主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 2.6 简化阶梯形、线性方程组的解及秩
练习 练习
基础题.
1.
用初等行变换将下列矩阵化为简化阶梯形矩阵。
-
\(\begin{pmatrix}
-1 & 3 & 2 & 1 & 1\\
0 & 0 & 2 &-2 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -1 & 2 & 1\\
2 & 3 & 1 & 4 & 4\\
3 & 5 & 1 & 7 & 5
\end{pmatrix}\)。
2.
用Gauss-Jordan消去法求下列线性方程组的一般解。
-
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5=0,\\
-x_1+x_2+x_4+2x_5=0,\\
x_1+3x_2+4x_3+2x_4-x_5=0;
\end{array}\right.\)
-
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1,\\
3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\
x_2+2x_3+2x_4+6x_5=3,\\
5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2.
\end{array}\right.\)
3.
求下列矩阵的秩。
-
\(\begin{pmatrix}
3 & 6 & 1 & 5 & -1\\
1 & 4 & -1 & 3 &-1\\
-1 & -10 & 5 & -7 & 3\\
4 & -2 & 8 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
5 & -3 &-2 & 1\\
-3 & 2 & 1 & -2\\
1 & 0 & -a-2 & -4\\
0 & 1 & -1 & -a-8
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
a & 1 & 1\\
1 & a & 1\\
1 & 1 &a
\end{pmatrix}\)。
提高题.
4.
设
\(A\)是
\(m\times n\)矩阵，且
\(r(A)=m\)。证明：对任意
\(\beta\in\mathbb{F}^n\)，
\(Ax=\beta\)都有解。
5.
设
\(n\)阶方阵
\(M=\begin{pmatrix}
A & B\\
C & 0
\end{pmatrix}\)，其中
\(A\)是
\(s\times t\)矩阵。若
\(M\)是可逆矩阵，求
\(r(B)\)与
\(r(C)\)。
6.
设
\(A\)是
\(3\times 4\)矩阵，且
\(r(A)=2,\ B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0\\
-1 & 0 & 3
\end{pmatrix}\)，求
\(r(BA)\)。
7.
设
\(A,B\)是
\(n\)阶方阵。证明：若
\(AB\)可逆，则
\(A,B\)都是可逆矩阵。
8.
设
\(A,B\)是
\(n\)阶方阵，满足
\(AB=A-B\)，证明：
\(A\)可逆的充分必要条件是
\(B\)可逆。
