简化阶梯形、线性方程组的解及秩

节 2.6 简化阶梯形、线性方程组的解及秩

建设中！

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练习练习

基础题.

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1.

用初等行变换将下列矩阵化为简化阶梯形矩阵。

\(\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 &-2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)；
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\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 4\\ 3 & 5 & 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}\)。
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解答.

对矩阵\(A\)施行初等行变换：

\begin{equation*} \begin{array}{ll} A & \xrightarrow{-r_1,\frac{1}{2}r_2}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 &-1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_2+r_3}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 &0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_1+r_3}\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_1+2r_2}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 1 &0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{array} \end{equation*}

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对矩阵\(A\)施行初等行变换：

\begin{equation*} \begin{array}{ll} A & \xrightarrow{r_3-2r_1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 2\\ 3 & 5 & 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_4-3r_1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 4 & 2 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -2 & 4 & 2 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_4-2r_2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_2-r_3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_1-r_3}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{r_1-r_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{array} \end{equation*}

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2.

用Gauss-Jordan消去法求下列线性方程组的一般解。

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5=0,\\ -x_1+x_2+x_4+2x_5=0,\\ x_1+3x_2+4x_3+2x_4-x_5=0; \end{array}\right.\)
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\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1,\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=3,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2. \end{array}\right.\)
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解答.

对系数矩阵

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 &1\\ -1 & 1 & 0 & 1 &2\\ 1 & 3 & 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{equation*}

施行初等行变换，得到简化阶梯形矩阵

\begin{equation*} {\rm rref}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 &-4\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 1 &-9 \end{pmatrix}, \end{equation*}

故该线性方程组有无穷多解，其一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-x_3+x_5,\\ x_2=-x_3-7x_5,\\ x_4=9x_5, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3,x_5\)是自由未知量。

\begin{equation*} \end{equation*}

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对增广矩阵

\begin{equation*} \widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 &1 &1\\ 3 & 2 & 1 & 1 &-3&0\\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 4 & 3 & 3 & -1 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}

施行初等行变换，得到简化阶梯形矩阵

\begin{equation*} {\rm rref}(\widetilde{A})=\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 &-5&-2\\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0&0 \end{array}\right), \end{equation*}

所以该线性方程组有无穷多解，其一般解为

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1=-2+x_3+x_4+5x_5,\\ x_2=3-2x_3-2x_4-6x_5, \end{array}\right. \end{equation*}

其中\(x_3,x_4,x_5\)是自由未知量。

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3.

求下列矩阵的秩。

\(\begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 5 & -1\\ 1 & 4 & -1 & 3 &-1\\ -1 & -10 & 5 & -7 & 3\\ 4 & -2 & 8 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)；
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\(\begin{pmatrix} 5 & -3 &-2 & 1\\ -3 & 2 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8 \end{pmatrix}\)；
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\(\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 &a \end{pmatrix}\)。
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解答.

对矩阵进行初等行变换，得到的简化阶梯形矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

非\(0\)行行数为\(3\)，因此矩阵的秩为\(3\)。

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记原矩阵为\(A\)，对\(A\)进行初等行变换：

\begin{equation*} \begin{array}{ll} A&\xrightarrow{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 5 & -3 &-2 & 1\\ -3 & 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_3-5r_1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & -3 &5a+8 & 21\\ -3 & 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_4+3r_1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & -3 &5a+8 & 21\\ 0 & 2 & -3a-5 & -14 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_3+3r_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 5a+5 & -3a-3\\ 0 & 2 & -3a-5 & -14 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_4-2r_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 5a+5 & -3a-3\\ 0 & 0 & -3a-3 & 2a+2 \end{pmatrix}=B. \end{array} \end{equation*}
1. 当\(a=-1\)时，\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵
  
  \begin{equation*} {\rm rref}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  非\(0\)行行数为\(2\)，此时\(r(A)=2\)；
  
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2. 当\(a\neq -1\)时，对\(B\)继续进行初等行变换，得
  
  \begin{equation*} \begin{array}{ll} B & \xrightarrow{\begin{array}{c}\frac{1}{5a+5}r_3\\\frac{1}{-3a-3}r_4\end{array}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{5}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_4-r_3}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{5}\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{15} \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{-15r_4}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{5}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\begin{array}{c}r_3+\frac{3}{5}r_4\\r_2+(a+8)r_4\\r_1+4r_4\end{array}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -a-2 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\begin{array}{c}r_2+r_4\\r_1+(a+2)r_3\end{array}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}
  
  此时\(r(A)=4\)。
  
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综上可知，当\(a=-1\)时，\(r(A)=2\)；当\(a\neq -1\)时，\(r(A)=4\)。

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记原矩阵为\(A\)，对\(A\)进行初等行变换：

\begin{equation*} \begin{array}{ll} A & \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix} 1 & 1 &a\\ 1 & a & 1\\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\begin{array}{c}r_2-r_1\\r_3-ar_1\end{array}}\begin{pmatrix} 1 & 1 &a\\ 0 & a-1 & 1-a\\ 0 & 1-a & 1-a^2 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{pmatrix} 1 & 1 &a\\ 0 & a-1 & 1-a\\ 0 & 0 & 2-a-a^2 \end{pmatrix}. \end{array} \end{equation*}
1. 当\(a=1\)时，\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵
  
  \begin{equation*} {\rm rref}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  非\(0\)行的行数为\(1\)，此时\(r(A)=1\)；
  
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2. 当\(a=-2\)时，\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵
  
  \begin{equation*} {\rm rref}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  非\(0\)行的行数为\(2\)，此时\(r(A)=2\)；
  
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3. 当\(a\neq 1\)且\(a\neq -2\)时，\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵
  
  \begin{equation*} {\rm rref}(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
  
  非\(0\)行的行数为\(3\)，此时\(r(A)=3\)。
  
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综上可知，当\(a=1\)时，\(r(A)=1\)；当\(a=-2\)时，\(r(A)=2\)；当\(a\neq 1\)且\(a\neq -2\)时，\(r(A)=3\)。

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提高题.

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4.

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，且\(r(A)=m\)。证明：对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)，\(AX=\beta\)都有解。

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解答.

由于矩阵\(A\)的秩等于行数\(m\)，所以对\(A\)进行初等行变换得到的简化阶梯形矩阵\({\rm rref}(A)\)没有全\(0\)行。相应地，对增广矩阵\(\widetilde{A}=\begin{pmatrix} A & \beta\end{pmatrix}\)进行相同的初等行变换得到的阶梯形矩阵\(\begin{pmatrix}{\rm rref}(A)&\beta_1\end{pmatrix}\)也没有全\(0\)行，这说明\(r(\widetilde{A})\)等于\(\widetilde{A}\)的行数\(m\)。\(r(\widetilde{A})=r(A)=m\)，因此线性方程组\(AX=\beta\)有解。

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5.

设\(n\)阶方阵\(M=\begin{pmatrix} A & B\\ C & {\bf 0} \end{pmatrix}\)，其中\(A\)是\(s\times t\)矩阵。若\(M\)是可逆矩阵，求\(r(B)\)与\(r(C)\)。

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解答.

对矩阵\(M\)的最后\(n-s\)行作初等行变换可转化为

\begin{equation*} N=\begin{pmatrix} A_{s\times t} & B_{s\times (n-t)}\\ {\rm rref}(C)_{(n-s)\times t} & {\bf 0}_{(n-s)\times (n-t)} \end{pmatrix}. \end{equation*}

由于\(M\)可逆，所以与之行等价的矩阵\(N\)也可逆，必不含全\(0\)行，由此可知\({\rm rref}(C)_{(n-s)\times t}\)不含全\(0\)行，从而\(r(C)=n-s\)。

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设\(\alpha\)是齐次线性方程组\(BX={\bf 0}\)的解，即\(B\alpha={\bf 0}\)，则

\begin{equation*} M\begin{pmatrix} {\bf 0}_{t\times 1}\\ \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B\\ C & {\bf 0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\bf 0}_{t\times 1}\\ \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\bf 0}_{t\times 1}\\ {\bf 0}_{(n-t)\times 1} \end{pmatrix}. \end{equation*}

由\(M\)可逆知\(\begin{pmatrix} {\bf 0}_{t\times 1}\\ \alpha \end{pmatrix}={\bf 0}\)，则\(\alpha={\bf 0}\)。线性方程组\(BX={\bf 0}\)只有零解，因此\(r(B)=n-t\)。

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