且 \(b_j-4c_j^2<0\)。
12.
设 \(f(x),g(x)\in\C[x]\)且 \(\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：若对任意复数 \(\alpha\)，当且仅当 \(f(\alpha)=0\)时， \(g(\alpha)=0\)；当且仅当\(f(\alpha)=1\)时， \(g(\alpha)=1\)，则多项式 \(f(x)\)与 \(g(x)\)相等。
13.
14. 笛卡尔符号法则.
对于\(n\)次实系数多项式\(f(x)=a_nx^n+\cdots +a_0\)，忽略系数为0的项，把非零的系数按照次数从大到小排列，得到一个序列。在这个序列中，相邻系数符号相反，称为1次变号，变号的总次数称为多项式系数的变号次数。证明：实系数多项式方程正根的个数等于系数的变号次数减去一个非负偶数。
