1.
求\(\begin{vmatrix}
3&1&0&-1\\2&1&1&0\\-1&3&1&2\\0&6&5&0
\end{vmatrix}\)中第\((1,2)\)，第\((2,4)\)元素的余子式和代数余子式。
节 3.3 行列式按行(列)展开
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
计算下列行列式：
-
\(\begin{vmatrix} 3&2&0&-1&9\\ 7&8&2&-7&6\\ -1&5&0&-1&4\\ 2&0&0&-2&0\\ -1&1&0&1&1 \end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3&\cdots&a_{n-1}&a_n\\ 1&-1&0&\cdots&0&0\\ 0&2&-2&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1&1-n \end{vmatrix}\)；
3.
计算下述行列式，并将结果因式分解：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
\lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\2&4&\lambda-5
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
4.
计算\(n\)阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_1^{n-1}&a_1^{n-2}b_1&a_1^{n-3}b_1^2&\cdots&a_1b_1^{n-2}&b_1^{n-1}\\
a_2^{n-1}&a_2^{n-2}b_2&a_2^{n-3}b_2^2&\cdots&a_2b_2^{n-2}&b_2^{n-1}\\
a_3^{n-1}&a_3^{n-2}b_3&a_3^{n-3}b_3^2&\cdots&a_3b_3^{n-2}&b_3^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
a_n^{n-1}&a_n^{n-2}b_n&a_n^{n-3}b_n^2&\cdots&a_nb_n^{n-2}&b_n^{n-1}
\end{vmatrix},
\end{equation*}
其中\(a_1a_2\cdots a_{n}\neq 0\)。
5.
设\(\det A=\begin{vmatrix}
-1 & -1 & 1 & -1\\
4 & 2 & 0 & 0\\
3 & 0 & 1 & 0\\
5 & 0 & 0 & 4 \\
\end{vmatrix}\)，求
-
\(A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}\)；
-
\(M_{11}+2M_{21}+3M_{31}+4M_{41}\)。
6.
计算行列式\(\left|\begin{array}{ccccc}
2&3&0&0&0\\
-1&4&0&0&0\\
37&25&1&2&0\\
11&49&0&3&4\\
19&52&1&0&2
\end{array}\right|\)。
提高题.
7.
设\(A\)为数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(\alpha\)为数域\(\F\)上\(n\)维列向量。证明：若\(\begin{vmatrix}A&\alpha\\
\alpha^T&a\end{vmatrix}=0\)，则
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}A&\alpha\\
\alpha^T&b\end{vmatrix}=(b-a)\cdot |A|.
\end{equation*}
8.
设 \(n\)阶行列式
\begin{equation*}
D_n=\begin{vmatrix}
\cos\alpha&1&&&&&\\
1&2\cos\alpha&1&&&&\\
&1&2\cos\alpha&\ddots&&&\\
&&\ddots&\ddots&\ddots&&\\
&&&\ddots&2\cos\alpha&1&\\
&&&&1&2\cos\alpha&1\\
&&&&&1&2\cos\alpha
\end{vmatrix},
\end{equation*}
证明：\(D_n=\cos (n \alpha)\)。
9.
计算下列\(n\)阶行列式：
-
\(\begin{vmatrix} x+1&x+2&x+3&\cdots&x+n-1&x+n\\ x+2&x+3&x+4&\cdots&x+n&x+1\\ x+3&x+4&x+5&\cdots&x+1&x+2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ x+n-1&x+n&x+1&\cdots&x+n-3&x+n-2\\ x+n&x+1&x+2&\cdots&x+n-2&x+n-1 \end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&C_2^1&C_3^1&\cdots&C_n^1\\ 1&C_3^2&C_4^2&\cdots&C_{n+1}^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&C_{n}^{n-1}&C_{n+1}^{n-1}&\cdots&C_{2n-2}^{n-1} \end{vmatrix}\)。
10.
设\(n\geq 2\)，计算\(n\)阶行列式
\begin{equation*}
D_n=\begin{vmatrix}
a_1&x&\cdots&x\\
x&a_2&\cdots&x\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
x&x&\cdots&a_n
\end{vmatrix},
\end{equation*}
其中\(x\neq a_i,\ i=1,\ldots ,n\)。
11.
计算\(n\)阶行列式
\begin{equation*}
D_n= \begin{vmatrix}
x&y&y&\cdots&y&y\\
z&x&y&\cdots&y&y\\
z&z&x&\cdots&y&y\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
z&z&z&\cdots&x&y\\
z&z&z&\cdots&z&x
\end{vmatrix},
\end{equation*}
其中\(y\neq z\)。
12.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)是\(n\)阶方阵，\(A_{ij}\)是\(a_{ij}\)的代数余子式，证明：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11}+x_1&a_{12}+x_2&\cdots&a_{1n}+x_n\\
a_{21}+x_1&a_{22}+x_2&\cdots&a_{2n}+x_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}+x_1&a_{n2}+x_2&\cdots&a_{nn}+x_n
\end{vmatrix}=|A|+\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^nx_jA_{ij}.
\end{equation*}
13.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*}
f(x)=\det\left(xE_n-A\right),
\end{equation*}
证明：
\begin{equation*}
f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n,
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
a_k=\left(-1\right)^k\sum\limits_{1\leq i_1< i_2<\cdots<i_k\leq n}A\begin{bmatrix}
i_1& i_2&\cdots&i_k\\
i_1& i_2&\cdots&i_k
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
挑战题.
14.
计算下列 \(n\)阶行列式 \((1\leq j\leq n-1)\)：
\begin{equation*}
\det A=\begin{vmatrix}
1&a_1&\cdots&a_1^{j-1}&a_1^{j+1}&\cdots&a_1^{n}\\
1&a_2&\cdots&a_2^{j-1}&a_2^{j+1}&\cdots&a_2^{n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&a_n&\cdots&a_n^{j-1}&a_n^{j+1}&\cdots&a_n^{n}
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
15.
设\(b_0,\ldots ,b_{n-1}\in\F\)互不相同。对任意\(0\leq i\leq n-1\)，令
\begin{equation*}
f_i(x)=\prod\limits_{\begin{array}{c}0\leq j\leq n-1\\j\neq i
\end{array}}\left(x-b_j\right)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i,n-2}x^{n-2}+x^{n-1},
\end{equation*}
计算\(n\)阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n-2}&1\\
a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-2}&1\\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-2}&1
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
16.
设 \(f_0(x),f_1(x),\ldots ,f_{n-1}(x)\in\Z[x]\)，其中
\begin{equation*}
f_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i,n-1}x^{n-1}(i=0,\ldots ,n-1).
\end{equation*}
记 \(A\)为 \(n\)阶方阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n-1}\\
a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：存在 \(n\)阶整数矩阵 \(C\)使得 \(AC=E_{n}\) 的充分必要条件是存在 \(n\) 个互不相同的整数 \(b_0,b_1,\ldots ,b_{n-1}\)使得
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
f_0(b_0)&f_0(b_1)&\cdots&f_0(b_{n-1})\\
f_1(b_0)&f_1(b_1)&\cdots&f_1(b_{n-1})\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
f_{n-1}(b_0)&f_{n-1}(b_1)&\cdots&f_{n-1}(b_{n-1})\\
\end{vmatrix}=\pm\prod\limits_{0\leq i \neq j< n-1}(b_j-b_i).
\end{equation*}
17.
设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)、\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)分别是\(A,B\)的列向量组，证明：
\begin{equation*}
|A|\cdot |B|=\sum\limits_{i=1}^n|\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},\beta_1,\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_n|\cdot|\alpha_i,\beta_2,\ldots,\beta_n|.
\end{equation*}
18.
（Hermite定理）设 \(f_1(x), f_2(x), \ldots , f_n(x)\)是 \(\mathbb{F} [x]\) 中 \(n\)个非零多项式 \((n\geq 2)\)，证明：存在 \(n(n-1)\)个多项式
\begin{equation*}
g_{ij}(x)\in\mathbb{F}[x](2\leq i\leq n, 1\leq j\leq n),
\end{equation*}
使得
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\
g_{21}(x)&g_{22}(x)&\cdots&g_{2n}(x)\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
g_{n1}(x)&g_{n2}(x)&\cdots&g_{nn}(x)\\
\end{vmatrix}=\left(f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x)\right).
\end{equation*}
19. 第四届全国大学生数学竞赛决赛.
20. Cauchy-Binet公式.
设\(A\)是\(m\times n\)，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，且\(m\leq n\)，则
\begin{equation*}
\det (AB)=\sum\limits_{1\leq j_1\leq\cdots\leq j_m}A\begin{bmatrix}
1 &\cdots & m\\
j_1 &\cdots & j_m
\end{bmatrix}\cdot B\begin{bmatrix}
j_1 &\cdots & j_m\\
1 &\cdots & m
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Sage相关.
21.
22.
写一个函数，以\(x_0,\ldots,x_n\)为输入，输出Vandermonde行列式的矩阵。结合sage自带的det函数，验证 Vandermonde行列式公式的正确性。
